Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3: Giải phương trình $730\cdot (0,82{)}^t=V$.

a) $730\cdot (0,82{)}^t=500\Rightarrow (0,82{)}^t=\frac{500}{730}=\frac{50}{73}$. Lấy logarit hai vế: $t=\frac{\ln (50/73)}{\ln 0,82}\approx \frac{-0,37844}{-0,19845}\approx 1,91$.
Vậy theo mô hình này, sau khoảng $t\approx 1,91$ năm (khoảng 1 năm 11 tháng) chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng.

b) $730\cdot (0,82{)}^t=200\Rightarrow (0,82{)}^t=\frac{200}{730}=\frac{20}{73}$. Suy ra $t=\frac{\ln (20/73)}{\ln 0,82}\approx \frac{-1,29447}{-0,19845}\approx 6,52$.
Vậy theo mô hình này, sau khoảng $t\approx 6,52$ năm (khoảng 6 năm 6 tháng) chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 (Phần 4 - Tự luận), giải từng câu:

a) $2^{x^2+2x}=8^{2-x}=2^{3(2-x)}=2^{6-3x}$ nên $x^2+2x=6-3x\iff x^2+5x-6=0\iff (x-1)(x+6)=0$. Vậy $x=1$ hoặc $x=-6$.

b) Vì $\sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=(\sqrt{5}+2{)}^{-1}$, phương trình trở thành $(\sqrt{5}+2{)}^{x-1}=(\sqrt{5}+2{)}^{-\frac{x-1}{x+1}}$, tức $x-1=-\frac{x-1}{x+1}$ (điều kiện $x\ne -1$). Suy ra $(x-1)\left(1+\frac{1}{x+1}\right)=0\iff (x-1)\cdot \frac{x+2}{x+1}=0$. Vậy $x=1$ hoặc $x=-2$ (thỏa mãn điều kiện).

c) Điều kiện $x>1$. Đổi cơ số: ${\log }_{\sqrt{2}}(x-1)=2{\log }_2(x-1)$, ${\log }_{1/2}(x+1)=-{\log }_2(x+1)$. Phương trình: $2{\log }_2(x-1)-{\log }_2(x+1)=1\iff {\log }_2\frac{(x-1{)}^2}{x+1}=1\iff (x-1{)}^2=2(x+1)\iff x^2-4x-1=0\iff x=2\pm \sqrt{5}$. Kết hợp điều kiện $x>1$ ta được $x=2+\sqrt{5}$.

d) Điều kiện: $x^2+4x>0$ và $2x+3>0$, tức $x>0$. Vì ${\log }_{1/3}(2x+3)=-{\log }_3(2x+3)$, phương trình thành ${\log }_3\frac{x^2+4x}{2x+3}=0\iff x^2+4x=2x+3\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Chỉ $x=1$ thỏa điều kiện. Vậy $x=1$.

e) $(1/2{)}^{3x-1}\ge 4\cdot 2^x\iff 2^{1-3x}\ge 2^{x+2}$. Vì cơ số $2>1$: $1-3x\ge x+2\iff -4x\ge 1\iff x\le -\frac{1}{4}$. Vậy $S=\left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right]$.

g) $2^x+2^{x+1}=3\cdot 2^x$; $3^x+3^{x-1}=\frac{4}{3}\cdot 3^x$. Bất phương trình: $3\cdot 2^x\le \frac{4}{3}\cdot 3^x\iff \frac{2^x}{3^x}\le \frac{4}{9}\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^x\le \frac{4}{9}$. Vì cơ số $0<\frac{2}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến: $x\ge {\log }_{2/3}\frac{4}{9}=\frac{\ln (4/9)}{\ln (2/3)}=2$. Vậy $S=[2;+\infty )$. (Kiểm tra: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ đúng.)

h) Điều kiện $36-x^2>0\iff -6<x<6$. Bất phương trình: $36-x^2\ge 3^3=27\iff x^2\le 9\iff -3\le x\le 3$ (thỏa điều kiện). Vậy $S=[-3;3]$.

k) Cùng cơ số $0,3=\frac{3}{10}<1$ nên hàm ${\log }_{0,3}t$ nghịch biến. Điều kiện $5-2x>0\iff x<\frac{5}{2}$. Bất phương trình: $5-2x<9\iff -2x<4\iff x>-2$. Vậy $S=\left(-2;\frac{5}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có $\ln (7a)-\ln (3a)=\ln \frac{7a}{3a}=\ln \frac{7}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_3(27a)-{\log }_{3}a={\log }_{3}27+{\log }_{3}a-{\log }_{3}a={\log }_{3}27=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: ${\log }_a(b^2{c}^3)={\log }_a{b}^2+{\log }_a{c}^3=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=2\cdot 3+3\cdot (-5)=6-15=-9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: ${\log }_a(b^2{c}^3)=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=2\cdot 3+3\cdot (-5)=6-15=-9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-9$.

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}=27\iff {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2x-1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}\iff -2x-1=-3\iff x=1$. (Lưu ý: trong bản in lời giải nguồn, vế trái hiển thị số mũ $2x-1$ thay vì $-2x-1$, giữ nguyên theo nguồn.)

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-12>0\\ x^2-2x-11>0\end{array}$ (*)

$(2+\sqrt{5}{)}^2=9+4\sqrt{5}$ và $(2\sqrt{2+\sqrt{5}}{)}^2=8+4\sqrt{5}$ do đó $2+\sqrt{5}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ và $2\sqrt{2+\sqrt{5}}=\sqrt{8+4\sqrt{5}}$.

$(1)\iff {\log }_{\sqrt{9+4\sqrt{5}}}(x^2-2x-11)={\log }_{\sqrt{8+4\sqrt{5}}}(x^2-2x-12)$

$\iff {\log }_{9+4\sqrt{5}}(x^2-2x-11)={\log }_{8+4\sqrt{5}}(x^2-2x-12)$

Đặt: $a=8+4\sqrt{5}>1$, $t=x^2-2x-12$. Điều kiện: $t>0$.

Do đó: $(1)\iff {\ln }_{a+1}(t+1)={\ln }_{a}t$

Xét hàm số $y=f(t)={\ln }_{a+1}(t+1)-{\ln }_{a}t$ ($a>1$)

Ta được: $y^{\prime }=\frac{1}{(t+1)\ln (a+1)}-\frac{1}{t\ln a}<0$ vì $a>1$, nên hàm số giảm trên $(0;+\infty )$ và ta có f(t) = 0 có nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm duy nhất t = a.

Vậy: $(1)\iff {\ln }_{a+1}(t+1)={\ln }_{a}t\iff t=a\Rightarrow x^2-2x-12=8+4\sqrt{5}$ (thỏa *)

$\iff x^2-2x-20-4\sqrt{5}=0\iff x=2+2\sqrt{5}$ hoặc $x=-2\sqrt{5}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x=2+2\sqrt{5}$ hoặc $x=-2\sqrt{5}$. [0.5]

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x>0$ (điều kiện $x>0$). Khi đó ${\log }_{\sqrt{2}}x=2{\log }_{2}x=2t$ và ${\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x=-t$. Phương trình trở thành $$\frac{1}{8}(2t{)}^3-(-t{)}^2-3t+3=0\iff t^3-t^2-3t+3=0.$$ Phân tích: $t^2(t-1)-3(t-1)=(t-1)(t^2-3)=0$, nên $t=1$ hoặc $t=\pm \sqrt{3}$ (đều thỏa $t$ bất kỳ vì $x=2^t>0$ luôn hợp lệ). Vậy ba nghiệm là $x_1=2^1=2$, $x_2=2^{\sqrt{3}}$, $x_3=2^{-\sqrt{3}}$. Tổng các nghiệm: $$S=2+2^{\sqrt{3}}+2^{-\sqrt{3}}.$$ Tính gần đúng: $\sqrt{3}\approx 1.7320508$, $2^{\sqrt{3}}=e^{\sqrt{3}\ln 2}=e^{1.2005661}\approx 3.3219957$, $2^{-\sqrt{3}}\approx 0.3010239$. Vậy $S\approx 2+3.3219957+0.3010239=5.6230196\approx 5.62302$ (lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $500e^{360r}=2000$ ta có $e^{360r}=4$, suy ra $r=\frac{\ln 4}{360}$. Cần $500e^{rt}\ge 120000\iff e^{rt}\ge 240\iff t\ge \frac{\ln 240}{r}=360\cdot \frac{\ln 240}{\ln 4}\approx 1423,3$ phút $\approx 23,72$ giờ. Vậy ít nhất sau 24 giờ số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x+2^{-x}$. Theo AM-GM, $t\ge 2$. Khi đó $t^2=4^x+2+4^{-x}=7+2=9$, nên $t=3$ (thỏa $t\ge 2$). Thay vào $P$: $P=\frac{5+t}{8-4t}=\frac{5+3}{8-12}=\frac{8}{-4}=-2$. Vậy $P=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{3x}=64=2^6$, suy ra $3x=6$, tức $x=2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Phương trình ${\log }_3(x+1)=2\iff x+1=3^2=9\iff x=8$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2^x\cdot 3^{x+1}=3$.

Ta có: $2^x\cdot 3^{x+1}=2^x\cdot 3^x\cdot 3=6^x\cdot 3$.

Phương trình trở thành: $6^x\cdot 3=3\iff 6^x=1\iff 6^x=6^0\iff x=0$.

Thử lại: $2^0\cdot 3^{0+1}=1\cdot 3=3$ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{0\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\log (100a)=\log 100+\log a=2+7=9$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ban đầu (t=0): P = $P_0$ = 4000, vậy $P_0=4000$. Sau 2 giờ: $4000\cdot 10^{-2r}=1000\Rightarrow 10^{2r}=4\Rightarrow 2r=\log 4\Rightarrow r=\log 2\approx 0.30103$. Vậy $P=4000\cdot 10^{-t\log 2}$. b) Vì số vi khuẩn giảm dần theo thời gian, số lượng đạt mức 36 con (tức còn không quá 36 con) khi $4000\cdot 10^{-t\log 2}\le 36\Rightarrow 10^{t\log 2}\ge \frac{4000}{36}=\frac{1000}{9}\Rightarrow t\log 2\ge \log \frac{1000}{9}=3-2\log 3\approx 2.04576\Rightarrow t\ge \frac{3-2\log 3}{\log 2}\approx 6.796$ giờ. Vậy ít nhất sau khoảng $6.8$ giờ (khoảng 6 giờ 48 phút) số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước đạt mức 36 con.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_2{a}^3+{\log }_{2}b={\log }_2(a^{3}b)=6$, suy ra $a^{3}b=2^6=64$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{x+1}=16=2^4$, suy ra $x+1=4$, tức $x=3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^{2}b)={\log }_a{a}^2+{\log }_{a}b=2+{\log }_{a}b$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{3x-5}=16=2^4$, suy ra $3x-5=4$, tức $3x=9$, vậy $x=3$. Đáp án A.