Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M\in AC$ nên $MD\subset (ACD)$; tương tự $AN\subset (ACD)$. Trong mặt phẳng $(ACD)$, $MD$ và $AN$ không song song (vì $M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $CD$ nên chúng cắt nhau), gọi giao điểm là $P=MD\cap AN$. Khi đó $P\in MD\subset (MBD)$ và $P\in AN\subset (ABN)$. Ngoài ra $B$ thuộc cả hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(ABN)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung $B$ và $P$, suy ra giao tuyến là đường thẳng $BP$. Đáp án khớp với key nguồn là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm SD.
a) Đúng: (SAC) chứa S, A, C; (SBD) chứa S, B, D. Cả hai mặt phẳng đều chứa S và đường chéo đi qua tâm O (AC ⊂ (SAC), BD ⊂ (SBD), O = AC ∩ BD ∈ cả hai mặt phẳng). Vậy hai mặt phẳng có chung hai điểm phân biệt S và O, giao tuyến là SO.
b) Sai: (SAB) và (SAD) có chung hai điểm phân biệt S và A (A ∈ cả hai mặt phẳng vì A ∈ AB và A ∈ AD), nên giao tuyến là SA, không phải SB.
c) Đúng: Xét tam giác SBD, O là trung điểm BD, M là trung điểm SD nên MO là đường trung bình, suy ra MO ∥ BD. Xét tam giác SBD với đường thẳng BM cắt SO tại điểm P (BM và SO cùng nằm trong mặt phẳng (SBD) và không song song vì O là trung điểm BD, M là trung điểm SD nên BM và SO cắt nhau). Điểm P ∈ BM và P ∈ SO ⊂ (SAC), hơn nữa P là điểm duy nhất của BM nằm trong (SAC) (vì B ∉ (SAC)). Vậy BM cắt (SAC) tại giao điểm của BM và SO.
d) Sai: M là trung điểm SD, M ∈ (SBD). Nếu M ∈ (SAC) thì đường thẳng SD có hai điểm S, M thuộc (SAC), suy ra D ∈ (SAC), khi đó cả bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng — mâu thuẫn với ABCD là đáy hình chóp (không phẳng). Vậy M ∉ (SAC). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SAC) và (SBD) cùng chứa S và O (O = AC ∩ BD), nên giao tuyến là SO.
b) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SAD) cùng chứa S và A, giao tuyến là SA chứ không phải SB.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong (SBD), BM cắt SO (O trung điểm BD, M trung điểm SD); giao điểm thuộc SO ⊂ (SAC) và là điểm duy nhất của BM trong (SAC) vì B ∉ (SAC).
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu M ∈ (SAC) thì S, M ∈ (SAC) kéo theo D ∈ (SAC), suy ra A, B, C, D đồng phẳng, mâu thuẫn. Vậy M ∉ (SAC).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $AB\parallel CD$, $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$. Mặt phẳng $(SAB)$ đi qua $AB$ và chứa điểm chung $S$ với $(SCD)$, nên giao tuyến $d$ của $(SAB)$ và $(SCD)$ đi qua $S$ và $d\parallel AB$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng). Vì $AB$ không song song với $SC$, đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ cắt $SC$ tại một điểm $x$. Khi đó $x\in SC\subset (SCD)$ và $x\in (SAB)$ (vì $(SAB)$ chứa đường thẳng qua $S$ song song với $AB$). Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $Sx$ với $Sx\parallel AB\parallel CD$.
b) Gọi $O=AC\cap BD$ (hai đường chéo của hình thang cắt nhau tại $O$). Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$; $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, suy ra $(SAC)\cap (SBD)=SO$. Đường thẳng $CM$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ vì $C\in AC$ và $M\in SA$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, $CM$ cắt $SO$ tại điểm $I$ (hai đường thẳng này không song song vì cùng đi qua vùng tam giác $SAC$). Khi đó $I\in CM$ và $I\in SO\subset (SBD)$, tức $I=CM\cap (SBD)$. Vậy $CM\cap (SBD)=CM\cap SO$ với $O=AC\cap BD$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) $Sx\parallel AB\parallel CD$; b) $CM\cap (SBD)=CM\cap SO$, $O=AC\cap BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SMB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Xét trong mặt đáy: $BM\subset (SMB)$ và $AC\subset (SAC)$; gọi $I=AC\cap BM$ thì $I\in BM\subset (SMB)$ và $I\in AC\subset (SAC)$. Vậy $I$ là điểm chung thứ hai, giao tuyến là $SI$. Chọn C, khớp với đáp án nguồn (Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$.
a) Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$; mặt đáy có $AC\cap BD=O$ (hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại tâm $O$). Cả $S$ và $O$ đều thuộc hai mặt phẳng nên giao tuyến là đường thẳng $SO$. Đúng.
b) Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa điểm $S$ và điểm $A$ (vì $A\in AB\subset (SAB)$, $A\in AD\subset (SAD)$), nên giao tuyến là $SA$. Đúng.
c) $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, còn $AB$ nằm trong mặt đáy. Giả sử $SC$ và $AB$ cắt nhau tại $I$ thì $I\in AB\subset (SAC)$ và $I\in SC\subset (SAC)$, do đó $AB\subset (SAC)$, suy ra $C\in (SAC)$ và $B\in (SAC)$, tức $BC\subset (SAC)$, mâu thuẫn vì $B,C$ không thuộc đường chéo $AC$ (hình bình hành không suy biến). Thực tế $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó $AB$ không cắt $SC$. Vậy $SC$ và $AB$ chéo nhau, khẳng định sai.
d) $BD\cap AC=O$ với $O$ là tâm hình bình hành. Vì $O\in AC\subset (SAC)$ nên $O=BD\cap (SAC)$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn: D - D - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và $O=AC\cap BD$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$ và $A$, giao tuyến là $SA$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó $AB$ không cắt $SC$; hai đường thẳng chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ là tâm hình bình hành, $O\in (SAC)$ nên $O=BD\cap (SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M=AC\cap BD$, nên $M\in AC\subset (SAC)$ và $M\in BD\subset (SBD)$. Ngoài ra $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung $S$ và $M$, do đó giao tuyến là đường thẳng $SM$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $NP$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ vì $N$ thuộc $BC$ và $P$ thuộc $BD$. Mặt phẳng $(BCD)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $CD$. Do đó giao điểm của $NP$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $NP$ với $CD$ (trong tam giác $BCD$, đường thẳng qua hai điểm nằm trên hai cạnh $BC$ và $BD$ cắt cạnh thứ ba $CD$). Vậy đáp án là $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$. Ngoài ra, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $SO$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF\subset (ABCD)$. b) Đúng: Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (vì $A,B\in AB\subset (SAB)$ và $A,B\in (ABCD)$), nên giao tuyến là $AB$. c) Sai: $(SAB)$ và $(SCD)$ có chung điểm $S$; điểm thứ hai là $E=AB\cap CD$ (vì $E\in AB\subset (SAB)$, $E\in CD\subset (SCD)$), nên giao tuyến là $SE$, không phải $SF$. Tương tự $(SAC)$ và $(SBD)$ có chung $S$ và $F=AC\cap BD$, nên giao tuyến là $SF$, không phải $SE$. Phát biểu hoán đổi sai. d) Đúng: $(SEF)$ và $(SAD)$ có chung điểm $S$; trong mặt phẳng đáy, $EF\cap AD=G$ với $G\in EF\subset (SEF)$ và $G\in AD\subset (SAD)$, nên giao tuyến là $SG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F\in (ABCD)$ nên $EF\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (qua $S$ và $E=AB\cap CD$); giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (qua $S$ và $F=AC\cap BD$). Phát biểu hoán đổi $E,F$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SEF)$ và $(SAD)$ chung $S$; $G=EF\cap AD$ thuộc cả hai mặt phẳng nên giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Gọi $O=AC\cap BD$ (hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại $O$). Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, nên $O$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SO$.

Đáy $ABCD$ là hình thang đáy lớn $AB$ nên $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $I$. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có hai điểm chung là $S$ và $I$ nên giao tuyến là đường thẳng $SI$. Chọn C.

Bốn điểm không đồng phẳng thì ba điểm bất kì không thẳng hàng, mỗi bộ ba điểm xác định một mặt phẳng: $(ABC)$, $(ABD)$, $(ACD)$, $(BCD)$. Có 4 mặt phẳng. Chọn B.

Trong tam giác $BCD$, đường thẳng $BG$ đi qua đỉnh $B$ và trọng tâm $G$ nên là đường trung tuyến của tam giác $BCD$, cắt cạnh $CD$ tại trung điểm của đoạn $CD$.

Điểm này thuộc $CD\subset (ACD)$ nên là giao điểm của đường thẳng $BG$ và mặt phẳng $(ACD)$.

Chọn D.

a) Đúng. Trong tam giác $SBC$, $NK$ là đường trung bình nên $NK\parallel BC$. Vì đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Suy ra $NK\parallel AD$.

b) Đúng. Trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AB$.

c) Sai. Thiết diện là một hình bình hành có các cạnh tương ứng bằng một nửa các cạnh của đáy $ABCD$. Đề bài không cho $AB=BC$, nên thiết diện không nhất thiết là hình thoi.

d) Sai. Do $MN\parallel AB$ và $AB\parallel CD$ nên $MN\parallel CD$, hai đường thẳng này song song chứ không chéo nhau.
a) Đúng. Trong tam giác $SBC$, $NK$ là đường trung bình nên $NK\parallel BC$. Vì đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Suy ra $NK\parallel AD$.
b) Đúng. Trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AB$.
c) Sai. Thiết diện là một hình bình hành có các cạnh tương ứng bằng một nửa các cạnh của đáy $ABCD$. Đề bài không cho $AB=BC$, nên thiết diện không nhất thiết là hình thoi.
d) Sai. Do $MN\parallel AB$ và $AB\parallel CD$ nên $MN\parallel CD$, hai đường thẳng này song song chứ không chéo nhau.

Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có điểm chung thứ nhất là $S$.

Trong mặt phẳng đáy, $AC\cap BD=O$ nên $O$ là điểm chung thứ hai.

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SO$.

Chọn D.

Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ chứa hai đường thẳng song song là $AD$ và $BC$, có điểm chung là $S$.

Giao tuyến $d$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD,BC$.

Chọn C.

Chọn A. Ta có $(MSB)\cap (SAC)=SI$.

Điểm $N$ thuộc cạnh $SD$ với $N$ khác $S$. Các mặt phẳng $(SAD)$, $(SBD)$, $(SCD)$ đều chứa cạnh $SD$ nên đều chứa điểm $N$. Mặt phẳng $(SBC)$ chỉ có điểm chung duy nhất với đoạn $SD$ là đỉnh $S$, do đó $N$ không thuộc mặt phẳng $(SBC)$.
Chọn đáp án B.

$CM$ và $SO$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ và là hai đường trung tuyến của tam giác $SAC$ nên chúng cắt nhau (tại trọng tâm tam giác $SAC$).

a) Xét $(SOM)$ và $(SBC)$: $S$ là điểm chung.
$O$, $M$ lần lượt là trung điểm $AC$, $AB$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $OM\parallel BC$.
Mà $OM\subset (SOM)$, $BC\subset (SBC)$ nên giao tuyến của $(SOM)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $BC$.
Xét $(CGM)$ và $(SBC)$: $C$ là điểm chung.
Gọi $K$ là trung điểm $SB$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SBM$ nên $G\in MK$, suy ra $K\in MG\subset (CGM)$. Lại có $K\in SB\subset (SBC)$.
Vậy $K$ là điểm chung thứ hai, do đó $(CGM)\cap (SBC)=CK$.
b) $M$, $K$ lần lượt là trung điểm $AB$, $SB$ nên $MK$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MK\parallel SA$.
Mà $G\in MK$ nên đường thẳng $MG$ trùng với $MK$. Vậy $MG\parallel SA$.