Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Lời giải
Chọn C
Mỗi cách chọn ra 2 học sinh từ 5 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 5.
2
Do đó số cách chọn ra 2 học sinh từ 5 học sinh là C5 .

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd4}$ với $a,b,c,d\in \{1;2;3;5\}$ đôi một khác nhau.
- Chọn số xếp vào vị trí $a$ có $4$ cách.
- Chọn số xếp vào vị trí $b$ có $3$ cách.
- Chọn số xếp vào vị trí $c$ có $2$ cách.
- Chọn số xếp vào vị trí $d$ có $1$ cách.

Vậy thành lập được tất cả $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ số.
Chọn đáp án A.

Chọn C.
Số cách xếp $10$ học sinh vào $10$ chỗ ngồi trên một bàn dài là một hoán vị của $10$ phần tử, nên có $10!$ cách.

Chọn B.
Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($n,k\in \mathbb{N},1\le k\le n$) là $C_n^k$.

Mỗi cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 10.
Số cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh là C102 = 45.

Số hoán vị của $(n+1)$ phần tử là $P_{n+1}=(n+1)!$, nên khẳng định C sai.

Một vectơ khác vectơ-không được xác định bởi 2 điểm phân biệt (có thứ tự điểm đầu và điểm cuối) trong 5 đỉnh của ngũ giác. Số các vectơ là: $A_5^2$.

Mỗi số có bốn chữ số khác nhau lập từ tập hợp 5 chữ số $\{1;2;3;4;5\}$ là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử, tức là $A_5^4$ số.

Chọn đáp án C.

Số hoán vị của một tập hợp gồm $n$ phần tử ($n\ge 1$) là $P_n=n!$.

Chọn đáp án A.

Dựa vào sơ đồ hình vẽ:
- Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có 4 con đường riêng biệt.
- Từ thành phố $B$ đến thành phố $C$ có 2 con đường riêng biệt.
Theo quy tắc nhân, số cách đi từ $A$ đến $C$ qua $B$ đúng một lần là $4\times 2=8$ cách.

Chọn đáp án A.

Công thức tính số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($0\le k\le n$) là $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$.

Chọn đáp án D.

Mỗi tập con gồm 2 phần tử chọn từ tập hợp 10 phần tử là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử, tức là $C_{10}^2$.

Chọn đáp án A.

Số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử là $A_7^4=\frac{7!}{(7-4)!}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$.

Chọn đáp án B.

Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 4 chữ số đã cho là một hoán vị của 4 phần tử: $P_4=4!=24$.

Chọn đáp án C.

Tổng số học sinh là $4+3+2=9$. Số cách chọn 5 học sinh bất kỳ là $C_9^5=126$.
Các trường hợp không thỏa mãn (thiếu ít nhất một lớp):
- Không có học sinh lớp 12C: chọn 5 em từ 7 em của 12A và 12B có $C_7^5=21$ cách.
- Không có học sinh lớp 12B: chọn 5 em từ 6 em của 12A và 12C có $C_6^5=6$ cách.
- Không có học sinh lớp 12A: chọn 5 em từ 5 em của 12B và 12C có $C_5^5=1$ cách.
(Các trường hợp đồng thời thiếu 2 lớp không thể xảy ra vì mỗi lớp có số em ít hơn 5).
Số cách chọn thỏa mãn là $126-(21+6+1)=98$ cách.

Chọn đáp án D.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ với $a,b,c,d\in \{0;1;2;\dots ;9\}$, $a\ne 0$, $a,b,c,d$ đôi một khác nhau và $d$ chẵn.
- Trường hợp 1: $d=0$. Có 1 cách chọn $d$. Chọn $a,b,c$ từ 9 chữ số còn lại là chỉnh hợp $A_9^3=504$ cách. Vậy có $1\times 504=504$ số.
- Trường hợp 2: $d\in \{2;4;6;8\}$. Có 4 cách chọn $d$. Chữ số $a\in \{\mathrm{1..9}\}\setminus \{d\}$ có 8 cách chọn. Chữ số $b$ có 8 cách chọn, chữ số $c$ có 7 cách chọn. Vậy có $4\times 8\times 8\times 7=1792$ số.
Tổng số các số chẵn thỏa mãn là $504+1792=2296$ số.

Chọn đáp án C.

Điều kiện: $n\in \mathbb{N},n\ge 3$. Phương trình trở thành:
$n(n-1)(n-2)=20n\iff (n-1)(n-2)=20\iff n^2-3n-18=0\iff (n-6)(n+3)=0$.
Vì $n\ge 3$ nên $n=6$.

Chọn đáp án B.

Số có 4 chữ số khác nhau $\overline{abcd}$ từ tập $\{0;1;2;3;5\}$:
- Tổng số các số có 4 chữ số khác nhau: $a\in \{1;2;3;5\}$ có 4 cách, chọn $b,c,d$ từ 4 chữ số còn lại có $A_4^3=24$ cách. Tổng cộng $4\times 24=96$ số.
- Số các số chia hết cho 5:
+ Nếu $d=0$: $a,b,c$ chọn từ $\{1;2;3;5\}$ có $A_4^3=24$ số.
+ Nếu $d=5$: $a\in \{1;2;3\}$ có 3 cách, $b,c$ chọn từ 3 chữ số còn lại có $A_3^2=6$ cách, tức $3\times 6=18$ số.
Tổng số chia hết cho 5 là $24+18=42$ số.
Số các số không chia hết cho 5 là $96-42=54$ số.

Chọn đáp án C.

Vì chỉ có nhà toán học nữ (3 người), đoàn muốn có nữ thì bắt buộc phải có nhà toán học nữ.
- Trường hợp 1: Có đúng 1 nhà toán học nữ (3 cách chọn). Để có cả nhà toán học và nhà vật lý thì 2 nam còn lại phải gồm 1 nhà toán học nam và 1 nhà vật lý nam: $C_5^1\times C_4^1=5\times 4=20$ cách. Tổng cộng $3\times 20=60$ cách.
- Trường hợp 2: Có 2 nhà toán học nữ ($C_3^2=3$ cách). Để có nhà vật lý nam thì người nam duy nhất phải là nhà vật lý nam ($C_4^1=4$ cách). Tổng cộng $3\times 4=12$ cách.
Wait, kiểm tra lại: số cách = $60+12$ hay còn trường hợp nào? Xét 1 nữ toán + 2 nam vật lý: $C_3^1\times C_4^2=3\times 6=18$ cách (có cả nữ toán, nam vật lý!).
Tổng cộng: $60+12+18=90$ cách.

Chọn đáp án B.

Có hai mô hình sắp xếp xen kẽ:
- Dạng 1: Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ: có $3!\times 3!=6\times 6=36$ cách.
- Dạng 2: Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam: có $3!\times 3!=6\times 6=36$ cách.
Tổng số cách xếp là $36+36=72$ cách.

Chọn đáp án B.