Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-3x+2>0\iff x<1$ hoặc $x>2$, và $2x-4>0\iff x>2$. Vậy $x>2$.
Vế phải: $2{\log }_{100}(2x-4)=2\cdot \frac{\log (2x-4)}{\log 100}=2\cdot \frac{\log (2x-4)}{2}=\log (2x-4)$.
Phương trình trở thành $\log (x^2-3x+2)=\log (2x-4)\iff x^2-3x+2=2x-4\iff x^2-5x+6=0\iff x=2$ hoặc $x=3$.
Do $x>2$ nên loại $x=2$, nhận $x=3$. Thử lại: $\log (9-9+2)=\log 2$ và $2{\log }_{100}(2)=2\cdot \frac{1}{2}=1=\log 10$... kiểm tra: $\log 2\ne 1$? Thực ra $\log (2)=\log 2$ và $2{\log }_{100}2=2\cdot \frac{\log 2}{2}=\log 2$. Thỏa mãn. Vậy $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\log (x-1{)}^2=\log (x+1)$. Điều kiện xác định: $x+1>0$ và $(x-1{)}^2>0$, tức $x>-1$ và $x\ne 1$. Với điều kiện đó, phương trình tương đương $(x-1{)}^2=x+1\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$, cả hai đều thỏa điều kiện. So với bảng đáp án mã đề 102, Phần II câu 2: ĐSDS — khớp hoàn toàn. a) Đúng: hai phương trình tương đương vì mọi nghiệm của $x^2-3x=0$ đều thuộc tập xác định. b) Sai: $x=-1$ làm $\log (x+1)=\log 0$ không xác định. c) Đúng: tổng nghiệm $0+3=3$. d) Sai: điều kiện xác định là $x>-1$, $x\ne 1$, không phải $x>1$.
a) Đúng. Với điều kiện $x>-1$ và $x\ne 1$, phương trình $\log (x-1{)}^2=\log (x+1)$ tương đương $(x-1{)}^2=x+1$, tức $x^2-3x=0$. Hai nghiệm $x=0$ và $x=3$ đều thỏa mãn điều kiện, nên hai phương trình tương đương.
b) Sai. Với $x=-1$ thì $\log (x+1)=\log 0$ không xác định, nên $x=-1$ không thuộc tập xác định, không thể là nghiệm.
c) Đúng. Phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=3$ (đều thỏa mãn điều kiện xác định), tổng bằng $0+3=3$.
d) Sai. Điều kiện xác định là $x+1>0$ và $(x-1{)}^2>0$, tức $x>-1$ và $x\ne 1$, không phải $x>1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có ${\log }_3\sqrt{x}=\frac{1}{2}{\log }_{3}x$ và ${\log }_3(3x^2)=1+2{\log }_{3}x$. Do đó $M=12\cdot \frac{1}{2}{\log }_{3}x-3(1+2{\log }_{3}x)=6{\log }_{3}x-3-6{\log }_{3}x=-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102: $-3$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^x=\frac{1}{4}=2^{-2}$, suy ra $x=-2$. Đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 102 (Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^x=\frac{1}{4}=2^{-2}$, suy ra $x=-2$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án (Câu 11, mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\log (x-1{)}^2=\log (x+1)$. Điều kiện: $(x-1{)}^2>0\Rightarrow x\ne 1$ và $x+1>0\Rightarrow x>-1$. Với điều kiện đó, phương trình tương đương $(x-1{)}^2=x+1\iff x^2-2x+1=x+1\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$ (đều thỏa điều kiện). a) Tổng nghiệm $0+3=3$: Đúng. b) Điều kiện xác định là $x>-1,x\ne 1$, không phải $x>1$: Sai. c) $x=-1$ không thuộc điều kiện xác định ($x+1=0$): Sai. d) Trên tập xác định, phương trình tương đương $x^2-3x=0$: Đúng. Khớp đáp án mã đề 101: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=0$ và $x=3$, tổng bằng 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định là $x>-1$ và $x\ne 1$, không phải $x>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1$ làm $\log (x+1)=\log 0$ không xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bỏ log hai vế (cùng cơ số) được $(x-1{)}^2=x+1\iff x^2-3x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có ${\log }_3\sqrt{x}=\frac{1}{2}{\log }_{3}x$ và ${\log }_3(3x^2)=1+2{\log }_{3}x$. Do đó $M=12\cdot \frac{1}{2}{\log }_{3}x-3(1+2{\log }_{3}x)=6{\log }_{3}x-3-6{\log }_{3}x=-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1 (1,5 điểm):

a) $5^{x^2-x-4}=25=5^2\iff x^2-x-4=2\iff x^2-x-6=0\iff (x-3)(x+2)=0\iff x=3$ hoặc $x=-2$.
Vậy $S=\{-2;3\}$.

b) Điều kiện: $x+5>0$ và $(x-1{)}^2>0$, tức $x>-5$ và $x\ne 1$.
Phương trình ${\log }_2(x-1{)}^2={\log }_2(x+5)\iff (x-1{)}^2=x+5\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$.
Cả hai nghiệm thỏa điều kiện. Vậy $S=\{-1;4\}$.

c) Điều kiện: $x+4>0$, $(x-2{)}^4>0\iff x\ne 2$, $5x>0\iff x>0$. Vậy điều kiện là $x>0$ và $x\ne 2$.
Ta có: $\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{25}}(x-2{)}^4=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\log }_5(x-2{)}^4=-\frac{1}{4}\cdot 4{\log }_5|x-2|=-{\log }_5|x-2|$; và $2{\log }_{25}(5x)={\log }_5(5x)$.
Bất phương trình trở thành:
$${\log }_5(x+4)-{\log }_5|x-2|\ge {\log }_5(5x)\iff {\log }_5\frac{x+4}{|x-2|}\ge {\log }_5(5x)$$
$$\iff \frac{x+4}{|x-2|}\ge 5x.$$

Trường hợp 1: $0<x<2$, khi đó $|x-2|=2-x>0$:
$$\frac{x+4}{2-x}\ge 5x\iff x+4\ge 5x(2-x)\iff 5x^2-9x+4\ge 0\iff (5x-4)(x-1)\ge 0.$$
Được $x\le \frac{4}{5}$ hoặc $x\ge 1$. Kết hợp $0<x<2$: $x\in \left(0;\frac{4}{5}\right]\cup [1;2)$.

Trường hợp 2: $x>2$, khi đó $|x-2|=x-2>0$:
$$\frac{x+4}{x-2}\ge 5x\iff x+4\ge 5x^2-10x\iff 5x^2-11x-4\ge 0.$$
Nghiệm của $5x^2-11x-4=0$: $x=\frac{11\pm \sqrt{201}}{10}$. Vì hệ số $5>0$ nên bất phương trình đúng khi $x\le \frac{11-\sqrt{201}}{10}$ hoặc $x\ge \frac{11+\sqrt{201}}{10}$. Kết hợp $x>2$: $x\ge \frac{11+\sqrt{201}}{10}$ (chú ý $\frac{11-\sqrt{201}}{10}<0$ loại).

Vậy tập nghiệm $S=\left(0;\frac{4}{5}\right]\cup [1;2)\cup \left[\frac{11+\sqrt{201}}{10};+\infty \right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_{a}b=2$ suy ra $b=a^2$; từ ${\log }_{a}c=4$ suy ra $c=a^4$. Khi đó $P={\log }_a\left(b^2{c}^3\right)={\log }_a\left(a^4\cdot a^{12}\right)={\log }_a{a}^{16}=16$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mỗi ngày số vi khuẩn tăng thêm 20% nên $a=1,2$, do đó $P(t)=P_0\cdot 1,2^t$.

Yêu cầu $P(t)>2P_0$:
$$1,2^t>2\iff t>{\log }_{1,2}2=\frac{\ln 2}{\ln 1,2}\approx \frac{0,6931}{0,1823}\approx 3,802.$$

Vậy sau ít nhất 4 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị) thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu. Kiểm tra: $1,2^3=1,728<2$ và $1,2^4=2,0736>2$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a\sqrt{a}={\log }_a{a}^{1/2}=\frac{1}{2}{\log }_{a}a=\frac{1}{2}$ (với $a>0$, $a\ne 1$). Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^x=3$ có cơ số $2>0$, $2\ne 1$, nên theo định nghĩa logarit ta lấy logarit cơ số 2 hai vế: $x={\log }_{2}3$. Kiểm tra: $2^{{\log }_{2}3}=3$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2:

a) Ta có ${\log }_{6}12=\frac{\log 12}{\log 6}=\frac{\log (4\cdot 3)}{\log (2\cdot 3)}=\frac{2\log 2+\log 3}{\log 2+\log 3}=\frac{2\alpha +\beta }{\alpha +\beta }$.

b) Xét $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$.

• Thay $x=-2$: $f(-2)=-8+4a-2b+c=(4a+c-2b-8)>0$ vì giả thiết $4a+c>8+2b$.

• Thay $x=1$: $f(1)=1+a+b+c<0$ vì giả thiết $a+b+c<-1$.

Do $f(-2)>0$, $f(1)<0$ và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, theo định lý giá trị trung gian phương trình $f(x)=0$ có nghiệm $x_1\in (-2;1)$.

• Vì hệ số dẫn của $f$ bằng $1>0$ nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. Do đó tồn tại $x_0<-2$ sao cho $f(x_0)<0$; kết hợp $f(-2)>0$ suy ra phương trình có nghiệm $x_2\in (x_0;-2)\subset (-\infty ;-2)$.

• Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$, tồn tại $x_3>1$ sao cho $f(x_3)>0$; kết hợp $f(1)<0$ suy ra phương trình có nghiệm $x_4\in (1;x_3)$.

Vậy phương trình $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ có ba nghiệm phân biệt thuộc ba khoảng rời nhau $(-\infty ;-2)$, $(-2;1)$, $(1;+\infty )$, tức có đúng ba nghiệm phân biệt. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì số lượng ban đầu $A=2000$ nên $f(x)=2000e^{rx}$.
a) Từ $f(x)=2000e^{rx}$ suy ra $e^{rx}=\frac{f(x)}{2000}$, do đó $r=\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{2000}$, không phải $\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{1000}$ → Sai.
b) $6000=2000e^{6r}\Rightarrow e^{6r}=3\Rightarrow r=\frac{\ln 3}{6}$ → Đúng.
c) Với $r=0,15$, sau 2 giờ: $f(2)=2000e^{0,3}\approx 2699,7\approx 2700$ con, không phải 2690 con → Sai.
d) Cần $20000=2000e^{rx}\Rightarrow x=\frac{\ln 10}{r}=\frac{6\ln 10}{\ln 3}\approx 12,57\approx 13$ giờ, không phải 12 giờ → Sai. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) S, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A=2000$ nên $r=\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{2000}$, không phải $\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{1000}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$6000=2000e^{6r}\Rightarrow r=\frac{\ln 3}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=2000e^{0,3}\approx 2699,7\approx 2700$ con, không phải 2690 con.
d) (AI giải đề cho tôi)
$20000=2000e^{rx}\Rightarrow x=\frac{6\ln 10}{\ln 3}\approx 12,57\approx 13$ giờ, không phải 12 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{8}18=\frac{{\log }_{3}18}{{\log }_{3}8}=\frac{{\log }_3(9\cdot 2)}{3{\log }_{3}2}=\frac{2+a}{3a}$. Vậy $m=2$, $n=1$, do đó $m+n=3$, khớp với đáp án nguồn (đề 234, Phần III Câu 1: đáp án 3).

$700.(0,82{)}^t=300$
$\iff (0,82{)}^t=\frac{3}{7}$
$\iff t\approx {\log }_{0,82}\frac{3}{7}\approx 4,3$
KL: khoảng 5 năm (4,3 năm đều cho điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A=1000$ nên $f(x)=1000e^{rx}$.
a) Sai: Từ $f(x)=1000e^{rx}$ suy ra $e^{rx}=\frac{f(x)}{1000}$, do đó $r=\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{1000}$, không phải $r=x\frac{\ln f(x)}{1000}$.
b) Đúng: $4000=1000e^{8r}\Rightarrow e^{8r}=4\Rightarrow r=\frac{\ln 4}{8}$.
c) Sai: Với $r=15\%=0,15$, sau 2 giờ: $f(2)=1000e^{0,3}\approx 1349,86\approx 1350$ con, không phải 1300 con.
d) Đúng: Với $r=\frac{\ln 4}{8}$, cần $1000e^{rx}=10000\Rightarrow e^{rx}=10\Rightarrow x=\frac{8\ln 10}{\ln 4}\approx 13,29\approx 13$ giờ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $f(x)=1000e^{rx}$ suy ra $r=\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{1000}$, không phải $r=x\frac{\ln f(x)}{1000}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$4000=1000e^{8r}\Rightarrow r=\frac{\ln 4}{8}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=1000e^{0,3}\approx 1350$ con, không phải 1300 con.
d) (AI giải đề cho tôi)
$e^{rx}=10\Rightarrow x=\frac{8\ln 10}{\ln 4}\approx 13,29\approx 13$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{12}9=\frac{{\log }_{2}9}{{\log }_{2}12}=\frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{2}4+{\log }_{2}3}=\frac{2a}{2+a}$. Vậy $m=2$, $n=2$, suy ra $m+n=4$, khớp với đáp án nguồn (đề 132, Câu 1: đáp án 4).

$700.(0,82{)}^t=400$
$\iff (0,82{)}^t=\frac{4}{7}$
$\iff t\approx {\log }_{0,82}\frac{4}{7}\approx 2,82$
KL: khoảng 3 năm (hoặc 2,8 năm đều cho điểm)