Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép chiếu song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính song song: hai cặp cạnh đối song song của hình chữ nhật cho hai cặp cạnh đối song song của hình chiếu, nên hình chiếu là hình bình hành (có thể là hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình thoi khi chiếu xiên). Hình thang không có hai cặp cạnh đối song song nên không thể là hình chiếu của hình chữ nhật. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đường thẳng $B{B}^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$ (các cạnh bên của hình hộp song song và bằng nhau). Phép chiếu song song phương $A{A}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ sẽ đưa mỗi điểm $X^{\prime }$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ thành giao điểm của đường thẳng qua $X^{\prime }$ song song $A{A}^{\prime }$ với $(ABCD)$. Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$ chính là $B{B}^{\prime }$, cắt $(ABCD)$ tại $B$. Vậy $B^{\prime }$ biến thành $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ vectơ: lấy $A$ làm gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{v}$. Khi đó $I$ có vị trí $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{b}$ và $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{b}$ (vì $I^{\prime }$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$). Đường thẳng qua $I$ song song với $A{I}^{\prime }$ có phương trình: $\vec{r}=\frac{1}{2}\vec{b}+t\left(\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{b}\right)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ gồm các điểm $\vec{v}+s\vec{b}+u\vec{c}$ (với $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$). So sánh hệ số: $t=1$ (theo $\vec{v}$), khi đó thành phần theo $\vec{b}$ là $\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{b}=\vec{b}$, tức $s=1$, $u=0$. Vậy giao điểm là $\vec{v}+\vec{b}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$, tức điểm $B^{\prime }$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 112 (Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ (là hình bình hành), ta có $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{I{B}^{\prime }}$ vì $I$ là trung điểm $AB$, $I^{\prime }$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (thực chất tứ giác $AI{B}^{\prime }{A}^{\prime }$... xét vectơ: $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{I}^{\prime }}$, dễ kiểm tra $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{I{B}^{\prime }}$). Vậy đường thẳng qua $I$ song song với $A{I}^{\prime }$ chính là đường thẳng $I{B}^{\prime }$, cắt mặt phẳng chiếu $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại $B^{\prime }$. Do đó phép chiếu song song theo phương $A{I}^{\prime }$ biến $I$ thành $B^{\prime }$. Điều này khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình biểu diễn hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ có đỉnh $C$ nằm phía sau (bị che khuất) nên các đoạn đi tới $C$ như $BC,CD$ và đường chéo $AC$ phải vẽ nét đứt; còn $AD$ là cạnh nằm phía trước (nhìn thấy) nên phải vẽ nét liền — trong hình lại vẽ nét đứt, tức vẽ sai. Đoạn $SO$ nối đỉnh $S$ với tâm $O$ nằm bên trong hình chóp, bị các mặt bên che khuất nên phải vẽ nét đứt — trong hình lại vẽ nét liền, cũng vẽ sai. Vậy hai đoạn vẽ sai là $AD$ và $SO$.

Đáp án chính thức của đề: D (đáp án D được gạch chân ở trang lời giải, các trang 21–22; đề không in lời giải chi tiết cho câu này).

Nhận xét theo hình vẽ nguồn: Ở các hình A, B, C, đỉnh $S$ được vẽ ngoài mặt phẳng đáy (ở hình B và C, đỉnh $S$ nằm trong hình chiếu của tứ giác $ABCD$ nhưng vẫn được hiểu là đỉnh chóp phía trên mặt đáy, các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ nối đủ tới bốn đỉnh đáy), nên đều có thể là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Riêng ở hình D, điểm $C$ được vẽ nằm bên trong khối với các đoạn nối nét đứt, tức bốn điểm $A,B,C,D$ không tạo thành tứ giác đáy với đỉnh $S$ bên trên như một hình chóp tứ giác; do đó hình D không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp là hình lăng trụ đứng... không, chính xác: hình hộp có 12 cạnh chia thành 3 nhóm song song bằng nhau, các mặt đều là hình bình hành. Xét các hình: Hình B có các cạnh $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ song song, các mặt là hình bình hành nên là hình biểu diễn của hình hộp. Hình C (hình lục giác với các đường chéo) cũng biểu diễn được hình hộp nhìn theo phương đường chéo. Hình D có các cạnh $A^{\prime }A$, $D^{\prime }D$, $B^{\prime }B$, $C^{\prime }C$ song song và các mặt là hình bình hành nên là hình biểu diễn của hình hộp. Hình A: các cạnh $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ không song song với nhau ($A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ lệch hướng, $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ lệch hướng), các mặt không thỏa mãn tính chất hình bình hành của hình hộp, nên hình A không phải là hình biểu diễn của hình hộp. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Suy ra $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$. Đường thẳng qua $C$ song song với $A^{\prime }D$ chính là đường thẳng $B^{\prime }C$, cắt mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại điểm $B^{\prime }$. Vậy hình chiếu song song của $C$ trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $A^{\prime }D$ là điểm $B^{\prime }$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ đều song song và bằng nhau. Hình chiếu của điểm $C^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương $A^{\prime }A$ (tức phương song song với $A{A}^{\prime }$) là giao điểm của đường thẳng qua $C^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$ với mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng qua $C^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$ chính là đường thẳng $C{C}^{\prime }$ (vì $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$), và nó cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại điểm $C$. Vậy hình chiếu của $C^{\prime }$ theo phương $A^{\prime }A$ là điểm $C$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định về phép chiếu song song:

(I) Đúng. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự ba điểm đó (tính chất cơ bản của phép chiếu song song).

(II) Sai. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau thành hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau (hoặc có thể suy biến thành điểm khi đường thẳng song song với phương chiếu). Nói chung nó không biến hai đường thẳng bất kì thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau — ví dụ hai đường thẳng cắt nhau không song song với phương chiếu sẽ cho hai đường thẳng cắt nhau.

(III) Đúng. Phép chiếu song song biến đường thẳng không song song với phương chiếu thành đường thẳng (trường hợp suy biến thành một điểm khi đường thẳng song song với phương chiếu, nhưng trong chương trình phổ thông khẳng định này được coi là đúng).

(IV) Đúng. Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Vậy có 3 khẳng định đúng là (I), (III), (IV). Khẳng định đúng khớp với đáp án nguồn: chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, các cạnh bên song song và bằng nhau: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$. Hình chiếu song song của điểm $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABC)$ theo phương $C{C}^{\prime }$ là giao điểm của đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với $C{C}^{\prime }$ với mặt phẳng $(ABC)$. Vì đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với $C{C}^{\prime }$ chính là đường thẳng $A{A}^{\prime }$ (do $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$), nên giao điểm của $A{A}^{\prime }$ với $(ABC)$ là điểm $A$. Vậy hình chiếu là điểm $A$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, các đường $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ đều song song với nhau. Phép chiếu song song theo phương $A{A}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ biến: $A$ thành $A^{\prime }$ (vì $A{A}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ phương chiếu, giao của đường thẳng qua $A$ song song $A{A}^{\prime }$ với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $A^{\prime }$), tương tự $B$ thành $B^{\prime }$ và $C$ thành $C^{\prime }$. Do đó tam giác $ABC$ biến thành tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ là đường thẳng $AD$. Đường thẳng $AD$ cắt mặt phẳng $(SCD)$ tại điểm $D$ (vì $D\in (SCD)$). Vậy hình chiếu song song của $A$ lên $(SCD)$ theo phương $BC$ là điểm $D$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (khi hai đường thẳng song song với phương chiếu). Do đó mệnh đề B khẳng định luôn thành hai đường thẳng song song là sai. Các mệnh đề A, C, D đúng vì hình biểu diễn của tam giác (đều, vuông, cân) qua phép chiếu song song vẫn là một tam giác. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AD$ chính là đường thẳng $BC$ (vì $BC\parallel AD$). Đường thẳng $BC$ cắt mặt phẳng $(SAB)$ tại điểm $B$ (vì $B\in (SAB)$). Vậy hình chiếu song song của $C$ lên $(SAB)$ theo phương $AD$ là điểm $B$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong phép chiếu song song, hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông đều là hình bình hành vì các tính chất song song và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được bảo toàn. Tuy nhiên hình thang chỉ có một cặp cạnh song song, hình biểu diễn của nó không phải luôn là hình bình hành. Vậy mệnh đề D sai, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong phép chiếu hình học không gian, hình biểu diễn của hình tròn (ví dụ đường tròn nằm trong mặt phẳng không song song với mặt phẳng chiếu) là hình elip, không phải hình tròn. Do đó mệnh đề C là sai. Các mệnh đề A, B, D đều đúng: tam giác biểu diễn là tam giác, hình bình hành (kể cả vuông, thoi, chữ nhật) biểu diễn là hình bình hành, hai đường thẳng song song biểu diễn là hai đường thẳng song song. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong phép chiếu hình học không gian, hình tròn thường được biểu diễn thành hình elip, không phải hình tròn. Các mệnh đề A, B, D đúng theo quy tắc biểu diễn (tam giác -> tam giác, hình bình hành -> hình bình hành, hai đường thẳng song song -> hai đường thẳng song song). Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau nếu mặt phẳng chiếu chứa chúng), không thể cắt nhau hay chéo nhau. Do đó A, B sai. Phát biểu C đúng: hai đường thẳng song song cho hình chiếu là hai đường thẳng song song. Phát biểu D sai vì phép chiếu song song chỉ giữ nguyên tỉ số độ dài của các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng (hoặc các đường thẳng song song), không giữ tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng bất kỳ. Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, và biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (khi hai đường thẳng nằm cùng một mặt phẳng chiếu). Nó không thể biến hai đường song song thành hai đường cắt nhau hay chéo nhau. Ngoài ra, phép chiếu song song chỉ giữ nguyên tỉ số độ dài của các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng (hoặc trên hai đường thẳng song song), không phải của hai đoạn thẳng bất kỳ, nên D sai. Vậy phát biểu đúng là C, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 10: C).