Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép chiếu song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong phép chiếu song song, tính song song được bảo toàn: hai cạnh đối song song của hình vuông cho hai cạnh đối song song của hình chiếu, nên hình chiếu luôn là hình bình hành (trường hợp đặc biệt là hình thoi hoặc hình vuông khi các cạnh chiếu phù hợp). Hình thang vuông có một cặp cạnh song song và một cặp cạnh vuông góc với đáy, không thể là hình chiếu của hình vuông. Vậy đáp án D, trùng với mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần IV):

a) Trong hình thang $ABCD$ có $AB\parallel CD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang, do đó $MN\parallel AB\parallel CD$.
Ta có: $MN\subset (SMN)$; $CD\not\subset (SMN)$ (vì $C,D$ không thuộc mặt phẳng đó); $CD\parallel MN$.
Vậy $CD\parallel (SMN)$.

b) Vì $Q$ là hình chiếu song song của $P$ trên $(ABCD)$ theo phương $SA$ nên $PQ\parallel SA$ và $Q\in (ABCD)$.
Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng qua $P$ song song với $SA$ cắt $AB$ tại $Q$ (vì $PQ\parallel SA$ nên $Q$ nằm trên $AB$).
Tam giác $SAB$ đều có cạnh $AB=2a$ nên $SA=2a$.
Vì $BP=2SP$ nên $\frac{SP}{SB}=\frac{1}{3}$, suy ra $\frac{BP}{BS}=\frac{2}{3}$.
Trong tam giác $SAB$, do $PQ\parallel SA$ nên $△BPQ\sim △BSA$, do đó:
$$PQ=\frac{BP}{BS}\cdot SA=\frac{2}{3}\cdot 2a=\frac{4a}{3}.$$

c) Ta có $N$ là trung điểm của $BC$ nên $N\in BC\subset (ADP)$, tức $N\in (ADP)$; lại có $P\in (ADP)$ nên đường thẳng $PN\subset (ADP)$.
Mặt khác $PN\subset (SBC)$ (vì $P\in SB$, $N\in BC$).
Suy ra $(ADP)\cap (SBC)=PN$.
Giao điểm $E$ của $SC$ và $(ADP)$ chính là giao điểm của $SC$ với $PN$: $E=SC\cap PN$.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $SBC$ với cát tuyến $EPN$:
$$\frac{SP}{PB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CE}{ES}=1\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{CE}{ES}=1\Rightarrow \frac{CE}{ES}=2.$$
Vậy $E$ nằm trên đoạn $SC$ với $ES=\frac{1}{3}SC$ (tức $E$ là điểm trên $SC$ sao cho $SE=\frac{1}{3}SC$).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu song song bảo toàn tính song song và tỉ lệ độ dài trên các đường thẳng song song, nên hình chiếu của hình vuông (là hình bình hành) luôn là hình bình hành: có thể là hình bình hành, hình thoi (khi hai cạnh chiếu bằng nhau), hoặc hình vuông (khi chiếu xuống mặt phẳng song song). Hình thang vuông có hai cạnh bên không song song, không thể là hình chiếu song song của hình vuông. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$, do đó $MN\parallel AB$. Mà $AB\parallel CD$ nên $MN\parallel CD$. Ta có $MN\subset (SMN)$ và $CD\not\subset (SMN)$, suy ra $CD\parallel (SMN)$.

b) Hình chiếu song song của $P$ trên $(ABCD)$ theo phương $SA$: trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng qua $P$ song song với $SA$ cắt $AB$ tại $Q$, khi đó $PQ\parallel SA$ và $Q\in (ABCD)$. Trong tam giác $SAB$, theo định lý Thales:
$$\frac{PQ}{SA}=\frac{BP}{BS}$$
Vì $BP=2SP$ nên $BP=\frac{2}{3}BS$, suy ra $PQ=\frac{2}{3}SA$. Tam giác $SAB$ đều cạnh $AB=2a$ nên $SA=2a$. Vậy $PQ=\frac{2}{3}\cdot 2a=\frac{4a}{3}$.

c) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $F$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Vì $AB\parallel CD$, $AB=2CD$, tam giác $FAB$ đồng dạng tam giác $FDC$ với tỉ số $\frac{FB}{FC}=\frac{AB}{CD}=2$, nên $C$ là trung điểm của $FB$ (thứ tự điểm $F,C,B$; tương tự $F,D,A$).
Ta có $F\in AD\subset (ADP)$ và $F\in BC\subset (SBC)$, nên $(ADP)\cap (SBC)=FP$. Suy ra $E=SC\cap (ADP)=SC\cap FP$.

Xét trong mặt phẳng $(SBC)$ với hệ tọa độ $F(0;0),B(2;0),C(1;0),S(0;3)$. Vì $P\in SB$ với $BP=2SP$ tức $SP=\frac{1}{3}SB$, nên $P=S+\frac{1}{3}(B-S)=\left(\frac{2}{3};2\right)$. Đường thẳng $FP$ qua $F(0;0)$ và $P\left(\frac{2}{3};2\right)$ có phương trình $y=3x$. Đường thẳng $SC$ qua $S(0;3)$ và $C(1;0)$ có phương trình $y=3-3x$. Giải hệ $3x=3-3x$ được $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{2}$, tức $E=\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.

Trên đường thẳng $SC$, từ $S(0;3)$ đến $C(1;0)$, điểm $E\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ là trung điểm của $SC$, tức $\frac{SE}{SC}=\frac{1}{2}$.

Vậy $E$ là trung điểm của $SC$ ($SE=EC=\frac{1}{2}SC$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó đường thẳng qua $C$ song song với phương chiếu $DA$ chính là đường thẳng $CB$. Đường thẳng $CB$ cắt mặt phẳng $(SAB)$ tại điểm $B$ (vì $B\in (SAB)$). Vậy hình chiếu song song của $C$ lên $(SAB)$ theo phương $DA$ là điểm $B$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M$ song song với $AC$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ (vì $M\in SC\subset (SAC)$ và phương $AC\subset (SAC)$). Trong mặt phẳng $(SAC)$, đường thẳng qua $M$ song song với $AC$ cắt cạnh $SA$ tại một điểm $N$. Xét tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SC$ và $MN//AC$ nên theo định lý đường trung bình (đảo), $N$ là trung điểm $SA$. Điểm $N$ thuộc $(SAD)$ vì $N\in SA\subset (SAD)$. Vậy hình chiếu song song của $M$ theo phương $AC$ lên $(SAD)$ là trung điểm $SA$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 1111: D).

Gọi P,Q là hình chiếu của M,N theo phương chiếu SC lên mp(ABCD). Ta có
$$BP=\frac{1}{3}BC=\frac{a}{3},CQ=\frac{1}{3}CD=\frac{a}{3},QD=\frac{2}{3}CD=\frac{2a}{3}$$
Vậy diện tích $S_{△APQ}=a^2-\frac{1}{2}a.\frac{1}{3}a-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}a.\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.a.a=\frac{7}{18}{a}^2$
(Điểm: 0,25, 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác $S.ABCD$ phải có đáy $ABCD$ là tứ giác (bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn đỉnh của một tứ giác, không đỉnh nào nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại) và đỉnh $S$ không nằm trong mặt phẳng đáy. Xét các hình: ở hình A, B, D, bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành một tứ giác với $S$ ở ngoài mặt phẳng đáy, nên đều là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Riêng ở hình C, điểm $C$ nằm bên trong tam giác $ABD$ ($C$ bị che khuất, vẽ nét đứt bên trong), do đó $A$, $B$, $C$, $D$ không thể là bốn đỉnh của một tứ giác — đây chỉ là hình biểu diễn của một hình chóp tam giác (tứ diện) chứ không phải hình chóp tứ giác. Vậy hình không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$ là hình C, trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 1101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa $I,A,I^{\prime }$. Đường thẳng qua $I$ song song với $A{I}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng này và cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại điểm $J$. Trong hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ (do $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }$), đường thẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ song song với $A{I}^{\prime }$ sẽ cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại điểm thỏa mãn: đặt hệ tọa độ $A(0;1),B(1;1),A^{\prime }(0;0),B^{\prime }(1;0)$ thì $I(0,5;1)$, vectơ chỉ phương của đường thẳng qua $I$ song song $A{I}^{\prime }$ là $(0,5;-1)$. Đường thẳng: $(x;y)=(0,5+0,5t;1-t)$. Khi $y=0$ thì $t=1$, suy ra $x=1$, tức $J=B^{\prime }$. Vậy qua phép chiếu song song theo phương $A{I}^{\prime }$ lên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, điểm $I$ biến thành điểm $B^{\prime }$. Điều này khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $Ax\parallel Cz$ và $By\parallel Dt$, mặt phẳng $(AB{A}^{\prime }{B}^{\prime })$ song song với $(CD{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$. Do đó $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cũng là hình bình hành, hai đường chéo $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt nhau tại trung điểm $O$ chung. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ (tâm hình bình hành $ABCD$), thì $O$ cũng là trung điểm chung của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Vì các nửa đường thẳng song song, phép chiếu song song theo phương $Ax$ biến đoạn $AC$ thành $A^{\prime }{C}^{\prime }$, nên trung điểm $O$ của $AC$ có ảnh là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tương tự $O$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$... Cách tính trực tiếp: do $O$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$, ta có $O{O}_B^{\prime }=\frac{B{B}^{\prime }}{2}=6$ và $O{O}_D^{\prime }=\frac{D{D}^{\prime }}{2}=3$ (đo theo phương song song), suy ra khoảng cách từ $O$ đến giao điểm $I$ của $B^{\prime }{D}^{\prime }$ với... Nói cách khác, với phép chiếu song song, trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ cho: $\frac{A{A}^{\prime }+C{C}^{\prime }}{2}=\frac{B{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }}{2}$, tức $A{A}^{\prime }+C{C}^{\prime }=B{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }=12+6=18$. Suy ra $C{C}^{\prime }=18-8=10$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E$ là trung điểm $AB$. $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $M$ nằm trên trung tuyến $CE$ với $\frac{ME}{EC}=\frac{1}{3}$. Hình chiếu $N$ của $M$ theo phương $CD$ lên $(ABD)$: đường thẳng qua $M$ song song $CD$ nằm trong mặt phẳng $(CDE)$ và cắt $DE$ tại $N$ (vì $DE\subset (ABD)$). Do $MN\parallel CD$, ta có $\frac{EN}{ED}=\frac{ME}{EC}=\frac{1}{3}$, suy ra $\frac{DN}{NE}=\frac{2}{1}$. Trong tam giác $ABD$, $DE$ là trung tuyến kẻ từ $D$, và điểm trên trung tuyến chia tỉ số $DN:NE=2:1$ chính là trọng tâm tam giác $ABD$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $AB=\vec{b},AD=\vec{d},A{A}^{\prime }=\vec{a}$ với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{d}|=12$ và các góc giữa chúng đều bằng $60^{\circ }$ (theo hình vẽ: $\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AD}=\widehat{BAD}=60^{\circ }$), nên $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{d}=\vec{b}\cdot \vec{d}=72$.

Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(12;0;0)$, $D=(6;6\sqrt{3};0)$. Từ $\vec{a}\cdot \vec{b}=72$ và $\vec{a}\cdot \vec{d}=72$ suy ra $\vec{a}=(6;2\sqrt{3};4\sqrt{6})$ (vì $|\vec{a}|=12$).

Suy ra $C^{\prime }=\vec{b}+\vec{d}+\vec{a}=(24;8\sqrt{3};4\sqrt{6})$, $B^{\prime }=(18;2\sqrt{3};4\sqrt{6})$, $D^{\prime }=(12;8\sqrt{3};4\sqrt{6})$.

Vì $M\in A{C}^{\prime }$: $M=t{C}^{\prime }=(24t;8\sqrt{3}t;4\sqrt{6}t)$.

Phép chiếu theo phương $B{A}^{\prime }$: vectơ chỉ phương $\vec{v}=\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=(-6;2\sqrt{3};4\sqrt{6})$, nên $N=M+s\vec{v}$. Vì $N\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên tung độ $z$ của $N$ bằng $4\sqrt{6}$: $4\sqrt{6}t+4\sqrt{6}s=4\sqrt{6}\Rightarrow s=1-t$.

Do đó $N=(30t-6;2\sqrt{3}+6\sqrt{3}t;4\sqrt{6})$.

Điều kiện $N\in B^{\prime }{D}^{\prime }$: điểm trên $B^{\prime }{D}^{\prime }$ có dạng $B^{\prime }+u(\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }})=(18-6u;2\sqrt{3}+6\sqrt{3}u;4\sqrt{6})$. So sánh: $u=t$ và $30t-6=18-6t\Rightarrow 36t=24\Rightarrow t=\frac{2}{3}$ (thỏa $u\in [0;1]$).

Khi đó $M=\left(16;\frac{16\sqrt{3}}{3};\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)$, $N=(14;6\sqrt{3};4\sqrt{6})$.

$$M{N}^2=(-2{)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)}^2=4+\frac{4}{3}+\frac{32}{3}=16$$

Vậy $MN=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: đặt $A$ làm gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $M$ là trung điểm $SB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{2}$, và $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+2\vec{d}}{3}$.

Đường thẳng qua $G$ song song với $AM$ (phương chiếu) có dạng: $X=G+t\overrightarrow{AM}$, tức $\overrightarrow{AX}=\frac{t}{2}\vec{s}+\left(\frac{1}{3}+\frac{t}{2}\right)\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$.

Điểm $H$ thuộc mặt phẳng $(SBC)$ nên $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AS}+u(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AS})+v\overrightarrow{AD}=(1-u)\vec{s}+u\vec{b}+v\vec{d}$.

So sánh hệ số theo $\vec{s},\vec{b},\vec{d}$ (độc lập tuyến tính):
- Theo $\vec{d}$: $v=\frac{2}{3}$.
- Theo $\vec{s}$ và $\vec{b}$: $\frac{t}{2}=1-u$ và $\frac{1}{3}+\frac{t}{2}=u$. Cộng lại: $\frac{1}{3}+t=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}$.

Vậy $\overrightarrow{GH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$, suy ra $\frac{GH}{AM}=\frac{2}{3}$.

* Trong tam giác $A^{\prime }BD$ kẻ đường thẳng qua $M$ và song song $A^{\prime }D$ luôn cắt $A^{\prime }B$ suy ra $N\in A^{\prime }B$.
* Mà $N\in A{B}^{\prime }$ suy ra $N=A{B}^{\prime }\cap A^{\prime }B$.
* Suy ra $\frac{AN}{A{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0),B=(1;0;0),C=(0;1;0),A^{\prime }=(0;0;1),B^{\prime }=(1;0;1),C^{\prime }=(0;1;1)$. Khi đó $I=(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0)$, $K=(\frac{1}{3};\frac{1}{3};1)$, $G=(0;\frac{2}{3};\frac{1}{3})$, $M=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, $M^{\prime }=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1)$, $F=(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2})$.

a) $M{M}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ là phương cạnh bên. Đường thẳng qua $I$ song song $M{M}^{\prime }$ cắt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại điểm dịch chuyển của $I$ theo vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tức trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là $K$. Đúng.

b) $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\frac{AI}{AM}=\frac{2}{3}$; tương tự $G$ là trọng tâm tam giác $AC{C}^{\prime }$ với đường trung tuyến $AF$ nên $\frac{AG}{AF}=\frac{2}{3}$. Mệnh đề nói bằng $\frac{1}{3}$ nên Sai.

c) Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ có phương trình $x+y=1$. Vectơ $\overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$ có tổng $x+y$ không đổi nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, mà $I\notin (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vì $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ne 1$. Vậy $IG$ không cắt mặt phẳng này. Sai.

d) Mặt $(AI{B}^{\prime })$: pháp tuyến $\overrightarrow{AI}\times \overrightarrow{A{B}^{\prime }}\propto (1;-1;-1)$, phương trình $x-y-z=0$. Mặt $(A^{\prime }KG)$: $\overrightarrow{A^{\prime }K}\times \overrightarrow{A^{\prime }G}\propto (-1;1;1)\propto (1;-1;-1)$, và $A^{\prime }$ không thuộc $x-y-z=0$ (thay vào được $-1$). Hai mặt phẳng có cùng pháp tuyến và không trùng nên song song. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $I$ song song $M{M}^{\prime }$ (phương cạnh bên) cắt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, tức $K$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh, nên $AI/AM=AG/AF=2/3\ne 1/3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ trên, $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$, còn $\overrightarrow{IG}=(-1/3;1/3;1/3)$ song song mặt phẳng và $I$ không thuộc mặt phẳng, nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, không cắt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mặt phẳng đều có pháp tuyến $(1;-1;-1)$ và $A^{\prime }\notin (AI{B}^{\prime })$, nên $(A^{\prime }KG)\parallel (AI{B}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song theo phương $AD$: đường thẳng qua $A$ song song với phương chiếu chính là đường thẳng $AD$, và $D$ cũng nằm trên đường thẳng đó. Do đó $A^{\prime }$ và $D^{\prime }$ trùng nhau. Hình chiếu của tứ giác $ABCD$ là tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }\equiv D^{\prime }$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mặt phẳng chứa $\Delta ABC$ song song với $(P)$ và phương chiếu $l$ không song song với $(P)$, phép chiếu song song lên $(P)$ biến mặt phẳng đó thành $(P)$ theo một phép vị tự tỉ số $k=1$ (thực chất là một phép dời hình). Do đó mọi đoạn thẳng được giữ nguyên độ dài: $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$, $B^{\prime }{C}^{\prime }=BC$, $C^{\prime }{A}^{\prime }=CA$, nên $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\Delta ABC$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ không đồng phẳng. Xét phép chiếu song song lên $(P)$ theo một phương chiếu $d$.

- Nếu $a^{\prime }$ và $b^{\prime }$ trùng nhau thì $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng xác định bởi phương chiếu $d$ và đường thẳng hình chiếu đó, tức $a,b$ đồng phẳng — mâu thuẫn với $a,b$ chéo nhau. Vậy B sai.
- Hình chiếu của hai đường thẳng chéo nhau hoàn toàn có thể cắt nhau (ví dụ hai đường chéo của hình lập phương chiếu lên mặt đáy cho hai đường chéo cắt nhau) hoặc song song nhau (ví dụ $A{B}_1$ và $C{D}_1$ của hình lập phương chiếu theo phương thích hợp lên $(P)$ cho hai hình chiếu song song). Vậy A và C sai, D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính song song: nếu $a\parallel b$ thì hình chiếu $a^{\prime }\parallel b^{\prime }$. Tuy nhiên ngược lại, hai đường thẳng chéo nhau vẫn có thể có hình chiếu song song (ví dụ hai đường chéo nhau cùng song song với một phương chiếu xác định, hình chiếu của chúng lên $(P)$ song song). Do đó $a$ và $b$ có thể chéo nhau hoặc song song, không thể kết luận chắc chắn chúng song song hay cắt nhau. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cũng song song với $CD$ và nằm trong mặt phẳng $(SCD)$ (vì $M\in SC$). Trong mặt phẳng $(SCD)$, đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ cắt $SD$ tại điểm $M^{\prime }$. Tam giác $SCD$ có $M$ là trung điểm $SC$ và $M{M}^{\prime }\parallel CD$, theo định lý đường trung bình thì $M^{\prime }$ là trung điểm của $SD$. Điểm $M^{\prime }$ thuộc $(SAD)$ nên hình chiếu song song của $M$ theo phương $AB$ lên $(SAD)$ là trung điểm của $SD$. Đáp án B.