Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(2)-F(0)=5$. Khi đó ${\int }_0^{2}3f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi $y=x^2;y=0;x=1;x=3$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x)=x^2-3$. Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(2)-F(0)=5$. Khi đó ${\int }_0^{2}3f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi $y=x^2;y=0;x=1;x=3$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x)=x^2+1$. Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

Câu 3: Cho biết ${\int }_{-1}^1[f(x)-x]\mathrm{d}x=3$. Khi đó ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Câu 6: Một công ty đang thiết kế một bảng quảng cáo hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=12\text{ m}$ và $AD=8\text{ m}$. Phần trung tâm của bảng để in nội dung quảng cáo được mô tả là phần tô đậm (xem hình minh họa). Hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này đều cách điểm $A$ một khoảng bằng $5\text{ m}$. Đồ thị giao với cạnh $AB$ tại điểm $E$ thỏa mãn $\frac{AE}{AB}=\frac{7}{15}$. Diện tích phần in nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười)?

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Biết $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của ${\int }_1^2[2+f(x)]dx$ bằng

Bánh Taco là một món ăn đặc trưng của Mexico, bánh Taco được tạo thành từ một chiếc bánh Tortilla (bánh ngô) cuộn quanh thức ăn. Cụ thể, để làm một chiếc bánh Taco ta lấy bánh Tortilla tròn có đường kính $20\text{ cm}$ đặt vào mặt trong của hình trụ có bán kính $R=4\text{ cm}$, dọc theo đường kính của Tortilla và gấp bánh lại quanh hình trụ. Sau đó ta sẽ đổ đầy thịt, phô mai, và rau củ đến tận mép bánh. Gọi $x$ là khoảng cách từ tâm bánh Tortilla đến một điểm $P$ trên đường kính (tham khảo hình vẽ).

Tính thể tích của bánh Taco theo đơn vị ${\text{cm}}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 8. Nếu ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=5$ thì ${\int }_{-1}^{2}4f(x)dx$ bằng

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đó và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Cho ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{2}g(x)dx=-2$. Tính $I={\int }_0^2[2f(x)-3g(x)+1]dx$.

Câu 4. Đường cong Lorenz được các nhà kinh tế học biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế, trong khi đó mô hình $y=x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau, trong đó $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập. Diện tích giữa hai mô hình này biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số:
$y=(0,00061x^2+0,0218x+1,723{)}^2,0\le x\le 100$
(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, $8^{\text{th}}$ edition, Cengage Learning, 2009)
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho đồ thị của các hàm số $f(x)=-x^4+x$, $g(x)=x^4-x^3$ và $h(x)=a(x-x^2)$ ($a\in \mathbb{R}$) tạo thành hai miền hình phẳng có diện tích $S_1,S_2$ như hình vẽ ($S_1$ là phần màu trắng, $S_2$ là phần được tô màu). Biết $S_1=2S_2$, hỏi giá trị của biểu thức $1-30a$ bằng bao nhiêu?

Cho ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$. Tính $I={\int }_0^2(1+2f(x))\mathrm{d}x$.

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ ($a<b$) được cho bởi công thức nào sau đây?

Để chuẩn bị quà tặng sinh nhật đặc biệt cho các thành viên trong câu lạc bộ nghệ thuật, người ta đặt hàng chế tác một vật phẩm chặn giấy bằng hợp kim cao cấp. Bề mặt của vật phẩm có dạng hai hình elip bằng nhau xếp chồng lên nhau. Biết mỗi elip có độ dài trục lớn bằng $8\text{ cm}$, độ dài trục nhỏ bằng $\frac{8}{\sqrt{3}}\text{ cm}$; trục lớn của elip này vuông góc với trục lớn của elip kia tại giao điểm $O$ của chúng. Đường tròn $(O)$ đi qua các giao điểm của hai elip được vẽ lên bề mặt để phân chia các khu vực trang trí (như hình vẽ).

Phần lõi bên trong đường tròn được dát đồng để khắc tên và lời chúc sinh nhật với chi phí $5.000{\text{ đoˆˋng/cm}}^2$. Các phần cánh hoa nằm phía ngoài đường tròn được đính đá Sapphire nhân tạo với chi phí $15.000{\text{ đoˆˋng/cm}}^2$. Hỏi tổng chi phí nguyên vật liệu để chế tác một vật phẩm quà tặng này là bao nhiêu nghìn đồng? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Biết rằng $F(1)=9$, $F(2)=5$. Giá trị của biểu thức ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$ bằng