Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Mỗi viên gạch trắng hình vuông cạnh $4\text{ dm}$ được sơn màu trong các cánh hoa giới hạn bởi $4$ đường cong Parabol chung đỉnh $O$ tại tâm của viên gạch hình vuông và mỗi parabol đi qua $2$ đỉnh liền kề của viên gạch (hình vẽ minh họa). Một người cần trang trí một thang lên trời, bằng cách dán các viên gạch đã được sơn màu các cánh hoa như trên lên mặt đứng phía trước mỗi bậc thang. Biết mặt trước mỗi bậc thang là hình chữ nhật có chiều rộng không đổi $4\text{ dm}$ và chiều dài bậc trên cùng là $8\text{ dm}$; chiều dài bậc dưới cùng là $56\text{ dm}$ và chiều dài mỗi bậc thang khi đi lên giảm $4\text{ dm}$ so với bậc thang liền kề bên dưới (tham khảo hình vẽ minh họa).
Chi phí sơn màu mỗi mét vuông là $150$ nghìn đồng. Hỏi chi phí sơn màu trang trí cho tất cả số gạch dùng để trang trí thang lên trời bao nhiêu nghìn đồng? *(Bỏ qua khoảng cách giữa hai viên gạch liền kề và xem như bằng $0$)*

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=\frac{\pi }{2}$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P_1):y=-x^2+6x-5$ và đường thẳng $d:y=x-1$. Một parabol $(P_2)$ có đỉnh $S(a;b)$ ($a\in (0;6)$) cùng với $(P_1)$ đi qua các giao điểm của $(P_1)$ và $d$, đồng thời $(P_2)$ đi qua điểm $M(0;-6)$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết rằng, $S_1=S_2$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^3-12a^2+108a$.

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=2$ thì ${\int }_0^{1}2f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=3^x$ và $y=x$ có đồ thị như hình bên. Diện tích hình phẳng (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

Kiến trúc sư dự định thiết kế một khu vui chơi có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh $40$ mét (xem hình minh họa). Trong đó, phần tô đậm dùng để trồng hoa, phần còn lại để làm sân chơi. Mỗi phần trồng hoa được giới hạn bởi một trục đối xứng của hình vuông $ABCD$ và đường cong $(C)$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba nhận tâm $I$ của hình vuông $ABCD$ làm tâm đối xứng. Đường cong này có điểm cực trị $E$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $AE=3EB$. Hỏi diện tích phần trồng hoa bằng bao nhiêu mét vuông?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là:

Nếu ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=5$ thì ${\int }_{-1}^2[f(x)-2]dx$ bằng:

Biết ${\int }_1^2{3}^{x}dx=\frac{a}{\ln 3}$ với $a\in \mathbb{Z}$. Giá trị của $a$ là

Biết ${\int }_{-a}^a\sqrt{1-\frac{x^2}{4a^2}}\text{d}x=2025$ với $a$ là số thực dương. Tìm $a$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Nếu ${\int }_{-1}^{3}f(x)dx=-2$ và ${\int }_1^{3}f(x)dx=4$ thì ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$ bằng:

Diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây?

Sau khi đọc xong truyện ngắn rất cảm động “Chiếc lá cuối cùng” của nhà văn O. Henry, bạn An muốn thiết kế hình ảnh một chiếc lá để gửi đến chị em Johnsy và Sue. Chiếc lá là một hình phẳng được giới hạn bởi hai phần parabol giống nhau. Biết một parabol có đỉnh là điểm $O$ và trục đối xứng của hình phẳng này là một đường thẳng tạo với phương ngang góc $60^{\circ }$. Với các kích thước được cho như hình vẽ, hãy tính diện tích của chiếc lá. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của ${\text{cm}}^2$)

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a$, $x=b$. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức nào sau đây?

Cho hai hàm số $f(x)=x^2$ và $g(x)=6-x$ có đồ thị trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lần lượt là đường cong $(C)$ và đường thẳng $d$ như trong hình vẽ bên. Gọi $(H)$ là hình phẳng được tô đậm.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Nghệ sỹ đường phố muốn sơn một ký hiệu lên tường là miền trong được giới hạn bởi hai đường cong $(C_1):y^2=x^3$, $(C_2):y^2=(2-x{)}^3$ và được mô hình hóa trên hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ (đơn vị trên trục tọa độ là mét). Giá sơn là 60.000 đồng/${\text{m}}^2$. Tính chi phí để người nghệ sỹ đó cần dùng để sơn ký hiệu lên tường (đơn vị nghìn đồng, làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[2;3]$ có $f(2)=2$ và $f(3)=5$. Khi đó ${\int }_2^3{f}^{\prime }(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, biết ${\int }_{-1}^3{f}^{\prime }(x)\text{d}x=32$ và hàm số có bảng biến thiên như hình dưới

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ dưới đây. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-2,x=3$. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Cho hai hàm số $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+1$ và $g(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện tích phần gạch chéo trong hình bằng: