Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $a^4=5b$ ta có $\ln b=\ln 5+4\ln a$. Do đó $4\ln a-\ln b-\ln 5+3=4\ln a-(\ln 5+4\ln a)-\ln 5+3=3$. Vậy $S=\frac{3}{4}=0,75$, khớp với đáp án nguồn 0,75.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{x^2-2x}=27=3^3$ nên $x^2-2x=3$, tức $x^2-2x-3=0\iff (x-3)(x+1)=0$, cho $x=3$ hoặc $x=-1$. Tổng các nghiệm: $3+(-1)=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $a^3=5b$ suy ra $b=\frac{a^3}{5}$. Khi đó $\ln b=3\ln a-\ln 5$, nên $3\ln a-\ln b-\ln 5=3\ln a-(3\ln a-\ln 5)-\ln 5=0$. Vậy $S=\frac{0+1}{4}=\frac{1}{4}=0,25$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2025 là mốc: $P=65$ (triệu người), $r=0,92\%=0,0092$. Từ 2025 đến 2055 là $t=30$ năm. Theo công thức $A=P{e}^{rt}$: $A=65e^{0,0092\cdot 30}=65e^{0,276}\approx 65\cdot 1,31781\approx 85,66\approx 85,7$ triệu người. Kết quả trùng với đáp án nguồn 85,7.

a) Viết đúng ${\log }_3\frac{n^2}{9}={\log }_3{n}^2-{\log }_{3}9$. Tính đúng ${\log }_3\frac{n^2}{9}=2{\log }_{3}n-2=2.7-2=12$.

b) Gọi $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy bằng $6cm$ và cạnh bên bằng $5cm$. Gọi $O=AC\cap BD$.
[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]
$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{5^2-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{7}$.
$S_{ABCD}=A{B}^2=6^2=36$.
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot \sqrt{7}=12\sqrt{7}\approx 31,7c{m}^3$.
Vậy cần sử dụng $31,7c{m}^3$ thủy tinh để làm cái chặn giấy này.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số ban đầu (t=0) là $P(0)=200$ nghìn người. Dân số tăng gấp đôi khi $P(t)=400$, tức $200e^{0,03t}=400\iff e^{0,03t}=2\iff 0,03t=\ln 2\iff t=\frac{\ln 2}{0,03}\approx 23,1049$. Làm tròn đến hàng phần chục: $t\approx 23,1$ năm. Kết quả trùng với đáp án nguồn (23,1).

(AI giải đề cho tôi)
Dân số ban đầu (t = 0) là P(0) = 200 (nghìn người). Cần tìm t sao cho P(t) = 400: 200e^{0,03t} = 400 ⟺ e^{0,03t} = 2 ⟺ 0,03t = ln 2 ⟺ t = ln2/0,03 ≈ 0,693147/0,03 ≈ 23,1049. Làm tròn đến hàng phần chục: t ≈ 23,1 năm. Kết quả trùng với đáp án nguồn 23,1.

$$4^{x^2+3x-3}={\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+2}\iff 2^{2x^2+6x-6}=2^{-3x-6}\iff 2x^2+6x-6=-3x-6\iff 2x^2+9x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac{9}{2}\end{array}$$ (mỗi bước 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_{a}b=3$ suy ra $b=a^3$. Khi đó ${\log }_{a^2}\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{{\log }_a\left(a\cdot a^{-3/2}\right)}{{\log }_a{a}^2}=\frac{1-\frac{3}{2}}{2}=\frac{-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_{a}b=3$ ta có ${\log }_a\sqrt{b}=\frac{3}{2}$. Khi đó ${\log }_{a^2}\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{{\log }_a\frac{a}{\sqrt{b}}}{{\log }_a{a}^2}=\frac{1-\frac{3}{2}}{2}=\frac{-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{x^2-3x}=16=2^4$, suy ra $x^2-3x=4$, tức $x^2-3x-4=0$. Phương trình có hai nghiệm $x_1=-1$ và $x_2=4$ (với $x_1<x_2$). Khi đó $S=x_1+507x_2=-1+507\cdot 4=-1+2028=2027$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2027).

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau $t$ giờ: $N(t)=100\cdot 2^{t/3}$. Giải $100\cdot 2^{t/3}=100000\Rightarrow 2^{t/3}=1000\Rightarrow \frac{t}{3}={\log }_{2}1000=\frac{\ln 1000}{\ln 2}\approx 9.9658\Rightarrow t\approx 29.897$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $t\approx 30$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1008, câu 5: 30).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a\sqrt{a^5}=a\cdot a^{5/2}=a^{7/2}$ và $\frac{1}{a^3}=a^{-3}$. Do đó $A={\log }_{a^{-3}}{a}^{7/2}=\frac{7/2}{-3}=-\frac{7}{6}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a\sqrt{a^5}=a\cdot a^{5/2}=a^{7/2}$ và $\frac{1}{a^3}=a^{-3}$. Do đó $A={\log }_{a^{-3}}\left(a^{7/2}\right)=\frac{7/2}{-3}=-\frac{7}{6}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1007, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{x^2-3x}=16=2^4$ nên $x^2-3x=4$, tức $x^2-3x-4=0$. Phương trình có hai nghiệm $x=-1$ và $x=4$. Với $x_1<x_2$ thì $x_1=-1$, $x_2=4$. Do đó $S=x_1+507x_2=-1+507\cdot 4=-1+2028=2027$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2027).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $t$ sao cho $50\cdot 2^t=3200$. Suy ra $2^t=\frac{3200}{50}=64=2^6$, nên $t=6$. Vậy sau 6 giờ số lượng vi khuẩn là 3200 con. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 0102, Phần III Câu 2: 6).

a) Ta có $e^x=e^6\iff x=6$. (0,25 điểm)
b) Ta có ${\log }_{0,2}x\ge -1\iff 0<x\le 0,2^{-1}\iff 0<x\le 5$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $t$ sao cho $50\cdot 2^t=3200$. Chia hai vế cho 50: $2^t=64=2^6$, suy ra $t=6$. Vậy sau 6 giờ số lượng vi khuẩn là 3200 con, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 0101, Phần III Câu 1: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Đưa về cùng cơ số 3: $27^{2x-3}=3^{6x-9}$ và ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+2}=3^{-x^2-2}$. Phương trình trở thành $6x-9=-x^2-2\iff x^2+6x-7=0\iff x=1$ hoặc $x=-7$.
- a) Thay $x=1$: VT $=27^{-1}=3^{-3}$, VP $=3^{-3}$, đúng nên $x=1$ là nghiệm. ĐÚNG.
- b) VP phải là $3^{-x^2-2}$ chứ không phải $3^{-x^2+2}$ (vì ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+2}=3^{-(x^2+2)}$). SAI.
- c) Tổng các nghiệm $1+(-7)=-6\ne 6$. SAI.
- d) Thay $x=0$: VT $=27^{-3}=3^{-9}$, VP $=3^{-2}$, không bằng nhau nên $x=0$ không là nghiệm. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$: $27^{-1}=3^{-3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3$, thỏa mãn nên $x=1$ là nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+2}=3^{-x^2-2}$, nên phương trình tương đương $3^{3(2x-3)}=3^{-x^2-2}$, không phải $3^{-x^2+2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x^2+6x-7=0$ được $x=1$ và $x=-7$, tổng bằng $-6\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$: $27^{-3}=3^{-9}\ne 3^{-2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$, nên $x=0$ không là nghiệm.