Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x$ ($x>0$). Ta có ${\log }_{\sqrt{2}}x=2{\log }_{2}x=2t$, nên $\frac{1}{4}{\log }_{\sqrt{2}}^{2}x-3{\log }_{2}x+2=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$. Nhân tử thứ nhất triệt tiêu khi $t=1$ hoặc $t=2$, tức $x=2$ hoặc $x=4$. Nhân tử thứ hai triệt tiêu khi $3^x=m$, tức $x={\log }_{3}m$ (cần $m>0$ và $x>0\iff m>1$). Điều kiện xác định: $x>0$ và $3^x\ge m$.

a) Với $m\le 0$, điều kiện $3^x\ge m$ luôn đúng nhưng vẫn cần $x>0$ (vì có ${\log }_{2}x$). Tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. → Sai.

b) Số nghiệm theo $m$: với $m\le 1$: hai nghiệm $x=2,4$; với $1<m<9$: ba nghiệm $x=2,4,{\log }_{3}m$; với $m=9$: ${\log }_{3}9=2$ trùng $x=2$, còn $x=4$ thỏa $3^4\ge 9$, nên đúng hai nghiệm; với $9<m<81$: hai nghiệm $x=4,{\log }_{3}m$; với $m=81$: một nghiệm; với $m>81$: một nghiệm $x={\log }_{3}m$. Vậy đúng hai nghiệm phân biệt khi $m\le 1$ hoặc $m\in [9;81)$. Giá trị nguyên dương: $m=1$, $m=9$, $m\in \{10,\dots ,80\}$ (71 giá trị), tổng $1+1+71=73$ giá trị. → Đúng.

c) Với mọi $m\le 0$, $3^x-m>0$ với mọi $x$ và tập xác định $x>0$ chứa $x=2,4$, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x=2$ và $x=4$. → Đúng.

d) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi $1<m<9$ (lúc đó $x=2$, $x=4$, $x={\log }_{3}m\in (0;2)$ đôi một khác nhau và đều hợp lệ). Các giá trị nguyên dương: $m\in \{2,3,4,5,6,7,8\}$ — chỉ 7 giá trị, không phải 78. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m\le 0$, điều kiện $3^x\ge m$ luôn đúng nhưng do có ${\log }_{2}x$ nên vẫn cần $x>0$; tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt khi $m\le 1$ hoặc $m\in [9;81)$ (tại $m=9$, ${\log }_{3}9=2$ trùng nghiệm $x=2$). Giá trị nguyên dương: $m=1$, $m=9$ và $m=10,\dots ,80$, tổng $1+1+71=73$ giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với mọi $m\le 0$, $3^x-m>0$ với mọi $x>0$, nên $x=2$ và $x=4$ (nghiệm của $t^2-3t+2=0$) luôn là hai nghiệm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $1<m<9$, tức $m\in \{2,3,\dots ,8\}$ — chỉ có 7 giá trị nguyên dương, không phải 78.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2^{x-1}=3$ lấy logarit cơ số 2 hai vế: $x-1={\log }_{2}3$, suy ra $x=1+{\log }_{2}3={\log }_{2}2+{\log }_{2}3={\log }_{2}6$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (MD0911, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3.

a) Điều kiện: $x\ge 0$. Đặt $t=5^{\sqrt{x}}>0$, khi đó $5^{1-\sqrt{x}}=\frac{5}{t}$. Phương trình trở thành $t-\frac{5}{t}+4=0\iff t^2+4t-5=0\iff (t-1)(t+5)=0$. Vì $t>0$ nên $t=1$, tức $5^{\sqrt{x}}=1\iff \sqrt{x}=0\iff x=0$. Vậy $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

b) Điều kiện: $1-2x>0$ và $x+1>0$, tức $-1<x<\frac{1}{2}$. Vì ${\log }_{\sqrt{5}}(x+1)=2{\log }_5(x+1)$, bất phương trình trở thành
$${\log }_5(1-2x)<2+2{\log }_5(x+1)\iff {\log }_5\frac{1-2x}{(x+1{)}^2}<2.$$
Vì $(x+1{)}^2>0$ nên tương đương $\frac{1-2x}{(x+1{)}^2}<25\iff 1-2x<25(x+1{)}^2\iff 25x^2+52x+24>0$.
Phương trình $25x^2+52x+24=0$ có $\Delta =2704-2400=304$, hai nghiệm $x=\frac{-52\pm \sqrt{304}}{50}=\frac{-26\pm 2\sqrt{19}}{25}$. Vậy $x<\frac{-26-2\sqrt{19}}{25}$ hoặc $x>\frac{-26+2\sqrt{19}}{25}$.
Kết hợp với điều kiện $-1<x<\frac{1}{2}$ (chú ý $\frac{-26-2\sqrt{19}}{25}\approx -1,39<-1$ và $\frac{-26+2\sqrt{19}}{25}\approx -0,69$), tập nghiệm là
$$S=\left(\frac{-26+2\sqrt{19}}{25};\frac{1}{2}\right).$$

c) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{\frac{1}{3}}\left[{\log }_4(2x)\right]}}$ xác định khi
$$\{\begin{array}{l}{\log }_4(2x)>0\\ {\log }_{\frac{1}{3}}\left[{\log }_4(2x)\right]>0\end{array}$$
Từ ${\log }_4(2x)>0\iff 2x>1\iff x>\frac{1}{2}$.
Vì cơ số $\frac{1}{3}<1$, điều kiện thứ hai tương đương ${\log }_4(2x)<1\iff 2x<4\iff x<2$.
Vậy tập xác định là $D=\left(\frac{1}{2};2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết: $f(0)=A=70$ và $f(4)=70\cdot 2^{4r}=280\Rightarrow 2^{4r}=4\Rightarrow r=\frac{1}{2}$. Vậy $f(t)=70\cdot 2^{t/2}$. Giải $70\cdot 2^{t/2}=143360\Rightarrow 2^{t/2}=2048=2^{11}\Rightarrow t=22$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 10: B).

Ta có:
$$S={\log }_5\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+{\log }_5\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+{\log }_5\left(1-\frac{1}{4^2}\right)+\dots +{\log }_5\left(1-\frac{1}{2025^2}\right)$$
$$={\log }_5\left(\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\right)+{\log }_5\left(\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\right)+{\log }_5\left(\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\right)+\dots +{\log }_5\left(\left(1-\frac{1}{2025}\right)\left(1+\frac{1}{2025}\right)\right)$$
$$={\log }_5\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\right)+{\log }_5\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\right)+{\log }_5\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\right)+\dots +{\log }_5\left(\frac{2024}{2025}\cdot \frac{2026}{2025}\right)$$
$$={\log }_5\left(\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{2024}{2025}\right)\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdots \frac{2026}{2025}\right)\right)$$
$$={\log }_5\left(\frac{1}{2025}\cdot \frac{2026}{2}\right)={\log }_5\frac{1013}{2025}$$
Vậy $a=1013;b=2025$. Do đó $2a-b=2026-2025=1$.
Chọn đáp án C

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét quan trọng: $f(x)+f(-x)=\frac{1}{2}{\log }_3\left[(\sqrt{x^2+9}-x)(\sqrt{x^2+9}+x)\right]=\frac{1}{2}{\log }_{3}9=1$, nên $f(-u)=1-f(u)$. Đặt $t=3^{x^2}\ge 1$, khi đó $-3^{2x^2}=-t^2$ và $f(-t^2)=1-f(t^2)$. Phương trình trở thành $f(m+4t-3)=f(t^2)$. Vì $f$ nghịch biến ngặt (do $\sqrt{x^2+9}-x$ nghịch biến) nên f đơn ánh, suy ra $m+4t-3=t^2$, tức $m=t^2-4t+3$ hay $t^2-4t+(3-m)=0$ với $t\ge 1$. Với mỗi nghiệm $t>1$ ta được hai nghiệm $x=\pm \sqrt{{\log }_{3}t}$; với $t=1$ ta được một nghiệm $x=0$. Yêu cầu đúng hai nghiệm $x$ phân biệt: (i) $m=-1$: nghiệm kép $t=2>1$ cho đúng hai nghiệm $x=\pm \sqrt{{\log }_{3}2}$ — thỏa; (ii) $m>-1$: hai nghiệm $t=2\pm \sqrt{1+m}$, cần đúng một nghiệm dương lớn hơn 1 và nghiệm kia nhỏ hơn 1 (không tính $t=1$ vì sinh thêm nghiệm $x=0$). Điều kiện $2-\sqrt{1+m}<1\iff m>0$; khi đó $2+\sqrt{1+m}>2>1$ luôn thỏa. Loại $m=0$ (nghiệm $t=1$ và $t=3$ cho ba nghiệm $x$). Với $-1<m<0$ cả hai nghiệm $t\in (1,2)$ cho bốn nghiệm; $m<-1$ vô nghiệm. Vậy $m\in \{-1\}\cup \{1,2,\dots ,10\}$, tất cả thuộc $[-10;10]$, nên $S$ có $11$ phần tử.

Ta có:
$$S={\log }_{a}ab+{\log }_b\sqrt[4]{ab}$$
$$={\log }_{a}ab+\frac{1}{4}{\log }_{b}ab$$
$$=\left({\log }_{a}a+{\log }_{a}b\right)+\frac{1}{4}\left({\log }_{b}a+{\log }_{b}b\right)$$
$$=\left(1+{\log }_{a}b\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{{\log }_{a}b}+1\right)$$
$$=\frac{5}{4}+{\log }_{a}b+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{{\log }_{a}b}$$

Đặt $t={\log }_{a}b(t>0)$. Khi đó: $S=\frac{5}{4}+t+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{t}=f(t)$ với $t>0$.

Ta có: $f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{4t^2}$. Suy ra $f^{\prime }(t)=0\iff 1-\frac{1}{4t^2}=0\iff 4t^2-1=0\iff t=\frac{1}{2}$.

Vẽ bảng biến thiên ta được giá trị nhỏ nhất của $f(t)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là $\frac{9}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt ${\log }_{6}x={\log }_{9}y=t$, suy ra $x=6^t,y=9^t$. Điều kiện trở thành $t=\frac{1}{2}+{\log }_4(x+y)$, tức $4^{t-\frac{1}{2}}=6^t+9^t$, hay $\frac{4^t}{2}=9^t(1+r)$ với $r=\frac{x}{y}={\left(\frac{6}{9}\right)}^t={\left(\frac{2}{3}\right)}^t$. Vì $4^t=2^{2t}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2t}\cdot 9^t=r^2\cdot 9^t$, thay vào: $\frac{r^2\cdot 9^t}{2}=9^t(1+r)\Rightarrow r^2=2(1+r)\Rightarrow r^2-2r-2=0$. Nghiệm dương $r=1+\sqrt{3}$ (nghiệm $1-\sqrt{3}<0$ loại). Vậy $\frac{x}{y}=\sqrt{3}+1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_{2}a=x\Rightarrow a=2^x$, ${\log }_{2}b=y\Rightarrow b=2^y$. Suy ra $a^2{b}^3=2^{2x}\cdot 2^{3y}=2^{2x+3y}$, do đó $P={\log }_2(a^2{b}^3)=2x+3y$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b$ là số thực khác 0 (có thể âm) nên $b^2=|b{|}^2$, do đó ${\log }_3\left(\frac{3a^3}{b^2}\right)={\log }_{3}3+3{\log }_{3}a-{\log }_3{b}^2=1+3{\log }_{3}a-2{\log }_3|b|$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{5}3$. Ta có ${\log }_{3}2=\frac{1}{a}$ và ${\log }_{3}5=\frac{1}{b}$. Khi đó:
$${\log }_{6}45=\frac{{\log }_{3}45}{{\log }_{3}6}=\frac{{\log }_{3}9+{\log }_{3}5}{{\log }_{3}2+{\log }_{3}3}=\frac{2+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+1}=\frac{\frac{2b+1}{b}}{\frac{a+1}{a}}=\frac{a(2B+1)}{b(a+1)}=\frac{a+2ab}{ab+b}.$$
Kiểm tra số: $a\approx 1.585$, $b\approx 0.6826$, biểu thức $\approx 2.1245$ và ${\log }_{6}45=\frac{\ln 45}{\ln 6}\approx 2.1245$ — khớp. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a={\log }_{2}5=\frac{1}{{\log }_{5}2}$ và $b={\log }_{3}5=\frac{1}{{\log }_{5}3}$, nên $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}={\log }_{5}2+{\log }_{5}3={\log }_{5}6$. Do đó ${\log }_{6}5=\frac{1}{{\log }_{5}6}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính từng giá trị: A: ${\log }_{0,5}\frac{1}{8}={\log }_{1/2}{2}^{-3}=3>1$. B: ${\log }_{0,2}125={\log }_{1/5}{5}^3=-3<1$. C: ${\log }_{1/6}36={\log }_{1/6}{6}^2=-2<1$. D: ${\log }_{0,5}\frac{1}{2}=1$ (bằng 1, không lớn hơn 1). Vậy chỉ có đáp án A lớn hơn 1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $k^2{\log }_{\sqrt[k]{a}}2019=k^2\cdot k{\log }_{a}2019=k^3{\log }_{a}2019$. Phương trình trở thành $\left({\sum }_{k=1}^n{k}^3\right){\log }_{a}2019=1008\cdot 2017^2{\log }_{a}2019$. Vì ${\log }_{a}2019\ne 0$ (do $2019\ne 1$), ta có ${\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=1008\cdot 2017^2$, suy ra $\frac{n(n+1)}{2}=1008\cdot 2017$, tức $n(n+1)=2016\cdot 2017$. Vậy $n=2016$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{2x+1}=32=2^5$, suy ra $2x+1=5$, tức $x=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^2$, phương trình trở thành $(2+\sqrt{3}{)}^{2(x^2+x-1)}=(2+\sqrt{3}{)}^{x-2}$. Do cơ số $2+\sqrt{3}>1$, suy ra $2(x^2+x-1)=x-2\iff 2x^2+x=0\iff x(2x+1)=0$, nên $x=0$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$. Cả hai nghiệm đều không dương, nên phương trình có hai nghiệm không dương. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0$ và $3x-1>0$, tức $x>\frac{1}{3}$. Phương trình ${\log }_2(x+1)+1={\log }_2(3x-1)$ tương đương ${\log }_2(2x+2)={\log }_2(3x-1)$, suy ra $2x+2=3x-1$, tức $x=3$. Thử lại: ${\log }_{2}4+1=3={\log }_{2}8$, thỏa mãn và $x=3>\frac{1}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x$ (điều kiện $x>0$). Phương trình trở thành $t^2-3t+2=0$, có $t_1=1$, $t_2=2$. Suy ra $x_1=2^1=2$, $x_2=2^2=4$. Vậy $P=x_1+x_2=2+4=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân hai vế phương trình $6^{2x-1}-5\cdot 6^{x-1}+1=0$ với 6, ta được $6^{2x}-5\cdot 6^x+6=0$. Đặt $t=6^x$ ($t>0$), phương trình trở thành $t^2-5t+6=0$ với hai nghiệm $t=2$ và $t=3$ (thỏa $t>0$). Suy ra $x_1={\log }_{6}2$, $x_2={\log }_{6}3$. Vậy $x_1+x_2={\log }_{6}2+{\log }_{6}3={\log }_{6}6=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-x+2>0$ luôn đúng vì $\Delta =(-1{)}^2-8=-7<0$. Phương trình ${\log }_2(x^2-x+2)=1\iff x^2-x+2=2\iff x^2-x=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Tập nghiệm $S=\{0;1\}$, chọn B.