Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $M=\log A-\log A_0=\log \frac{A}{A_0}$ nên $\frac{A}{A_0}=10^M$. a) Nhật Bản $M=9$: $\frac{A}{A_0}=10^9$ → đúng. b) Trung Quốc $M=7$: $\frac{A}{A_0}=10^7$ chứ không phải $10^{-7}$ → sai. c) $\frac{A_{Nhật}}{A_{TQ}}=\frac{10^9{A}_0}{10^7{A}_0}=100$ → đúng. d) Ngược lại, Trung Quốc nhỏ hơn 100 lần → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$M=\log \frac{A}{A_0}=9\Rightarrow \frac{A}{A_0}=10^9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M=\log \frac{A}{A_0}=7\Rightarrow \frac{A}{A_0}=10^7$, không phải $10^{-7}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{A_{Nhật}}{A_{TQ}}=\frac{10^9}{10^7}=100$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trận ở Trung Quốc có biên độ nhỏ hơn 100 lần, không phải gấp 100 lần.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: x²−5x+7>0. Vì Δ=25−28=−3<0 nên tam thức luôn dương với mọi x, do đó phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ (a đúng). Phương trình tương đương x²−5x+7=1 ⇔ x²−5x+6=0 ⇔ (x−2)(x−3)=0, có hai nghiệm phân biệt x₁=2, x₂=3 (b đúng). Tích các nghiệm x₁x₂=2·3=6≠5 (c sai). x₁²+x₂²=4+9=13≠23 (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
x²−5x+7 có Δ=25−28=−3<0 nên luôn dương với mọi x, phương trình xác định với mọi x.
b) (AI giải đề cho tôi)
log_{1/2}(x²−5x+7)=0 ⇔ x²−5x+7=1 ⇔ x²−5x+6=0 ⇔ x=2 hoặc x=3: hai nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích các nghiệm là x₁x₂=2·3=6, không phải 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
x₁²+x₂²=2²+3²=13≠23.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 58: Phương trình $3^{2+x}+3^{2-x}=30$.
a) Đúng: đây là phương trình mũ (ẩn $x$ ở số mũ).
b) Đúng: $9\cdot 3^x+\frac{9}{3^x}=30$, nhân với $3^x$: $9\cdot 3^{2x}-30\cdot 3^x+9=0$, chia 3: $3\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x+3=0$.
c) Sai: đặt $t=3^x>0$ thì $3t^2-10t+3=0\Rightarrow t=3$ hoặc $t=\frac{1}{3}$, không phải $t_1=1$.
d) Đúng: với $t=3\Rightarrow x=1$; với $t=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-1$. Hai nghiệm $x=\pm 1$ trái dấu.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có ẩn ở số mũ nên là phương trình mũ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$9\cdot 3^x+9\cdot 3^{-x}=30$, nhân $3^x$ rồi chia 3 được $3\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x+3=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=3^x>0$: $3t^2-10t+3=0\Rightarrow t_1=3,t_2=\frac{1}{3}$, không có nghiệm $t=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$t=3\Rightarrow x=1$; $t=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-1$. Hai nghiệm $\pm 1$ trái dấu.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x$ với $t>0$, phương trình $9^x-3\cdot 3^x+2=0$ trở thành $t^2-3t+2=0$, nên $t=1$ hoặc $t=2$. Suy ra $x=0$ hoặc $x={\log }_{3}2$. Vì $x_1<x_2$ nên $x_1=0$, $x_2={\log }_{3}2$. a) Đúng: phép đặt $t=3^x,t>0$ cho $t^2-3t+2=0$. b) Đúng: $A=2x_1+3x_2=0+3{\log }_{3}2=3{\log }_{3}2$. c) Sai: một nghiệm bằng $0$ (không dương), chỉ có nghiệm ${\log }_{3}2>0$ là dương, nên phương trình không có hai nghiệm dương phân biệt. d) Đúng: $x_1\cdot x_2=0\cdot {\log }_{3}2=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x,t>0$ thì $9^x=t^2$, phương trình trở thành $t^2-3t+2=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=1,2$ ta được $x_1=0,x_2={\log }_{3}2$, nên $A=2\cdot 0+3{\log }_{3}2=3{\log }_{3}2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm là $x_1=0$ và $x_2={\log }_{3}2$; nghiệm $0$ không dương nên phương trình không có hai nghiệm dương phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x_1\cdot x_2=0\cdot {\log }_{3}2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{2}\cdot 2^{3x+1}=2^{1/2}\cdot 2^{3x+1}=2^{3x+3/2}=8=2^3$. Suy ra $3x+\frac{3}{2}=3\Rightarrow 3x=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{2}$ (tức $x=0,5$).

(AI giải đề cho tôi)
Cần giải $M(t)=75-20\ln (t+1)=37,5$ (một nửa danh sách). Suy ra $20\ln (t+1)=37,5$, tức $\ln (t+1)=1,875$, nên $t+1=e^{1,875}\approx 6,521$, vậy $t\approx 5,52$ tháng. Vì $t$ nguyên tháng, đến tháng thứ 6 nhóm học sinh nhớ được khoảng một nửa danh sách (kiểm tra: $M(6)=75-20\ln 7\approx 75-38,92\approx 36,1\%\approx 37,5\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $T_S=65$, $D_0=195-65=130$, nên $T(t)=65+130e^{-kt}$. Sau 30 phút (t=0,5 giờ): $150=65+130e^{-0,5k}\Rightarrow e^{-0,5k}=\frac{85}{130}=\frac{17}{26}$. Sau 60 phút (t=1 giờ): $T(1)=65+130e^{-k}=65+130{\left(e^{-0,5k}\right)}^2=65+130\cdot \frac{289}{676}=65+\frac{18785}{338}\approx 120,58$. Vậy nhiệt độ của gà tây sau 60 phút khoảng $120,6^{\circ }F$.

(AI giải đề cho tôi)
Cô Yến cần tổng số tiền đạt ít nhất 15 triệu đồng, tức $\frac{x}{10}=1,5$. Theo công thức $y={\log }_{1,06}\left(\frac{x}{10}\right)$, ta có $y={\log }_{1,06}(1,5)=\frac{\ln 1,5}{\ln 1,06}\approx \frac{0,405465}{0,058269}\approx 6,96$. Vì lãi nhập gốc theo kì hạn 12 tháng nên phải đủ số nguyên năm, do đó sau ít nhất $\lceil 6,96\rceil =7$ năm cô Yến rút được 15 triệu đồng. Kiểm tra: sau 7 năm số tiền là $10\cdot (1,06{)}^7\approx 15,036$ triệu đồng $>15$ triệu; sau 6 năm chỉ là $10\cdot (1,06{)}^6\approx 14,185$ triệu $<15$ triệu.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức $S=A\cdot e^{nr}$ với $A=80902400$, $r=0,0147$, cần $S\ge 93713000$. Ta có $e^{nr}\ge \frac{93713000}{80902400}\approx 1,158313$, nên $nr\ge \ln (1,158313)\approx 0,146925$, suy ra $n\ge \frac{0,146925}{0,0147}\approx 9,995$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất là $n=10$, tức tối thiểu đến năm $2005+10=2015$ dân số Việt Nam đạt khoảng 93713000 người.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x+2^{-x}$ với $t\ge 2$. Khi đó $4^x+4^{-x}=(2^x+2^{-x}{)}^2-2=t^2-2=23$, suy ra $t^2=25$, nên $t=5$ (vì $t\ge 2$). Vậy $P=2^x+2^{-x}=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\log 2=a$, $\log 3=b$, $\log 7=c$.

a) ${\log }_{3}14=\frac{\log 14}{\log 3}=\frac{\log 2+\log 7}{\log 3}=\frac{a+c}{b}$.

b) ${\log }_{21}4=\frac{\log 4}{\log 21}=\frac{2\log 2}{\log 3+\log 7}=\frac{2a}{b+c}$.

c) ${\log }_{28}63=\frac{\log 63}{\log 28}=\frac{\log (9\cdot 7)}{\log (4\cdot 7)}=\frac{2\log 3+\log 7}{2\log 2+\log 7}=\frac{2b+c}{2a+c}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5 – Giải các phương trình mũ, lôgarit:

a) $2^{2x-1}=32=2^5\Rightarrow 2x-1=5\Rightarrow x=3$.

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x-6}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{6-2x}$. Vì cơ số $\frac{2}{3}\ne 1$ nên $4x=6-2x\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1$.

c) ${\sqrt{2}}^{x^2+2x+3}=8^x\iff 2^{\frac{x^2+2x+3}{2}}=2^{3x}\Rightarrow \frac{x^2+2x+3}{2}=3x\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$.

d) $3^{x+5}=8\Rightarrow x+5={\log }_{3}8=3{\log }_{3}2\Rightarrow x=3{\log }_{3}2-5$.

e) $e^{x^2}=\sqrt{3}\Rightarrow x^2=\ln \sqrt{3}=\frac{1}{2}\ln 3\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{\ln 3}{2}}$.

f) $4^{2x+5}=2^{2-x}\iff 2^{4x+10}=2^{2-x}\Rightarrow 4x+10=2-x\Rightarrow 5x=-8\Rightarrow x=-\frac{8}{5}$.

g) $10^{x+2}=25\Rightarrow x+2=\log 25=2\log 5\Rightarrow x=2\log 5-2=\log \frac{25}{100}=\log \frac{1}{4}$.

h) $3^x\cdot 5^{x-1}=7\iff \frac{3^x\cdot 5^x}{5}=7\iff 15^x=35\Rightarrow x={\log }_{15}35$.

Kiểm tra lại: a) $2^5=32$ đúng; b) $x=1$: $(2/3{)}^4=(3/2{)}^{-4}$ đúng; c) $x=1$: $2^{6/2}=2^3=8$ đúng, $x=3$: $2^{18/2}=2^9=8^3$ đúng; f) $x=-8/5$: $4^{-8/5+5}=4^{17/5}=2^{34/5}$, $2^{2+8/5}=2^{18/5}$... kiểm tra lại: $2x+5=-16/5+5=9/5$, nên $4^{9/5}=2^{18/5}$ và $2^{2-(-8/5)}=2^{18/5}$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Giải từng phương trình logarit.

a) ${\log }_3(3-2x)=2$. Điều kiện: $3-2x>0\iff x<\frac{3}{2}$. Phương trình tương đương $3-2x=3^2=9\iff x=-3$ (thỏa điều kiện). Vậy $x=-3$.

b) ${\log }_{2}x+{\log }_{1/2}(2x-1)=0$. Điều kiện: $x>0$ và $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Vì ${\log }_{1/2}(2x-1)=-{\log }_2(2x-1)$ nên ${\log }_{2}x={\log }_2(2x-1)\iff x=2x-1\iff x=1$ (thỏa $x>\frac{1}{2}$). Vậy $x=1$.

c) ${\log }_2(-x^2+4x-3)-1={\log }_2\left(\frac{5}{2}-x\right)$. Điều kiện: $-x^2+4x-3>0\iff 1<x<3$ và $x<\frac{5}{2}$. Phương trình tương đương ${\log }_2(-x^2+4x-3)={\log }_2\left(2\left(\frac{5}{2}-x\right)\right)={\log }_2(5-2x)$, suy ra $-x^2+4x-3=5-2x\iff x^2-6x+8=0\iff x=2$ hoặc $x=4$. Chỉ $x=2$ thỏa điều kiện. Vậy $x=2$.

d) $\log (x-1)+\log (x-3)=\log (x+3)$. Điều kiện: $x>3$. Phương trình tương đương $\log [(x-1)(x-3)]=\log (x+3)\iff x^2-4x+3=x+3\iff x^2-5x=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Chỉ $x=5$ thỏa điều kiện. Vậy $x=5$.

e) ${\log }_3(x^2-7)=2$. Điều kiện: $x^2-7>0\iff |x|>\sqrt{7}$. Phương trình tương đương $x^2-7=9\iff x^2=16\iff x=\pm 4$ (đều thỏa điều kiện). Vậy $x=\pm 4$.

f) $3{\log }_3(2x-1)-{\log }_{1/3}(x-5{)}^3=3$. Điều kiện: $2x-1>0$ và $(x-5{)}^3>0\iff x>5$. Ta có ${\log }_{1/3}(x-5{)}^3=3{\log }_{1/3}(x-5)=-3{\log }_3(x-5)$. Phương trình trở thành $3{\log }_3(2x-1)+3{\log }_3(x-5)=3\iff {\log }_3[(2x-1)(x-5)]=1\iff (2x-1)(x-5)=3\iff 2x^2-11x+2=0\iff x=\frac{11\pm \sqrt{105}}{4}$. Vì $x>5$ nên chỉ nhận $x=\frac{11+\sqrt{105}}{4}\approx 5,31$ (nghiệm $\frac{11-\sqrt{105}}{4}<0$ loại). Vậy $x=\frac{11+\sqrt{105}}{4}$.

Tổng kết: a) $x=-3$; b) $x=1$; c) $x=2$; d) $x=5$; e) $x=\pm 4$; f) $x=\frac{11+\sqrt{105}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $s(t)=s(0)\cdot 2^t$. Sau 3 phút có 625 con nên $s(0)\cdot 2^3=625\Rightarrow s(0)=\frac{625}{8}=78,125$ con. Cần tìm $t$ sao cho $s(t)=10^7$: $$\frac{625}{8}\cdot 2^t=10^7\Rightarrow 2^t=\frac{8\cdot 10^7}{625}=128000=2^7\cdot 1000.$$ Vậy $t=7+{\log }_{2}1000=7+3{\log }_{2}10\approx 7+3\cdot 3,3219\approx 16,97$ phút. Kết luận: sau khoảng $16,97$ phút (xấp xỉ 17 phút) kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10:
a) Độ pH được tính theo công thức $\mathrm{pH}=-\log [{\mathrm{H}}^{+}]$. Với dung dịch A có $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-3}$ mol/L nên $\mathrm{pH}=-\log 10^{-3}=3$.

b) Nồng độ ${\mathrm{H}}^{+}$ của dung dịch B là $30\cdot 10^{-3}=3\cdot 10^{-2}$ mol/L. Do đó
$$\mathrm{pH}=-\log (3\cdot 10^{-2})=-(\log 3-2)=2-\log 3\approx 2-0,4771=1,5229\approx 1,52.$$
Vậy pH của dung dịch B xấp xỉ $1,52$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề, áp suất suy giảm theo công thức $P=P_0{e}^{ix}$ với $P_0=760$ mmHg (dấu mũ là $xi$, $i$ là hệ số suy giảm, thực chất $i<0$).

Bước 1: Tìm hệ số $i$. Ở độ cao $x=1000$ m, $P=672,71$ mmHg nên:
$$672,71=760e^{1000i}\Rightarrow e^{1000i}=\frac{672,71}{760}\approx 0,885145$$
$$1000i=\ln (0,885145)\approx -0,122006\Rightarrow i\approx -0,000122006$$

Bước 2: Tính áp suất ở độ cao $x=3143$ m (đỉnh Phanxipăng):
$$P=760e^{3143i}=760e^{3143\cdot (-0,000122006)}=760e^{-0,383487}$$
$$e^{-0,383487}\approx 0,681472\Rightarrow P\approx 760\cdot 0,681472\approx 517,92\text{ mmHg}$$

Vậy áp suất không khí trên đỉnh Phanxipăng khoảng $517,92$ mmHg.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề bài, tỉ lệ Carbon 14 còn lại là 68,5% so với cây gỗ sống, tức $m(t)=0,685m_0$. Thay vào công thức $m(t)=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$ với $T=5730$ năm, ta có $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}=0,685.$$ Lấy logarit hai vế: $$\frac{t}{5730}\cdot \log \frac{1}{2}=\log 0,685\Rightarrow t=5730\cdot \frac{\log 0,685}{\log 0,5}.$$ Thay số: $\log 0,685\approx -0,1644$, $\log 0,5\approx -0,3010$, nên $$t\approx 5730\cdot \frac{0,1644}{0,3010}\approx 5730\cdot 0,5459\approx 3128\text{na˘m}.$$ Vậy cây gỗ làm cột đã sống cách ngày nay khoảng $3128$ năm (khoảng $3127$ đến $3129$ năm tùy độ chính xác khi làm tròn).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $L=10\log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$ (logarit cơ số 10).

a) Với $I=10^{-7}W/m^2$:
$$L=10\log \left(\frac{10^{-7}}{10^{-12}}\right)=10\log (10^5)=10\cdot 5=50(dB).$$
Vậy mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường là $50dB$.

b) Với $I=10W/m^2$:
$$L=10\log \left(\frac{10}{10^{-12}}\right)=10\log (10^{13})=10\cdot 13=130(dB).$$
Vậy mức cường độ âm của còi xe cứu hỏa là $130dB$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_1$ là biên độ trận động đất ở San Francisco, $A_2$ là biên độ trận động đất ở Nam Mỹ, với $A_2=4A_1$.

Trận động đất ở San Francisco có cường độ $8,3$ độ richter nên:
$$8,3=\log \frac{A_1}{A_0}\Rightarrow \frac{A_1}{A_0}=10^{8,3}.$$

Cường độ trận động đất ở Nam Mỹ:
$$M=\log \frac{A_2}{A_0}=\log \frac{4A_1}{A_0}=\log 4+\log \frac{A_1}{A_0}=\log 4+8,3.$$

Vì $\log 4=2\log 2\approx 2\cdot 0,3010=0,6020$, ta được:
$$M\approx 8,3+0,602=8,902\approx 8,9\text{ (độ richter)}.$$

Vậy cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ khoảng $8,9$ độ richter (chính xác là $8,3+\log 4\approx 8,902$).

Trả lời: 1. Điều kiện: $x>-1$. Ta có $$\frac{1}{2}{\log }_2(x+3)={\log }_2(x+1)+x^2-x-4+2\sqrt{x+3}$$ $$\iff {\log }_2\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}-1\right)}^2={\log }_2(x+1)+x^2(\ast )$$ Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+(t-1{)}^2$ trên khoảng $(0;+\infty )$. $$f^{\prime }(t)=\frac{1}{t\ln 2}+2(t-1)=\frac{1+2\ln 2\left(t^2-t\right)}{t\ln 2}=\frac{2\ln 2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\left(1-\ln \sqrt{2}\right)}{t\ln 2}>0\forall t>0.$$ Vậy hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$. Suy ra $(\ast )\iff f\left(\sqrt{x+3}\right)=f(x+1)\iff \sqrt{x+3}=x+1$ $$\iff \{\begin{array}{l}x>-1\\ x^2+x-2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-1\\ \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right]\end{array}\iff x=1.$$ Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 1.