Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $6x+3>0\iff x>-\frac{1}{2}$ và $2x^2+5x+2>0\iff x<-2$ hoặc $x>-\frac{1}{2}$. Kết hợp: $x>-\frac{1}{2}$.

Với cùng cơ số 3, phương trình tương đương:
$$2x^2+5x+2=6x+3\iff 2x^2-x-1=0$$
$$\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>$$

Kiểm tra điều kiện $x>-\frac{1}{2}$: chỉ $x=1$ thỏa mãn (với $x=1$: $2+5+2=9>0$, $6+3=9>0$). Vậy $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_{a}b=3$ và ${\log }_{b}c=5$:
a) ${\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b=2\cdot 3=6$ → đúng.
b) ${\log }_{b^2}c=\frac{{\log }_{b}c}{{\log }_b{b}^2}=\frac{5}{2}\ne 10$ → sai.
c) ${\log }_{a}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c=3\cdot 5=15$ → đúng.
d) ${\log }_a(b^2{c}^3)=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=6+45=51$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b=6$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{b^2}c=\frac{5}{2}\ne 10$ → sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{a}c=3\cdot 5=15$ → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a(b^2{c}^3)=6+45=51$ → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $4^{x+1}={\left(2^2\right)}^{x+1}=2^{2x+2}$. Phương trình trở thành $2^{2x+2}=2^{x^2-1}$, suy ra $2x+2=x^2-1$, tức $x^2-2x-3=0$. Phân tích: $(x-3)(x+1)=0$, nên $x=3$ hoặc $x=-1$. Thử lại: với $x=3$: $4^4=256$ và $2^8=256$ (đúng); với $x=-1$: $4^0=1$ và $2^0=1$ (đúng). Vậy tập nghiệm $S=\{-1;3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đưa về cùng cơ số 2: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-x^3}=2^{-(x^2-x^3)}=2^{x^3-x^2}$ và $4^{x^2-2}=2^{2x^2-4}$. Suy ra $x^3-x^2=2x^2-4\iff x^3-3x^2+4=0$. Phân tích: $x^3-3x^2+4=(x-2{)}^2(x+1)=0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=2$ và $x=-1$. Tổng các nghiệm (phân biệt) là $2+(-1)=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $25^{x-1}=5^{x^2+x-8}\iff 5^{2(x-1)}=5^{x^2+x-8}\iff 2x-2=x^2+x-8\iff x^2-x-6=0\iff (x-3)(x+2)=0\iff x=3$ hoặc $x=-2$. Vậy $S=\{-2;3\}$.

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-1}=8^{x^2-5x+4}\iff 2^{-2(x-1)}=2^{3(x^2-5x+4)}\iff -2x+2=3x^2-15x+12\iff 3x^2-13x+10=0$. Giải: $\Delta =169-120=49$, $x=\frac{13\pm 7}{6}$, tức $x=1$ hoặc $x=\frac{10}{3}$. Vậy $S=\left\{1;\frac{10}{3}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số sau $n$ năm: $P(n)=7,795\cdot (1,0105{)}^n$. Cần $7,795\cdot (1,0105{)}^n=10$, suy ra $(1,0105{)}^n=\frac{10}{7,795}\approx 1,28287$. Lấy logarit: $n=\frac{\ln 1,28287}{\ln 1,0105}\approx \frac{0,24903}{0,010445}\approx 23,84$. Vậy cần ít nhất 24 năm, tức dân số đạt 10 tỉ người vào năm $2020+24=2044$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2^{x-1}=3$ lấy logarit cơ số 2 hai vế: $x-1={\log }_{2}3$, nên $x=1+{\log }_{2}3$. Vậy $a=1$, $b=2$ (thỏa $0<b\ne 1$), do đó $S=a+b=1+2=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x>0$, phương trình trở thành $3t^2-4t+1=0$, có nghiệm $t=1$ và $t=\frac{1}{3}$. Suy ra $3^x=1\Rightarrow x=0$ và $3^x=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-1$. Vậy $x_1=-1$, $x_2=0$. Kiểm tra: $x_1+x_2=-1$ (A sai); $2x_1+x_2=-2$ (B sai); $x_1+2x_2=-1$ (C đúng); $x_1\cdot x_2=0$ (D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Số lần nhân đôi: $40\cdot 2^n=671088640\Rightarrow 2^n=16777216=2^{24}\Rightarrow n=24$. Mỗi lần nhân đôi mất 20 phút nên thời gian là $24\cdot 20=480$ phút $=8$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $16^{-5x-10}=(2^4{)}^{-5x-10}=2^{-20x-40}$. Phương trình $2^{9x+6}=2^{-20x-40}$ tương đương $9x+6=-20x-40$, suy ra $29x=-46$, tức $x=-\frac{46}{29}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x>0$, phương trình trở thành $4t^2-35t+66=0$. Biệt thức $\Delta =1225-1056=169$, nên $t=\frac{35\pm 13}{8}$, tức $t=6$ hoặc $t=\frac{11}{4}$ (đều dương, thỏa mãn). Khi đó $x_1={\log }_{3}6$, $x_2={\log }_3\frac{11}{4}$. Tổng các nghiệm: $x_1+x_2={\log }_3\left(6\cdot \frac{11}{4}\right)={\log }_3\frac{66}{4}={\log }_3\frac{33}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chuyển các hạng tử: $-4\cdot 13^x+13\cdot 9^x=16\cdot 13^x-14\cdot 9^x\iff 13\cdot 9^x+14\cdot 9^x=16\cdot 13^x+4\cdot 13^x\iff 27\cdot 9^x=20\cdot 13^x$. Suy ra ${\left(\frac{9}{13}\right)}^x=\frac{20}{27}$, nên $x={\log }_{\frac{9}{13}}\left(\frac{20}{27}\right)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-3x-2>0\iff x<-\frac{2}{3}$. Phương trình ${\log }_3(-3x-2)=5\iff -3x-2=3^5=243\iff -3x=245\iff x=-\frac{245}{3}$. Giá trị này thỏa mãn điều kiện, nên đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-5>0\iff x>\frac{5}{2}$. Phương trình ${\log }_3(2x-5)-{\log }_3(10x+3)=4\iff {\log }_3\frac{2x-5}{10x+3}=4\iff \frac{2x-5}{10x+3}=81\iff 2x-5=810x+243\iff -808x=248\iff x=-\frac{31}{101}$. Vì $x=-\frac{31}{101}<\frac{5}{2}$ không thỏa điều kiện, nên phương trình vô nghiệm. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>\frac{7}{5}$. Phương trình tương đương ${\log }_4[(5x-7)(2x+7)]=3\Rightarrow (5x-7)(2x+7)=64\Rightarrow 10x^2+21x-113=0$. Delta: $\Delta =21^2+4\cdot 10\cdot 113=4961=121\cdot 41$, nên $x=\frac{-21\pm 11\sqrt{41}}{20}$. Nghiệm âm $x=\frac{-21-11\sqrt{41}}{20}<0$ bị loại (không thỏa điều kiện). Vậy $x=\frac{-21+11\sqrt{41}}{20}$, thỏa $x>7/5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $81=3^4$, nên $3^{4x^2+4x-1}=3^4\iff 4x^2+4x-1=4\iff 4x^2+4x-5=0$.
a) Sai: phương trình tương đương là $4x^2+4x-5=0$, không phải $4x^2+4x+3=0$.
b) Sai: giải $4x^2+4x-5=0$ được $x=\frac{-4\pm \sqrt{16+80}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{6}}{2}$, không có nghiệm $x=-8\sqrt{6}-8$.
c) Sai: tổng hai nghiệm theo Vi-ét là $-\frac{4}{4}=-1$, không phải 1.
d) Đúng: tích hai nghiệm là $\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $81=3^4$ nên $4x^2+4x-1=4\iff 4x^2+4x-5=0$, không phải $4x^2+4x+3=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm của $4x^2+4x-5=0$ là $x=\frac{-1\pm \sqrt{6}}{2}$, không có nghiệm $x=-8\sqrt{6}-8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo Vi-ét, tổng các nghiệm là $-\frac{4}{4}=-1\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo Vi-ét, tích các nghiệm là $\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=4^x$ với điều kiện $t>0$, phương trình trở thành $2t^2-3t+1=0$, có nghiệm $t=\frac{1}{2}$ và $t=1$ (đều thỏa $t>0$). Suy ra $4^x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ và $4^x=1\Rightarrow x=0$. a) Đúng vì $4^x>0$ với mọi $x$. b) Đúng vì $16^x=(4^x{)}^2=t^2$. c) Sai vì thay $x=1$: $2\cdot 16-3\cdot 4+1=21\ne 0$; nghiệm là $x=0$ và $x=-\frac{1}{2}$. d) Sai vì tích các nghiệm là $0\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=0\ne \frac{1}{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $4^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên điều kiện của $t$ là $t>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=4^x$, ta có $16^x=(4^x{)}^2=t^2$, phương trình trở thành $2t^2-3t+1=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$: $2\cdot 16-3\cdot 4+1=21\ne 0$. Nghiệm của phương trình là $x=0$ và $x=-\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2t^2-3t+1=0$ được $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=1$, suy ra $x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=0$. Tích các nghiệm bằng $0\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=0\ne \frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{a}b=9$, ${\log }_{a}c=-10$. Tính $P={\log }_a\left(\frac{1}{b^3{c}^8}\right)+8$.

Ta có:
$${\log }_a\left(\frac{1}{b^3{c}^8}\right)=-{\log }_a\left(b^3{c}^8\right)=-\left(3{\log }_{a}b+8{\log }_{a}c\right)$$

Thay ${\log }_{a}b=9$ và ${\log }_{a}c=-10$:
$${\log }_a\left(\frac{1}{b^3{c}^8}\right)=-(3\cdot 9+8\cdot (-10))=-(27-80)=53$$

Suy ra:
$$P=53+8=61$$

Vậy $P=61$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $P={\log }_6\frac{19}{20}+{\log }_6\frac{20}{21}+\dots +{\log }_6\frac{336}{337}$. Theo tính chất cộng của logarit cùng cơ số: $P={\log }_6\left(\frac{19}{20}\cdot \frac{20}{21}\cdot \dots \cdot \frac{336}{337}\right)$. Đây là tích telescoping, các thừa số trung gian triệt tiêu: $P={\log }_6\frac{19}{337}$. Kiểm tra: $337$ là số nguyên tố, không chia hết cho $19$ ($19\cdot 17=323\ne 337$), nên phân số không rút gọn được. Vậy $P={\log }_6\frac{19}{337}$ (giá trị âm vì $\frac{19}{337}<1$).

(AI giải đề cho tôi)
Cần giải $N(x)=25$, tức $5^{5x^2-2x-2}=5^2\iff 5x^2-2x-2=2\iff 5x^2-2x-4=0$. Nghiệm: $x=\frac{2\pm \sqrt{4+80}}{10}=\frac{1\pm \sqrt{21}}{5}$. Chỉ nhận nghiệm dương $x=\frac{1+\sqrt{21}}{5}\approx 1,12$ ngày. Vậy sau ít nhất khoảng $\frac{1+\sqrt{21}}{5}\approx 1,12$ ngày (thực tế làm tròn 2 ngày nếu tính theo ngày nguyên) kể từ khi bắt đầu nuôi cấy thì phải xử lý môi trường.