Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-2$ và $g(x)=d{x}^2+ex+2(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$. Biết rằng đồ thị của hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-2;-1;1$ (tham khảo hình vẽ).

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;6]$ và có đồ thị là đường gấp khúc như hình bên. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[-1;6]$ và thỏa mãn $F(-1)=-2$. Giá trị của $F(4)+F(6)$ bằng bao nhiêu?

Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng $5\text{m}$. Người này tính trang trí sơn vẽ trên tấm tôn đó, biết mỗi mét vuông sơn hết $100$ nghìn đồng. Tuy nhiên cần có một khoảng trống để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó $AB=6\text{m}$.

Hỏi khi trang trí xong người này hết bao nhiêu tiền chi phí (làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng)?

Biết ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}\text{d}x=a+b\ln c$, với $a,b,c\in \mathbb{Z},c<9$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3^x,y=0,x=0,x=2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a,x=b$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $[-1;2],f(-1)=8;f(2)=-1$. Tích phân ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)\text{d}x$ bằng

Tính tích phân $I={\int }_0^2(2x+1)\text{d}x$

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=3$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^2-2$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x& \text{khi }x\le 0\\ x& \text{khi }x>0\end{array}$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=2^x+x+1$. Biết $F(0)=1$. Tính $|F(-1)|$. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=e^x,y=0,x=0,x=\ln 4$. Đường thẳng $x=k(0<k<\ln 4)$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm $k$ để $S_1=2S_2$. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-1& \text{khi }x<0\\ x-1& \text{khi }0\le x\le 2\\ 5-2x& \text{khi }x>2\end{array}$ và $I={\int }_{-5}^9\frac{1}{7}f(x)\text{d}t$. Biết $I=\frac{a}{b},(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast };(a,b)=1)$. Tính $a-b$.

Cho một mảnh vườn hình chữ nhật $ABCD$ có chiều rộng là $2\text{ m}$, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh dài đối diện. Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 4. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn $x_2=x_1+2$ và $f(x_1)-3f(x_2)=0$. Đường thẳng song song với trục $Ox$ và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ $x_0$ và $x_1=x_0+1$.

Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ ($S_1$ và $S_2$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).

Câu 6. Cho ${\int }_2^3\frac{x+8}{x^2+x-2}dx=a\ln 2+b\ln 5$ với $a,b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 8. Cho parabol $(P_1):y=f(x)=-x^2+4$ cắt trục hoành tại hai điểm $A,B$ và đường thẳng $d:y=a(0<a<4)$. Xét parabol $(P_2)$ đi qua $A,B$ và có đỉnh thuộc đường thẳng $y=a$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$. $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết $S_1=S_2$ (tham khảo hình vẽ bên).

Câu 3. Một tấm kính làm mặt bàn $(H_1)$ có hình dáng tam giác đều với $3$ đỉnh được làm cong $(H_2)$. Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng $12\text{ (dm)}$. Để cắt góc được đẹp thì người ta dùng đường Parabol $(P):y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}$ $(H_3)$ có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác $(H_4)$.



Diện tích mặt kính là một số có dạng $a\sqrt{b}$. Tính tổng $a+b$.

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[1;2]$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[1;2]$ thỏa mãn $F(1)=-2$ và $F(2)=4$. Khi đó ${\int }_1^{2}f(x)\text{d}x$ bằng.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^2\left(f(x)+3x^2\right)\text{d}x=10$. Tính ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x$