Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P\in AB\subset (ABC)$, $R\in BC\subset (ABC)$ nên $PR\subset (ABC)$. Vì $PR\parallel AC$ và $AC\subset (ACD)$, $PR\not\subset (ACD)$ nên $PR\parallel (ACD)$. Hai mặt phẳng $(PQR)$ và $(ACD)$ có điểm chung $Q\in CD$. Mặt phẳng $(PQR)$ chứa đường thẳng $PR$ song song với $(ACD)$, theo định lý về giao tuyến, giao tuyến $Qx$ của $(PQR)$ và $(ACD)$ đi qua $Q$ và song song với $PR$, tức là $Qx\parallel AC$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MN\parallel BC$.

Xét mặt phẳng $(DMN)$: đường thẳng $BC$ không nằm trong $(DMN)$ (vì $B,C$ không thuộc $(DMN)$) và $BC\parallel MN$ với $MN\subset (DMN)$, do đó $BC\parallel (DMN)$.

Hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(DBC)$ có điểm chung $D$, nên chúng cắt nhau theo giao tuyến $d$ đi qua $D$. Mặt khác $(DBC)$ chứa đường thẳng $BC\parallel (DMN)$, nên giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng này song song với $BC$: $d\parallel BC$.

Vì $d\parallel BC$, $BC\subset (ABC)$ mà $d$ đi qua $D\notin (ABC)$ nên $d\not\subset (ABC)$. Suy ra $d\parallel (ABC)$.

Vậy $d$ song song với mặt phẳng $(ABC)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: IJ là đường trung bình của tam giác SAB nên IJ ∥ AB ∥ CD và IJ = AB/2 ≠ CD (vì ABCD là hình bình hành, AB = CD nhưng IJ = CD/2). Tứ giác IJCD có IJ ∥ CD và IJ ≠ CD nên là hình thang.
b) Đúng: I ∈ SA ⊂ (SAB) và I ∈ (IBC); B ∈ (SAB) và B ∈ (IBC). Hai mặt phẳng có hai điểm chung I, B nên giao tuyến là IB.
c) Sai: D ∈ (SBD) ∩ (ICD) nhưng J ∈ SB không thuộc mặt phẳng (ICD) (vì (ICD) chỉ chứa I, C, D và J không nằm trên đường thẳng nào tạo nên mặt đó một cách hiển nhiên; J không là điểm chung của hai mặt phẳng). Giao tuyến của (SBD) và (ICD) đi qua D và một điểm chung khác (không phải J), do đó không thể là JD.
d) Sai: O = AC ∩ BD nên O ∈ (IAC) và O ∈ (JBD), tức O là điểm chung. Nhưng A ∈ (IAC) còn A ∉ (JBD) (A không thuộc mặt phẳng (JBD) vì A không nằm trên BD và J không thuộc (ABD) một cách tổng quát). Giao tuyến của (IAC) và (JBD) đi qua O và một điểm chung khác, không phải đường thẳng AO.
a) (AI giải đề cho tôi)
IJ ∥ AB ∥ CD, IJ = AB/2 ≠ CD nên IJCD là hình thang.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có chung hai điểm I, B nên giao tuyến là IB.
c) (AI giải đề cho tôi)
J ∈ SB không thuộc (ICD), nên J không là điểm chung; giao tuyến không phải JD.
d) (AI giải đề cho tôi)
A ∈ (IAC) nhưng A ∉ (JBD), nên giao tuyến không phải AO; chỉ có O là điểm chung xác định.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. (SAB) và (ABCD) có hai điểm chung A, B nên giao tuyến là AB.

b) Sai. Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm CD. Trong tam giác SAD, G là trọng tâm nên G thuộc SI với SG = (2/3)SI; tương tự K thuộc SJ với SK = (2/3)SJ. Suy ra GK // IJ. Lại có IJ là đường trung bình của tam giác DAC nên IJ // AC. Vậy GK // AC, do đó GK và AC không có điểm chung.

c) Đúng. Vì GK // AC và AC nằm trong (ABCD), GK không nằm trong (ABCD) (G, K thuộc các mặt bên), nên GK // (ABCD).

d) Đúng. Mặt phẳng (α) chứa GK và song song với (ABCD) cắt hình chóp theo thiết diện MNEF đồng dạng với đáy ABCD qua phép vị tự tâm S (vì (α) // (ABCD) nên MN // AB, NE // BC, EF // CD, FM // DA). Tứ giác MNEF có các cạnh lần lượt song song với các cạnh của hình bình hành ABCD, do đó MN // EF và NE // FM, tức MNEF là hình bình hành.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (ABCD) có chung hai điểm A, B phân biệt nên giao tuyến là đường thẳng AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, CD. G thuộc SI với SG=(2/3)SI, K thuộc SJ với SK=(2/3)SJ nên GK // IJ; mà IJ // AC (đường trung bình tam giác DAC) nên GK // AC. Hai đường thẳng song song nên không có điểm chung.
c) (AI giải đề cho tôi)
GK // AC với AC nằm trong (ABCD) và GK không nằm trong (ABCD), suy ra GK // (ABCD).
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD tại M, N, E, F thì MN // AB, NE // BC, EF // CD, FM // DA. Vì ABCD là hình bình hành nên MN // EF và NE // FM, do đó MNEF là hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác ACD, I trung điểm AD, J trung điểm AC nên IJ là đường trung bình, do đó IJ ∥ CD. Đúng.
b) Vì IJ ∥ CD và CD ⊂ (BCD) nên IJ ∥ (BCD). Mặt phẳng (GIJ) chứa IJ và cắt (BCD) theo giao tuyến đi qua G và song song với IJ, tức song song với CD (không phải BC). Sai.
c) Giao tuyến MN đi qua trọng tâm G của tam giác BCD và MN ∥ CD, nên MN = (2/3)CD (đoạn nối hai cạnh BC, BD song song CD cách đỉnh B theo tỉ số 2/3). Lại có IJ = (1/2)CD. Vậy IJ/MN = (1/2)/(2/3) = 3/4. Đúng.
d) Với CD = 6: IJ = 3, MN = 4, nên 3IJ + 2MN = 9 + 8 = 17 ≠ 18. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
IJ là đường trung bình tam giác ACD nên IJ ∥ CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
IJ ∥ CD nên giao tuyến của (GIJ) và (BCD) là đường qua G song song với CD, không phải BC.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN ∥ CD qua trọng tâm G nên MN = (2/3)CD, IJ = (1/2)CD, do đó IJ/MN = 3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD = 6 cho IJ = 3, MN = 4, nên 3IJ + 2MN = 17 ≠ 18.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện ABCD đều cạnh 2. Gọi M là trung điểm BC, khi đó A, G, M thẳng hàng với AG/AM = 2/3 (G là trọng tâm tam giác ABC). Mặt phẳng (P) qua G song song (BCD) cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm với tỉ số đồng dạng 2/3, nên thiết diện là tam giác đều cạnh 2·(2/3) = 4/3. Diện tích = (√3/4)·(4/3)² = 4√3/9 ≈ 0.77.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;0;2)$. Khi đó $K(1;0;0)$, $L(2;1;0)$, và $N$ trên $CD$ với $CN=3ND$ tức $N$ chia $CD$ theo tỉ số $\frac{CN}{ND}=3$: $N=C+\frac{3}{4}(D-C)=(0,5;0,5;1,5)$.

Vectơ $\overrightarrow{KL}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{KN}=(-0,5;0,5;1,5)$, nên vectơ pháp tuyến của $(KLN)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{KL}\times \overrightarrow{KN}=(1,5;-1,5;1)$, tức có thể lấy $\vec{n}=(3;-3;2)$.

Mặt phẳng $(KLN)$: $3(x-1)-3y+2z=0\iff 3x-3y+2z=3$.

Điểm $P$ trên đường thẳng $AD$ có dạng $P=(0;0;t)$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $2t=3\Rightarrow t=\frac{3}{2}$.

Vậy $P$ là trung điểm của $AD$, suy ra $\frac{PA}{PD}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;h)$. Khi đó $I$ trên $SC$ với $SI=\frac{1}{4}SC$: $I=\left(\frac{3}{4};\frac{3}{4};\frac{h}{4}\right)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$, chứa $I$, song song với $BD$ (vecto chỉ phương $(-1;1;0)$). Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AI}\times (-1;1;0)=\left(-\frac{h}{4};-\frac{h}{4};\frac{3}{2}\right)$, nên $(\alpha ):-\frac{h}{4}x-\frac{h}{4}y+\frac{3}{2}z=0$. Điểm $K$ trên $SD$ có dạng $(0;t;h(1-t))$, thay vào phương trình: $-\frac{t}{4}+\frac{3}{2}(1-t)=0\Rightarrow 7t=6\Rightarrow t=\frac{6}{7}$, tức $\frac{SK}{SD}=\frac{6}{7}$. Vì $I\in SC$, $K\in SD$ nên tam giác $SIK$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$, do đó $\frac{S_{△SIK}}{S_{△SCD}}=\frac{SI}{SC}\cdot \frac{SK}{SD}=\frac{1}{4}\cdot \frac{6}{7}=\frac{3}{28}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 78: Ta có $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SCM)$ và $(SAN)$ nên $S$ thuộc giao tuyến. Trong mặt phẳng $(ABC)$: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\parallel BC$. Xét tam giác $SBC$: $M$ thuộc $AB\subset (SBC)$... chính xác hơn, $M$ là trung điểm $AB$ nên $M$ không thuộc tam giác $SBC$; thay vào đó xét: $N$ thuộc $AC$, và $MN\parallel BC$ với $M\in AB$, $N\in AC$. Trong mặt phẳng $(SBC)$, đường thẳng qua $M$ song song $BC$ cắt $SC$ tại $I$ với $\frac{SI}{IC}=\frac{SM}{MB}$... Cách chuẩn: Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ song song với $BC$ trong mặt phẳng $(SBC)$: vì $MN\parallel BC$, $M\in (SBC)$, đường thẳng $d$ qua $M$ song song $BC$ nằm trong $(SBC)$, cắt $SC$ tại $I$ với $I$ là trung điểm $SC$ (do $M$ trung điểm $AB$, tam giác $SAB$... ). Cụ thể: trong tam giác $SAC$, $N$ là trung điểm $AC$; đường thẳng qua $N$ song song với... Ta chứng minh $I$ (trung điểm $SC$) thuộc cả hai mặt phẳng: $I\in SC\subset (SCM)$; trong tam giác $SAB$, đường trung bình... Xét tam giác $SBC$: $I$ trung điểm $SC$, đường thẳng qua $I$ song song $BC$ cắt $SB$ tại trung điểm của $SB$; không cần. Kết luận: $MN\parallel BC$ nên $MN\parallel (SBC)$. Gọi $I$ là trung điểm $SC$. Trong tam giác $SAB$: không dùng. Thay vào đó: vì $MN\parallel BC$, mặt phẳng $(SMN)$ song song $BC$... Cách trình bày gọn: $I$ là giao điểm của $SC$ với đường thẳng qua $N$ song song $SB$ trong $(SAC)$? Không. Trình bày đúng: Trong mặt phẳng $(SAC)$, $N$ là trung điểm $AC$. Trong mặt phẳng $(SBC)$, gọi $I$ là trung điểm $SC$. Ta có $NI$ là đường trung bình tam giác $SAC$? $I\in SC$, $N\in AC$, tam giác $SAC$: $I$ trung điểm $SC$, $N$ trung điểm $AC$ $\Rightarrow NI\parallel SA$. Mà $SA\subset (SAN)$ nên $I\in (SAN)$ (vì $NI\parallel SA$, $N\in (SAN)$, đường thẳng qua $N$ song song $SA$ nằm trong $(SAN)$, và $I$ thuộc đường thẳng đó). Đồng thời $I\in SC\subset (SCM)$. Vậy $I$ thuộc cả hai mặt phẳng. Mặt khác $S$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(SCM)$ và $(SAN)$ là đường thẳng $SI$ (đường trung tuyến của tam giác $SBC$ từ $S$, tức đường thẳng qua $S$ và trung điểm $I$ của $SC$).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAM)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt phẳng đáy, $M$ thuộc đoạn $BI$ nên $M$ nằm trong mặt phẳng đáy; xét đường thẳng $AM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $K$ (vì $ABCD$ là hình bình hành, $I$ là giao điểm hai đường chéo, $M$ là trung điểm $BI$, nên $AM$ không song song với $BC$). Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $A(0;0),C(2;0),B(1;1),D(1;-1)$ thì $I(1;0)$, $M(1;0,5)$. Đường $AM$: $y=0,5x$; đường $BC$: $y=-x+2$; giao điểm $K(\frac{4}{3};\frac{2}{3})$ thuộc đoạn $BC$. Khi đó $K\in AM\subset (SAM)$ và $K\in BC\subset (SBC)$. Vậy giao tuyến của $(SAM)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SK$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là giao điểm của $MN$ với $CD$ ($K$ là trung điểm $CD$) và $Q$ là giao điểm của $PN$ với $SC$ ($Q$ nằm trên tia $C$ của đường thẳng $SC$, với $CQ=½CS$). Khi đó $QK$ chính là giao tuyến của $(SCD)$ và $(MNP)$. Chi tiết: (1) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $MN$ đi qua $M$ (trung điểm $BC$) và $N$ (trung điểm $OC$); đặt hệ toạ độ $A=0$, $B=b$, $D=d$, $C=b+d$ thì $M=b+d/2$, $N=3(b+d)/4$, nên $MN$ có phương hướng $(d-b)$, và $MN$ cắt $CD$ tại điểm có b-coeff $1/2$, tức $K$ là trung điểm $CD$. Vì $K\in CD\subset (SCD)$ và $K\in MN\subset (MNP)$ nên $K\in ((SCD)\cap (MNP))$. (2) $P$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $OC$ nên $PN\subset (SAC)$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, đường thẳng $PN$ cắt $SC$ tại $Q$. Toạ độ: $P=(S+A)/2$, $N=(A+3C)/4$ (vì $O=(A+C)/2$), giải $P+t(N-P)=(1-u)S+uC$ cho $t=2$, $u=3/2$, tức $Q=(3C-S)/2$, nghĩa là $Q$ nằm ngoài đoạn $SC$, phía trên $C$, với $CQ=½CS$ ($C$ là trung điểm $SQ$... chính xác: vectơ $CQ=½$ vectơ $CS$ theo chiều ngược, $Q-C=(C-S)/2$). Vì $Q\in SC\subset (SCD)$ và $Q\in PN\subset (MNP)$ nên $Q\in ((SCD)\cap (MNP))$. (3) Hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $K$, $Q$ nên giao tuyến là đường thẳng $KQ$. Vậy giao tuyến của $(SCD)$ và $(MNP)$ là đường thẳng qua $K$ (trung điểm $CD$) và $Q$ (điểm trên tia đối của tia $CS$... cụ thể $Q$ thuộc đường thẳng $SC$ sao cho $C$ nằm giữa $S$ và $Q$ và $CQ=½CS$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 84: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ trung điểm $AD$, $G$ trọng tâm tam giác $SAB$.

a) Xác định giao điểm của $CM$ với $(SAB)$:
- Đường thẳng $CM$ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABC)$. Trong mặt phẳng đáy, $CM$ cắt $AB$ tại $E$ (vì $M$ thuộc $AD$, và $CM$ không song song $AB$ do $M$ không phải trung điểm tạo phương song song với $AB$ — đường thẳng qua $C$ và $M$ cắt đường thẳng $AB$ tại một điểm $E$ xác định).
- Ta có $E\in AB\subset (SAB)$ và $E\in CM$, nên $E$ là giao điểm của $CM$ với $(SAB)$.

b) Xác định giao tuyến $(SAB)$ và $(SCM)$:
- $S$ là điểm chung: $S\in (SAB)\cap (SCM)$.
- $E$ (từ câu a) thuộc $CM\subset (SCM)$ và $E\in AB\subset (SAB)$.
- Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCM)$ là đường thẳng $SE$.

c) Xác định giao tuyến $(GCM)$ và $(SBC)$:
- $C$ là điểm chung: $C\in (GCM)\cap (SBC)$.
- $E\in CM\subset (GCM)$ và $E\in AB\subset (SAB)$, nên $E\in (GCM)$.
- Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $GE$ đi qua $E\in AB$ và $G$ nằm trong tam giác $SAB$ nên $GE$ cắt cạnh $SB$ tại $K$.
- Khi đó $K\in GE\subset (GCM)$ và $K\in SB\subset (SBC)$.
- Vậy giao tuyến của $(GCM)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $CK$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $MN$ không song song với $CD$ mà $MN\subset (ACD)$, $CD\subset (BCD)$, nên $MN$ cắt $CD$ tại một điểm $I$ (hai đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ và không song song). Khi đó $I\in MN\subset (OMN)$ và $I\in CD\subset (BCD)$, tức $I$ thuộc giao tuyến của $(OMN)$ và $(BCD)$. Mặt khác $O\in (OMN)$ và $O\in (BCD)$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $OI$.

a) Trong mặt phẳng $(BCD)$, vì $O$ thuộc miền trong tam giác $BCD$ và $I$ nằm trên $CD$ (ngoài đoạn $BD$), đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BD$ tại một điểm $P$ duy nhất. Khi đó $P\in BD\subset (BCD)$ và $P\in OI\subset (OMN)$, vậy $P=BD\cap (OMN)$.

b) Tương tự, trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại một điểm $Q$ duy nhất. Khi đó $Q\in BC\subset (BCD)$ và $Q\in OI\subset (OMN)$, vậy $Q=BC\cap (OMN)$.

(Kết luận: giao tuyến của $(OMN)$ với $(BCD)$ là $OI$; $BD\cap (OMN)=\{P\}$ với $P=BD\cap OI$; $BC\cap (OMN)=\{Q\}$ với $Q=BC\cap OI$.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 85 (hình chóp $S.ABC$, $M\in SA$, $N\in SB$, $O$ nằm trong tam giác $ABC$).

Vì $O$ nằm trong tam giác $ABC$ nên đường thẳng $CO$ cắt cạnh $AB$ tại một điểm $I^{\prime }$ ($I^{\prime }$ thuộc đoạn $AB$). Ta có $I^{\prime }\in OC\subset (SOC)$ và $I^{\prime }\in AB$, đồng thời $S\in (SOC)\cap (SAB)$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(SOC)$ và $(SAB)$ là đường thẳng $S{I}^{\prime }$.

a) Xét mặt phẳng $(SOC)$ và đường thẳng $AB$: $I^{\prime }=OC\cap AB$ thuộc $(SOC)$ và thuộc $AB$. Vậy giao điểm của $AB$ và $(SOC)$ là $I^{\prime }=AB\cap OC$.

b) Trong mặt phẳng $(SAB)$: giao tuyến của $(SAB)$ và $(SOC)$ là $S{I}^{\prime }$. Đường thẳng $MN$ nằm trong $(SAB)$ và cắt $S{I}^{\prime }$ tại điểm $I$ ($I=MN\cap S{I}^{\prime }$). Khi đó $I\in S{I}^{\prime }\subset (SOC)$, suy ra $I$ là giao điểm của $MN$ và $(SOC)$. Vậy $I=MN\cap S{I}^{\prime }$.

c) Hai mặt phẳng $(CMN)$ và $(SOC)$ có điểm chung $C$; lại có điểm chung $I$ (vì $I\in MN\subset (CMN)$ và $I\in S{I}^{\prime }\subset (SOC)$). Vậy giao tuyến của $(CMN)$ và $(SOC)$ là đường thẳng $CI$. Đường thẳng $SO$ nằm trong $(SOC)$ và cắt giao tuyến $CI$ tại điểm $K=SO\cap CI$ (trong mặt phẳng $(SOC)$). Vì $K\in CI\subset (CMN)$ và $K\in SO$, nên giao điểm của $SO$ và $(CMN)$ là $K=SO\cap CI$.

Tóm tắt: a) $AB\cap (SOC)=I^{\prime }=AB\cap OC$; b) $MN\cap (SOC)=I=MN\cap S{I}^{\prime }$; c) $SO\cap (CMN)=K=SO\cap CI$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm của $SB$. Trong mặt phẳng $(SAC)$: $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SC$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SA$.

Xét $K=AM\cap DI$ (với $I$ là trung điểm $SB$, $DI$ là trung tuyến của tam giác $SBD$). Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=\vec{0}$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $C=\vec{b}+\vec{d}$ (vì $ABCD$ hình bình hành tâm $O$, $O=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$), $S=\vec{s}$. Khi đó:
- $M=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$ (trung điểm $SC$),
- $N=\frac{\vec{b}+\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}}{2}=\frac{3\vec{b}+\vec{d}}{4}$ (trung điểm $OB$).

Điểm $K=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$ (trọng tâm tam giác $SBD$) nằm trên đường thẳng $AM$ vì $K=\frac{2}{3}M$, đồng thời $K\in (SBD)$ và $K$ nằm trên trung tuyến $DI$ của tam giác $SBD$ (vì $I$ là trung điểm $SB$).

Hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $N$ và điểm $K$ (vì $K\in AM\subset (AMN)$ và $K\in (SBD)$). Suy ra giao tuyến là đường thẳng $KN$. Gọi $P=SD\cap KN$ (trong mặt phẳng $(SBD)$), khi đó $P=SD\cap (AMN)$.

Tính tỉ số: trong mặt phẳng $(SBD)$, dùng tọa độ theo bộ đếm $S,B,D$: $K=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$, $N=\left(0,\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$. Đường thẳng $KN$ cắt $SD$ (có tọa độ $B=0$) tại điểm có tọa độ $\left(\frac{3}{5},0,\frac{2}{5}\right)$. Vậy $P$ nằm trên đoạn $SD$ với $\frac{SP}{SD}=\frac{2}{5}$, tức $\frac{SP}{PD}=\frac{2}{3}$.

Kiểm tra trực tiếp: điểm $P=S+t(D-S)=(1-t)\vec{s}+t\vec{d}$ thuộc mặt phẳng $(AMN)$ khi tồn tại $\alpha ,\beta$ sao cho $(1-t)\vec{s}+t\vec{d}=\alpha M+\beta N$ (do $A$ là gốc). So sánh hệ số theo $\vec{s},\vec{b},\vec{d}$: từ hệ số của $\vec{b}$: $\alpha =-\frac{3\beta }{2}$; từ $\vec{d}$: $t=\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{4}=-\frac{\beta }{2}$; từ $\vec{s}$: $1-t=\frac{\alpha }{2}=-\frac{3\beta }{4}=\frac{3t}{2}$, suy ra $t=\frac{2}{5}$. Kết quả trùng khớp.

Kết luận: Gọi $I$ là trung điểm $SB$, $K=AM\cap DI$ (khi đó $K$ là trọng tâm tam giác $SBD$). Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $P=KN\cap SD$. Điểm $P$ chính là giao điểm của $SD$ và $(AMN)$, với $P$ nằm giữa $S$ và $D$ thỏa mãn $\frac{SP}{SD}=\frac{2}{5}$ (tức $SP=\frac{2}{3}PD$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB\parallel CD$, $I$ là trung điểm $AD$ và $J$ là trung điểm $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang, do đó $IJ\parallel AB\parallel CD$.

Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(IJG)$:
- $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $G\in (SAB)$; rõ nhiên $G\in (IJG)$. Vậy $G$ là một điểm chung của hai mặt phẳng.
- Vì $IJ\parallel AB$ và $AB\subset (SAB)$, $IJ\not\subset (SAB)$ nên $IJ\parallel (SAB)$.

Giao tuyến $d$ của $(SAB)$ và $(IJG)$ đi qua điểm chung $G$. Mặt khác, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu $IJ\parallel (SAB)$ và $(IJG)$ cắt $(SAB)$ theo giao tuyến $d$ thì $IJ\parallel d$. Vậy $d$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $IJ$, tức là $d$ qua $G$ và song song với $AB$ (vì $IJ\parallel AB$).

Kết luận: Giao tuyến của $(SAB)$ và $(IJG)$ là đường thẳng $d$ đi qua $G$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$ và $IJ$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $CD$. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G_1$ nằm trên trung tuyến $AI$; tương tự $G_2$ nằm trên trung tuyến $AJ$ của tam giác $ACD$.

Trong tam giác $BCD$: $I$ là trung điểm $BD$, $J$ là trung điểm $CD$ nên $IJ$ là đường trung bình, do đó $IJ\parallel BC$.

Ta có $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{J{G}_2}{JA}=\frac{1}{3}$ (vì trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số $1:2$), suy ra trong tam giác $AIJ$: $G_1{G}_2\parallel IJ$. Vậy $G_1{G}_2\parallel BC$.

Xét hai mặt phẳng $(A{G}_1{G}_2)$ và $(ABC)$:
- Cả hai đều đi qua điểm $A$, nên chúng có giao tuyến đi qua $A$.
- $G_1{G}_2\subset (A{G}_1{G}_2)$ và $G_1{G}_2\parallel BC\subset (ABC)$, tức $G_1{G}_2$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.

Do đó mặt phẳng $(A{G}_1{G}_2)$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến là đường thẳng qua $A$ và song song với $G_1{G}_2$, tức song song với $BC$.

Kết luận: Giao tuyến của $(A{G}_1{G}_2)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $d$ đi qua $A$ với $d\parallel BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$, ta chứng minh $MN\parallel d$.

Bước 1: Chứng minh $AD\parallel d$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Xét $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$, suy ra $AD\parallel (SBC)$. Mà $AD\subset (SAD)$ và $(SAD)$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $d$, nên theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $AD\parallel d$.

Bước 2: Chứng minh $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$ và $AB=DC$. Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $DC$ nên $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=DN$, với $AM\parallel DN$ (do $AM$ cùng hướng với $AB$ và $DN$ cùng hướng với $DC$). Vậy tứ giác $AMND$ có hai cạnh $AM$ và $DN$ song song và bằng nhau, do đó $AMND$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel AD$.

Bước 3: Kết luận. Từ $MN\parallel AD$ và $AD\parallel d$ suy ra $MN\parallel d$, tức $MN$ song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Chứng minh hoàn tất.

Nhận xét: Dữ kiện $Sx$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBD)$ chỉ là dữ kiện đề cho, không cần dùng trong chứng minh trên.

(AI giải đề cho tôi)
$M$ thuộc $AB$, $P$ thuộc $BC$ nên $M$, $P$ cùng thuộc mặt $(ABC)$; đường thẳng $MP$ cắt $AC$ tại $Q$ (vì $P$ không là trung điểm $BC$ nên $MP$ không song song $AC$). Trong mặt $(ACD)$, đường thẳng $NQ$ cắt $AD$ tại $R$. Khi đó thiết diện bởi $(MNP)$ là tứ giác $MPNR$ ($M$ trên $AB$, $P$ trên $BC$, $N$ trên $CD$, $R$ trên $AD$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm của $BC,CD$ nên $MN\parallel BD$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt hình chóp tại: $P\in SA$, $M\in BC$, $N\in CD$. Xét giao tuyến với các mặt bên: trong mặt $(SAB)$, thiết diện cắt cạnh $SB$ tại điểm $E$ (vì đường thẳng qua $P$ thuộc giao của $(MNP)$ và $(SAB)$ gặp $SB$); tương tự trong mặt $(SAD)$, thiết diện cắt cạnh $SD$ tại điểm $F$. Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $S(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)$ thì $M(1,0,5;0),N(0,5;1;0),P(0;0;0,5)$, mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình $x+y+3z=1,5$. Giao với mặt $(SAB)$ ($y=0$): $x+3z=1,5$ cắt $SB$ tại $E(0,75;0;0,25)$; giao với mặt $(SAD)$ ($x=0$): cắt $SD$ tại $F(0;0,75;0,25)$; giao với đáy là đoạn $MN$. Vậy thiết diện là ngũ giác $PEMNF$ (năm đỉnh: $P\in SA$, $E\in SB$, $M\in BC$, $N\in CD$, $F\in SD$). Đáp án A.