Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $2^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên phương trình $2^x=0$ vô nghiệm. Các phương trình còn lại đều có nghiệm: $2^x=1\iff x=0$; $2^x=3\iff x={\log }_{2}3$; $2^x=3^x\iff (2/3{)}^x=1\iff x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-5>0\iff x>5$. Phương trình ${\log }_2(x-5)=3\iff x-5=2^3=8\iff x=13$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: điều kiện $x+8>0\Rightarrow x>-8$, tập xác định là $\mathbb{D}=(-8;+\infty )$, không phải $(0;+\infty )$.
b) Sai: $f(x)\ge 0\iff 9-3^x\ge 0\iff 3^x\le 9\iff x\le 2$, tập nghiệm là $(-\infty ;2]$. Vì $x=2$ thỏa mãn ($f(2)=9-9=0\ge 0$) nhưng $2\notin (-\infty ;2)$, phát biểu $(-\infty ;2)$ là sai.
c) Đúng: $f(x)=-6\iff 9-3^x=-6\iff 3^x=15\iff x={\log }_{3}15>0$, nên phương trình có nghiệm dương.
d) Sai: $g(x)\le 2\iff {\log }_3(x+8)\le 2\iff 0<x+8\le 9\iff -8<x\le 1$, tập nghiệm là $(-8;1]$, không phải $(-8;+\infty )$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+8>0\Rightarrow x>-8$, tập xác định là $(-8;+\infty )$, không phải $(0;+\infty )$. Phát biểu sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\ge 0\iff 3^x\le 9\iff x\le 2$, tập nghiệm là $(-\infty ;2]$. Vì $x=2$ thỏa mãn ($f(2)=0\ge 0$) nhưng $2\notin (-\infty ;2)$, phát biểu sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$9-3^x=-6\iff 3^x=15\iff x={\log }_{3}15>0$: có nghiệm dương. Phát biểu đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_3(x+8)\le 2\iff 0<x+8\le 9\iff -8<x\le 1$, tập nghiệm là $(-8;1]$, không phải $(-8;+\infty )$. Phát biểu sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)={\log }_3(5x-3)$.
a) Sai. Điều kiện có nghĩa là $5x-3>0\iff x>\frac{3}{5}$, không phải $x>0$.
b) Đúng. $f\left(\frac{9}{5}\right)={\log }_3(9-3)={\log }_{3}6$, $f(1)={\log }_3(5-3)={\log }_{3}2$, nên $f\left(\frac{9}{5}\right)-f(1)={\log }_3\frac{6}{2}={\log }_{3}3=1$.
c) Sai. $f(x)=1\iff 5x-3=3\iff x=\frac{6}{5}$, không phải $\frac{4}{5}$.
d) Đúng. $f(x)\le 2\iff 0<5x-3\le 9\iff \frac{3}{5}<x\le \frac{12}{5}$. Các số nguyên trong khoảng này là $1$ và $2$, đúng 2 số nguyên.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $5x-3>0\iff x>\frac{3}{5}$, không phải $x>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{9}{5}\right)-f(1)={\log }_{3}6-{\log }_{3}2={\log }_{3}3=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$5x-3=3\Rightarrow x=\frac{6}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{3}{5}<x\le \frac{12}{5}$ chứa đúng 2 số nguyên: 1 và 2.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P={\log }_a(a{b}^2)={\log }_{a}a+2{\log }_{a}b=1+2\cdot 2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{a^2}{4}={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ với $a>0$, $a\ne 2$ nên $\frac{a}{2}>0$ và $\frac{a}{2}\ne 1$ (cơ số hợp lệ). Do đó $I={\log }_{\frac{a}{2}}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=2{\log }_{\frac{a}{2}}\frac{a}{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết: $A=500$ và $I(10)=1000=500e^{9r_0}$, suy ra $e^{9r_0}=2$, tức $e^{r_0}=2^{1/9}$. Ngày thứ 15: $I(15)=500e^{14r_0}=500\cdot 2^{14/9}$. Tính $2^{14/9}=e^{(14/9)\ln 2}\approx e^{1.0779}\approx 2.9399$. Vậy $I(15)\approx 500\cdot 2.9399\approx 1469.9$, làm tròn đến hàng đơn vị là $1470$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $s(t)=s(0)\cdot 2^t$. Sau 3 phút có 625 nghìn con nên $s(0)\cdot 2^3=625000\Rightarrow s(0)=78125$ con. Cần tìm $t$ sao cho $78125\cdot 2^t=20000000\Rightarrow 2^t=256=2^8\Rightarrow t=8$. Vậy sau 8 phút kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn là 20 triệu con.

(AI giải đề cho tôi)
Độ phóng xạ còn lại là 86% nên $H=0,86H_0$. Theo công thức $H=H_0{e}^{-\lambda t}$ với $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$: $0,86=e^{-\lambda t}\Rightarrow t=\frac{\ln (1/0,86)}{\lambda }=\frac{T\ln (1/0,86)}{\ln 2}$. Thay số: $\ln (1/0,86)\approx 0,15082$, $\ln 2\approx 0,69315$, nên $t\approx 5730\times \frac{0,15082}{0,69315}\approx 1246,8\approx 1247$ năm. Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ khoảng 1247 năm.

Điều kiện: $\sin x\ne 3$ (luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$)
Phương trình tương đương:
$$1-2\left[\ln (\sin x+9)-\ln (\sin x-3{)}^2\right]=1-2{\sin }^{2}x+14\sin x$$
$$\iff -2\ln (\sin x+9)+4\ln (3-\sin x)=-2{\sin }^{2}x+14\sin x$$
$$\iff 4\ln (3-\sin x)+2{\sin }^{2}x-14\sin x-2\ln (\sin x+9)=0$$
Đặt $t=\sin x$ với $t\in [-1;1]$, xét hàm số $f(t)=4\ln (3-t)+2t^2-14t-2\ln (t+9)$
Ta có: $f^{\prime }(t)=\frac{-4}{3-t}+4t-14-\frac{2}{t+9}=\frac{4}{t-3}+(4t-14)-\frac{2}{t+9}$
Với $t\in [-1;1]$ thì:
$t-3<0\Rightarrow \frac{4}{t-3}<0$
$4t-14\le 4(1)-14=-10<0$
$t+9>0\Rightarrow -\frac{2}{t+9}<0$
Suy ra $f^{\prime }(t)<0,\forall t\in [-1;1]$ nên hàm số $f(t)$ nghịch biến trên $[-1;1]$
Mặt khác $f(0)=4\ln 3-2\ln 9=4\ln 3-4\ln 3=0$
Vậy phương trình $f(t)=0$ có nghiệm duy nhất $t=0$
$\sin x=0\iff x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_3{a}^3+{\log }_3\frac{b}{a}={\log }_3\left(a^3\cdot \frac{b}{a}\right)={\log }_3(a^{2}b)=1$. Suy ra $a^{2}b=3^1=3$. Vậy $T=3$. Kiểm tra: tồn tại ví dụ $a=1,b=3$ thỏa mãn điều kiện và $T=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>3$. Phương trình tương đương ${\log }_2(x(x-3))=2\Rightarrow x(x-3)=4\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow x=4$ hoặc $x=-1$. Chỉ $x=4$ thỏa điều kiện $x>3$, nên phương trình có đúng 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-6>0$ và $x-2>0$, tức $x>\sqrt{6}$. Phương trình tương đương ${\log }_3(x^2-6)={\log }_3(3x-6)$, suy ra $x^2-6=3x-6\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Kết hợp điều kiện $x>\sqrt{6}$ ta được $x=3$ (thỏa mãn: ${\log }_{3}3={\log }_{3}1+1$). Vậy $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{3}x$ với $x>0$, khi đó ${\log }_3\frac{x}{3}=t-1$. Phương trình trở thành
$$(t-1{)}^2+3mt+2m^2-2m-1=0⟺t^2+(3m-2)t+2m^2-2m=0.$$
Biệt thức $\Delta =(3m-2{)}^2-4(2m^2-2m)=m^2-4m+4=(m-2{)}^2\ge 0$ với mọi $m$.

- Nếu $m\ne 2$ thì $\Delta >0$, phương trình theo $t$ có hai nghiệm phân biệt $t_1\ne t_2$, do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1=3^{t_1},x_2=3^{t_2}>0$.
- Nếu $m=2$ thì $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép $t=-2$, tức $x=\frac{1}{9}$ (nghiệm kép), không thỏa mãn yêu cầu hai nghiệm phân biệt. Vậy cần $m\ne 2$.

Theo Vi-ét: $t_1+t_2=2-3m$, $t_1{t}_2=2m^2-2m$.

Với $m\ne 2$, hai nghiệm theo $t$ là
$$t_{1,2}=\frac{(2-3m)\pm |m-2|}{2}.$$
- Nếu $m<2$: $t_1=2-2m$, $t_2=-m$.
- Nếu $m>2$: $t_1=-m$, $t_2=2-2m$.

Vậy trong cả hai trường hợp, $x_1+x_2=3^{2-2m}+3^{-m}$.

Đặt $u=3^{-m}>0$, khi đó $x_1+x_2=9u^2+u$. Hàm $9u^2+u$ đồng biến theo $u>0$, mà $u=3^{-m}$ nghịch biến theo $m$, nên $x_1+x_2$ nghịch biến theo $m$ trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

Điều kiện $x_1+x_2>10$:
$$9u^2+u>10⟺9u^2+u-10>0⟺(u-1)(9u+10)>0⟺u>1$$
(vì $u>0$ nên $9u+10>0$). Do đó $3^{-m}>1⟺-m>0⟺m<0$.

Kiểm tra:
- Với $m=0$: $t^2-2t=0\Rightarrow t=0,t=2$, nên $x_1+x_2=1+9=10$, không thỏa mãn $x_1+x_2>10$.
- Với $m=-1$: $t^2-5t+4=0\Rightarrow t=1,t=4$, nên $x_1+x_2=3+81=84>10$: thỏa mãn.
- Với $m=1$: $t^2+t=0\Rightarrow t=0,t=-1$, nên $x_1+x_2=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}<10$: không thỏa mãn.

Vậy $x_1+x_2>10⟺m<0$ (điều kiện $m\ne 2$ tự động thỏa mãn).

Kết hợp $m>-2024$, $m$ nguyên và $m<0$: $m\in \{-2023,-2022,\dots ,-1\}$, gồm $2023$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $3\log a+2\log b=\log (a^3{b}^2)=1$ (logarit cơ số 10), suy ra $a^3{b}^2=10^1=10$. Vậy mệnh đề đúng là C. Lưu ý logarit không biến đổi $a^3+b^2$ hay $3a+2b$ thành số cụ thể, nên A, B, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x>0$. Với $x>0$, phương trình ${\log }_{2}x={\log }_2{x}^2$ tương đương $x=x^2$, tức $x(x-1)=0$, cho $x=0$ (loại vì ngoài điều kiện) hoặc $x=1$. Vậy nghiệm là $x=1$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $Q=\ln (5e^3)=\ln 5+\ln e^3=\ln 5+3\approx 1,6094+3=4,6094\approx 4,61$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ne 0$ (vì $x^4>0$ cần $x\ne 0$; $x^2-x+3>0$ luôn đúng vì $\Delta =1-12<0$).

Đổi cơ số: ${\log }_9{x}^4=\frac{{\log }_3{x}^4}{{\log }_{3}9}=\frac{4{\log }_3|x|}{2}=2{\log }_3|x|={\log }_3{x}^2$.

Phương trình trở thành:
$${\log }_3(x^2-x+3)={\log }_3{x}^2⟺x^2-x+3=x^2⟺-x+3=0⟺x=3.$$

Thử lại: ${\log }_3(9-3+3)={\log }_{3}9=2$ và ${\log }_{9}81=2$. Thỏa mãn.

Vậy $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $1-2x>0\iff x<\frac{1}{2}$.

Ta có $4^{{\log }_2(1-2x)}={\left(2^2\right)}^{{\log }_2(1-2x)}={\left(2^{{\log }_2(1-2x)}\right)}^2=(1-2x{)}^2$.

Phương trình trở thành:
$$(1-2x{)}^2=5x^2-5$$
$$1-4x+4x^2=5x^2-5$$
$$x^2+4x-6=0$$
$$x=\frac{-4\pm \sqrt{16+24}}{2}=-2\pm \sqrt{10}.$$

Kiểm tra điều kiện $x<\frac{1}{2}$:
- $x=-2+\sqrt{10}\approx 1,162>\frac{1}{2}$: loại.
- $x=-2-\sqrt{10}\approx -5,162<\frac{1}{2}$: thỏa mãn.

Thử lại: với $x=-2-\sqrt{10}$, $1-2x=5+2\sqrt{10}$, $(1-2x{)}^2=25+20\sqrt{10}+40=65+20\sqrt{10}$; còn $5x^2-5=5(4+4\sqrt{10}+10)-5=65+20\sqrt{10}$. Thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=-2-\sqrt{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $Q={\log }_a(b^2{c}^3)=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=2\cdot 2+3\cdot 3=4+9=13$.