Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 16), Câu 4 (Phần III, câu 20) có đáp số là $2502$.

Đặt hệ trục tọa độ có gốc $O$ tại tâm viên gạch, trục $Ou$ trùng với đường chéo $AC$, trục $Ov$ vuông góc với $AC$. Viên gạch hình vuông cạnh $60$ có đường chéo $AC=60\sqrt{2}$, nên tọa độ các đỉnh $A(-30\sqrt{2};0)$ và $C(30\sqrt{2};0)$.

Đường cong $(L_1)$ là tập hợp các điểm $M$ thỏa $|MC-MA|=50$, đây là một hypebol có hai tiêu điểm $A,C$. Ta có:
- $2a=50⟹a=25$.
- $c=30\sqrt{2}$.
- $b^2=c^2-a^2=(30\sqrt{2}{)}^2-25^2=1800-625=1175$.

Phương trình hypebol $(L_1)$ là: $\frac{u^2}{25^2}-\frac{v^2}{1175}=1$.

Xét góc xám gần đỉnh $A$: nhánh hypebol gần $A$ có phương trình $u=-25\sqrt{1+\frac{v^2}{1175}}$.
Cạnh viên gạch gần đỉnh $A$ có phương trình $u=-30\sqrt{2}+v$ với $v\ge 0$.

Hoành độ giao điểm $v_0$ thỏa mãn: $30\sqrt{2}-v_0=25\sqrt{1+\frac{v_0^2}{1175}}$, giải ra $v_0\approx 15,106$.

Diện tích của một góc xám là:
$S_1=2{\int }_0^{v_0}\left(30\sqrt{2}-v-25\sqrt{1+\frac{v^2}{1175}}\right)\mathrm{d}v\approx 274,515.$

Vì có 4 góc xám bằng nhau nên diện tích phần màu trắng là:
$S=60^2-4S_1\approx 3600-4\cdot 274,515=2501,94.$

Làm tròn đến hàng đơn vị theo yêu cầu: $S\approx 2502$.

Đáp số: 2502.

Gắn hệ tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ tại tâm hình vuông, các cạnh hình vuông là các đường thẳng $x=\pm 2,y=\pm 2$.
Do tính đối xứng qua hai trục tọa độ và các đường phân giác, ta xét 1/8 hình vuông trong miền $0\le y\le x\le 2$.
Cạnh gần nhất là $x=2$, khoảng cách tới cạnh là $2-x$.
Khoảng cách tới tâm $O$ là $\sqrt{x^2+y^2}$.
Điều kiện $\sqrt{x^2+y^2}\le 2-x⟺x^2+y^2\le (2-x{)}^2=4-4x+x^2⟺y^2\le 4-4x⟺x\le 1-\frac{y^2}{4}$.
Giao với đường phân giác $y=x$: $x=1-\frac{x^2}{4}⟺x^2+4x-4=0⟹x=2\sqrt{2}-2$.
Tính diện tích phần đối xứng rồi nhân 8, ta được:
$S=8\cdot \left[\frac{-10+8\sqrt{2}}{3}\right]=\frac{-80+64\sqrt{2}}{3}\approx 3,503\approx 3,5.$
Đáp án: 3,5.

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3^x$, đường thẳng $y=3$, và hai đường thẳng cận $x=1,x=2$. Trong đoạn $[1;2]$, đồ thị hàm số $y=3^x$ nằm phía trên đường thẳng $y=3$. Do đó diện tích phần gạch chéo là $S={\int }_1^2(3^x-3)dx$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án C.

Theo định nghĩa tích phân:
${\int }_2^{4}f(x)dx=F(4)-F(2)=12-6=6.$

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $41,5$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O\equiv A(0;0)$, trục $Ox$ dọc theo tia $AB$, trục $Oy$ dọc theo tia $AD$.
Khi đó $AB$ nằm trên đoạn $[0;10]$ của trục hoành và $AD$ nằm trên đoạn $[0;6]$ của trục tung.
Tiệm cận đứng cách $A$ một khoảng $3\text{ m}$ nên có phương trình $x=3$.
Tiệm cận ngang cách $A$ một khoảng $3\text{ m}$ nên có phương trình $y=3$.
Đồ thị cắt $AB$ tại $E(4;0)$ nên hàm số có dạng $y=\frac{3x-12}{x-3}=3-\frac{3}{x-3}$.
Diện tích phần quảng cáo được tính bằng tích phân phần giới hạn giữa các đường cong và các cạnh của hình chữ nhật $ABCD$, cho kết quả diện tích xấp xỉ bằng $41,5{\text{ m}}^2$.

Phương pháp: Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân xác định.
Lời giải: Với hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, theo định nghĩa tính chất đảo giới hạn tích phân, ta luôn có:
${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.
Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 1 (Phần 1) chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm $4x-x^2=2x⟺x=0$ hoặc $x=2$. Diện tích cần tìm là $S={\int }_0^2|2x-x^2|dx=\frac{4}{3}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 4 (Phần 1) chọn đáp án A.

Ta có ${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}f(x)dx=2-1=1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 1 (Phần 3, câu 17) có đáp số là $1$.

Ta có $T=\frac{1}{3-(-1)}{\int }_{-1}^3(x^3-4x)dx=\frac{1}{4}\cdot 4=1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 5 (Phần 3, câu 21) có đáp số là $533$.

Chọn hệ trục tọa độ tâm viên gạch là gốc $O(0;0)$, mỗi cánh hoa nằm trong góc phần tư có biên là $y=\frac{x^2}{20}$ và $x=\frac{y^2}{20}$ trên $[0;20]$. Diện tích $4$ cánh hoa là $S=4{\int }_0^{20}\left(\sqrt{20x}-\frac{x^2}{20}\right)dx=\frac{1600}{3}\approx 533{\text{ (cm}}^2\text{)}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 6 (Phần 1) chọn đáp án A.

Ta có $I={\left[x^2+x\right]}_0^2=4+2=6$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 10 (Phần 1) chọn đáp án B.

Ta có ${\int }_1^3(1+f(x))dx=(3-1)+(F(3)-F(1))=2+(27-1)=28$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 12 (Phần 1) chọn đáp án A.

Theo công thức Newton-Leibniz, ${\int }_{-9}^{-4}f(x)dx=F(-4)-F(-9)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 2 (Phần 2, câu 14): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

a) Đúng. b) Sai: trên $[0;1]$ có $|x^2-1|=1-x^2$. c) Sai: ${\int }_1^2\left(2x-\frac{2}{x}\right)dx=3-\ln 4⟹a=3,b=4⟹a+b=7\ne 5$. d) Đúng: $S={\int }_1^{2}2(x^2-1)dx=\frac{8}{3}⟹\ln S=3\ln 2-\ln 3⟹a=3,b=2⟹a+b=5$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 6 (Phần 3, câu 22) có đáp số là $11$.

Ta có $\frac{x(1+\cos x)-(1-{\cos }^{2}x)}{1+\cos x}=x-1+\cos x$, nên tích phân bằng ${\left[\frac{x^2}{2}-x+\sin x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{\pi }{2}+1$. Suy ra $a=8,b=2,c=1⟹S=11$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1202, trang 5), Câu 4 (Phần 1) chọn đáp án A.

Ta có ${\int }_2^5[f(x)+2x]dx=3+{\left[x^2\right]}_2^5=3+(25-4)=24$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1202, trang 5), Câu 2 (Phần 2, câu 14): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

a) Sai: ${\int }_1^2(x-1{)}^{2}dx=\frac{1}{3}\ne 1$. b) Sai: ${\int }_0^2|x^2-2x+1|dx=\frac{2}{3}\ne 5$. c) Đúng: ${\int }_0^3|x^2-3x|dx=\frac{9}{2}$. d) Đúng: $V=\pi {\int }_0^2(x-1{)}^{4}dx=\frac{2}{5}\pi$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 5), Câu 6 (Phần 1) chọn đáp án A.

Ta có ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_1^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=3-(-2)=5$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 102, trang 9), Câu 1 (Phần 1) chọn đáp án C.

Ta có ${\int }_1^5[g(x)-3]dx=G(5)-G(1)-3(5-1)=23-2-12=9$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 9), Câu 8 (Phần 1) chọn đáp án D.

Ta có ${\int }_1^4[f(x)+2]dx=F(4)-F(1)+2(4-1)=9-3+6=12$.