Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$, $e^x\le 2$ với $x\le \ln 2$ và $e^x\ge 2$ với $x\ge \ln 2$ (vì $\ln 2\approx 0,693\in [0;1]$). Do đó:
$$S={\int }_0^{\ln 2}(2-e^x)dx+{\int }_{\ln 2}^1(e^x-2)dx.$$
Tính từng tích phân:
$${\int }_0^{\ln 2}(2-e^x)dx={\left[2x-e^x\right]}_0^{\ln 2}=(2\ln 2-2)-(0-1)=2\ln 2-1.$$
$${\int }_{\ln 2}^1(e^x-2)dx={\left[e^x-2x\right]}_{\ln 2}^1=(e-2)-(2-2\ln 2)=e-4+2\ln 2.$$
Cộng lại: $S=(2\ln 2-1)+(e-4+2\ln 2)=4\ln 2+e-5$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x$. Vì $f(x)-g(x)=-8<0$ với mọi $x\in [a;b]$ nên $|f(x)-g(x)|=8$, do đó $S={\int }_a^{b}8\mathrm{d}x=8(b-a)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trên đoạn $\left[-1,\frac{3}{2}\right]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$; trên đoạn $\left[\frac{3}{2},3\right]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$. Do đó diện tích là $S={\int }_{-1}^{\frac{3}{2}}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_{\frac{3}{2}}^{3}f(x)\mathrm{d}x$. Phương án A và C sai vì tính đại số tích phân (phần âm bị trừ đi thay vì cộng vào diện tích); phương án B sai vì $\left|{\int }_{-1}^{3}f(x)\mathrm{d}x\right|$ là trị tuyệt đối của tổng đại số, không phải tổng diện tích hai phần.

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ giao điểm: $x^2=2x\iff x=0$ hoặc $x=2$. Trên $(0;2)$ ta có $2x\ge x^2$, nên $S={\int }_0^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\cos x$, trục $Ox$ và hai đường $x=0$, $x=\pi$ là $S={\int }_0^{\pi }|\cos x|dx$ (công thức diện tích tổng quát với giá trị tuyệt đối). b) Đúng. Trên $[0,\frac{\pi }{2}]$ ta có $\cos x\ge 0$ nên $S={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1$. c) Sai. Đồ thị $y=x^2-1$ cắt trục $Ox$ tại $x=\pm 1$, nên hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục $Ox$ trải trên đoạn $[-1;1]$, công thức đúng phải là $S={\int }_{-1}^1|x^2-1|dx=\frac{4}{3}$, không phải ${\int }_0^1|x^2-1|dx$ (tích phân này chỉ bằng $\frac{2}{3}$). d) Đúng. Trên $[0;1]$ ta có $x^2+1>0$ nên $S={\int }_0^1(x^2+1)dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tổng quát $S={\int }_0^{\pi }|\cos x|dx$ đúng vì trên $[0;\pi ]$ đồ thị $y=\cos x$ nằm cả trên và dưới trục $Ox$ (cắt tại $x=\frac{\pi }{2}$), nên phải lấy giá trị tuyệt đối.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;\frac{\pi }{2}]$ có $\cos x\ge 0$ nên $S={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=x^2-1$ cắt trục $Ox$ tại $x=\pm 1$ nên hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục $Ox$ trải trên $[-1;1]$; công thức đúng là $S={\int }_{-1}^1|x^2-1|dx=\frac{4}{3}$, còn ${\int }_0^1|x^2-1|dx=\frac{2}{3}$ chỉ tính một nửa hình.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$ có $x^2+1>0$ nên $S={\int }_0^1(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích $V={\int }_1^{2}S(x)dx={\int }_1^{2}2024xdx=2024\cdot \frac{x^2}{2}{|}_1^2=1012(4-1)=3036$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện tại $x$ là hình chữ nhật cạnh $3x$ và $3x^2-2$, nên diện tích $S(x)=3x(3x^2-2)=9x^3-6x$. Thể tích $V={\int }_1^3(9x^3-6x)dx={\left[\frac{9x^4}{4}-3x^2\right]}_1^3=\left(\frac{729}{4}-27\right)-\left(\frac{9}{4}-3\right)=\frac{720}{4}-24=180-24=156$. Vậy đáp án A.

Diện tích $S$ của hình phẳng là: $S={\int }_1^3|3x-1|dx$.

Với $x\in [1;3]$, biểu thức $3x-1$ luôn dương $(3x-1>0$ khi $x>1/3)$.

Do đó: $S={\int }_1^3|3x-1|dx={\int }_1^3(3x-1)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx+\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=3+4=7$. Ngoài ra $\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}{|}_1^5=\frac{25-1}{4}=6$. Vậy $I=7-6=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định về tích phân xác định của hàm liên tục trên $[a;b]$ với $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$.

a) Đúng. Đây là công thức Newton–Leibniz: vì $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $[a;b]$ nên ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

b) Đúng. Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$, suy ra ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.

c) Sai. Theo tính chất cộng tính: ${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_c^{a}f(x)dx+{\int }_a^{b}f(x)dx=n+m$, khác với $m-n$ trong đề.

d) Sai. ${\int }_a^b[2024f(x)+2025]dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(b-a)$, còn đề cho $2025(a-b)$ nên sai dấu.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_c^{a}f(x)dx+{\int }_a^{b}f(x)dx=n+m\ne m-n$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^b[2024f(x)+2025]dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(b-a)\ne 2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(a-b)$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$, theo định lý cơ bản của tích phân: ${\int }_1^{3}f(x)dx=F(3)-F(1)=3^2-1^2=9-1=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: $I={\int }_1^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(3)-f(1)=9-2=7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-2;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó diện tích phần này là ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;3]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-{\int }_1^{3}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_{-2}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{3}f(x)dx$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f_1(x)$, $y=f_2(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b\left|f_1(x)-f_2(x)\right|dx$. Trên mỗi khoảng con, khoảng cách thẳng đứng giữa hai đồ thị là $|f_1(x)-f_2(x)|\ge 0$, nên diện tích bằng tổng các diện tích dải mảnh, tức lấy trị tuyệt đối của hiệu hai giá trị hàm tại mỗi điểm trước khi tích phân. Phương án B chỉ đúng khi $f_1(x)-f_2(x)$ không đổi dấu trên $[a;b]$; phương án C, D sai về ý nghĩa hình học. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$J={\int }_0^2[4f(x)-3]dx=4{\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_0^{2}3dx=4\cdot 3-3\cdot 2=12-6=6$. Vậy $J=6$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_{-2}^{4}f(t)dt={\int }_{-2}^{2}f(x)dx+{\int }_2^{4}f(y)dy$. Suy ra $-4=1+{\int }_2^{4}f(y)dy$, do đó ${\int }_2^{4}f(y)dy=-5$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $(C)$ của $g(x)$ nằm phía trên đồ thị $(P)$ của $f(x)$ nên diện tích phần tô màu là ${\int }_{-1}^1[g(x)-f(x)]dx$. Trên đoạn $[1;2]$ (phần tô màu nằm dưới trục hoành), đồ thị $(P)$ của $f(x)$ nằm phía trên $(C)$ của $g(x)$ nên diện tích phần đó là ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx=-{\int }_1^2[g(x)-f(x)]dx$. Vậy $S={\int }_{-1}^1[g(x)-f(x)]dx-{\int }_1^2[g(x)-f(x)]dx$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$: đúng.
b) ${\int }_0^2(4x^3+m)dx=16+2m=4\Rightarrow m=-6\ne -4$: sai.
c) ${\int }_1^2(\pi x^5+e{x}^2+1)dx=\frac{63\pi }{6}+\frac{7e}{3}+1=\frac{21}{2}\pi +\frac{7}{3}e+1$, nên $m=\frac{21}{2},n=\frac{7}{3},p=1$; $2m-3n+p=21-7+1=15$: đúng.
d) Từ đồ thị: đỉnh $(2;-1)$, $f(0)=3$ nên $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3$. ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3}$; ${\int }_3^{5}f(x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right){|}_3^5=\frac{20}{3}-0=\frac{20}{3}$. Tổng $=\frac{24}{3}=8\ne 10$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^2=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(4x^3+m)dx=16+2m=4\Rightarrow m=-6$, không phải $-4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(\pi x^5+e{x}^2+1)dx=\frac{21}{2}\pi +\frac{7}{3}e+1$ nên $2m-3n+p=21-7+1=15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2{)}^2-1$; ${\int }_0^{1}f=\frac{4}{3}$, ${\int }_3^{5}f=\frac{20}{3}$, tổng bằng $8\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách theo dấu của $|x-1|$ với mốc $x=1$: $${\int }_{-1}^5{x}^2|x-1|dx={\int }_{-1}^1{x}^2(1-x)dx+{\int }_1^5{x}^2(x-1)dx.$$ Tính từng phần: $${\int }_{-1}^1(x^2-x^3)dx={\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]}_{-1}^1=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)-\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{12}+\frac{7}{12}=\frac{2}{3}.$$ $${\int }_1^5(x^3-x^2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]}_1^5=\left(\frac{625}{4}-\frac{125}{3}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1375}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1376}{12}=\frac{344}{3}.$$ Vậy tổng: $$\frac{2}{3}+\frac{344}{3}=\frac{346}{3}\approx 115,33.$$