Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện tại $x$ là hình chữ nhật cạnh $3x$ và $3x^2-2$, nên diện tích $S(x)=3x(3x^2-2)=9x^3-6x$. Thể tích $V={\int }_1^3(9x^3-6x)dx={\left[\frac{9x^4}{4}-3x^2\right]}_1^3=\left(\frac{729}{4}-27\right)-\left(\frac{9}{4}-3\right)=\frac{720}{4}-24=180-24=156$. Vậy đáp án A.

Đáp án: 65,4.

Đặt parabol phía trên là $(P_1)$: $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$ $(a_1\ne 0)$.

Ta thấy $(P_1)$ có đỉnh $(0;3)$ và đi qua điểm $(6;0)$. Ta có hệ phương trình:

$$\{<table><tbody><tr><td>-\frac{b_1}{2a_1}=0</td></tr><tr><td>a_1.0^2+b_1.0+c_1=3</td></tr><tr><td>a_1.6^2+b_1.6+c_1=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>b_1=0</td></tr><tr><td>c_1=3</td></tr><tr><td>a_1=-\frac{1}{12}</td></tr></tbody></table>\Rightarrow (P_1):y=-\frac{1}{12}{x}^2+3.$$

Đặt parabol phía dưới là $(P_2)$: $y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2$ $(a_2\ne 0)$.

Ta thấy $(P_2)$ có đỉnh $(0;-5)$ và đi qua điểm $(6;0)$. Ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}-\frac{b_2}{2a_2}=0\\ a_2.0^2+b_2.0+c_2=-5\\ a_2.6^2+b_2.6+c_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{b}_2=0\\ c_2=-5\\ a_1=\frac{5}{36}\end{array}\Rightarrow (P_2):y=\frac{5}{36}{x}^2-5.$$ (Lưu ý: trong ảnh, dòng cuối hệ thứ hai ghi $a_1=\frac{5}{36}$, có thể là lỗi in của đề gốc, giữ nguyên.)

Diện tích logo là:
$$S=\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left|\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)-\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)\right|\mathrm{d}x$$
$$=\underset{-7}{\overset{-6}{\int }}\left[\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)-\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)\right]\mathrm{d}x+\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left[\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)-\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)\right]\mathrm{d}x$$
$$=\underset{-7}{\overset{-6}{\int }}\left(\frac{2}{9}{x}^2-8\right)\mathrm{d}x+\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left(-\frac{2}{9}{x}^2+8\right)\mathrm{d}x$$
$$=\frac{38}{27}+64=\frac{1766}{27}\approx 65,4\left({\mathrm{cm}}^2\right)$$

(Lưu ý: trong lời giải gốc trang 16, tích phân thứ hai được in với cận trên là $-7$ đến $6$, trong khi giá trị $64$ tương ứng với cận $-6$ đến $6$ (hai parabol cắt nhau tại $x=\pm 6$); đây có thể là lỗi in của tài liệu gốc, giữ nguyên và kết quả cuối $\frac{1766}{27}\approx 65,4$ vẫn đúng.)

Diện tích $S$ của hình phẳng là: $S={\int }_1^3|3x-1|dx$.

Với $x\in [1;3]$, biểu thức $3x-1$ luôn dương $(3x-1>0$ khi $x>1/3)$.

Do đó: $S={\int }_1^3|3x-1|dx={\int }_1^3(3x-1)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx+\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=3+4=7$. Ngoài ra $\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}{|}_1^5=\frac{25-1}{4}=6$. Vậy $I=7-6=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: ${\int }_{-2}^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(-2)=3$. Trên đoạn $[1;3]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm dưới trục hoành với diện tích phần gạch chéo $S=\frac{5}{3}$, nên ${\int }_1^3{f}^{\prime }(x)dx=-\frac{5}{3}$. Do đó $f(3)-f(-2)={\int }_{-2}^3{f}^{\prime }(x)dx={\int }_{-2}^1{f}^{\prime }(x)dx+{\int }_1^3{f}^{\prime }(x)dx=3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy chọn đáp án B.

Lời giải.
Vì $A(2;2)\in (C_1)$ nên:
$$f(2)=2\Rightarrow a\cdot 2^4=2\Rightarrow 16a=2\Rightarrow a=\frac{1}{8}.$$
Do đó:
$$f(x)=\frac{1}{8}{x}^4,f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^3.$$
Suy ra:
$$f^{\prime }(2)=\frac{1}{2}\cdot 2^3=4.$$
Vì $(C_1)$ và $(C_2)$ có chung tiếp tuyến tại $A(2;2)$ nên $g(2)=2,g^{\prime }(2)=4.$
Ta có:
$$g(x)=b(x-k{)}^4+c\Rightarrow g^{\prime }(x)=4b(x-k{)}^3.$$
Từ $g^{\prime }(2)=4$ suy ra:
$$4b(2-k{)}^3=4\Rightarrow b(2-k{)}^3=1\Rightarrow b=\frac{1}{(2-k{)}^3}.$$
Từ $g(2)=2$ suy ra:
$$b(2-k{)}^4+c=2.$$
Mà: $b(2-k{)}^4=\frac{(2-k{)}^4}{(2-k{)}^3}=2-k$, nên: $2-k+c=2\Rightarrow c=k$.
Vậy
$$g(x)=\frac{1}{(2-k{)}^3}(x-k{)}^4+k.$$
Diện tích hình phẳng $(H)$ là
$$S={\int }_0^2\frac{1}{8}{x}^{4}dx+{\int }_2^k\left(\frac{1}{(2-k{)}^3}(x-k{)}^4+k\right)dx=\frac{4}{5}-\frac{(2-k{)}^2}{5}+k(k-2)=8.$$
Xét phương trình:
$$\frac{4}{5}-\frac{(2-k{)}^2}{5}+k(k-2)=8$$
$$\iff 4-(2-k{)}^2+5k(k-2)=40$$
$$\iff 2k^2-3k-20=0$$
$$\iff (k-4)(2k+5)=0.$$
Vì $k>2$ nên $k=4$.
Vậy giá trị cần tìm là $4$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ



+ Nửa đường tròn $(C)$ có phương trình $y=\sqrt{20-x^2}$.

Parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$.

Giao điểm của $(C)$ và $(P)$ là $A(-2;4)$ và $B(2;4)$

Diện tích phần gạch sọc là $S_1=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(\sqrt{20-x^2}-x^2\right)dx\approx 11,9396\to A$ (m${}^2$).

+ Diện tích nửa hình tròn là $S=\frac{1}{2}\pi r^2=\frac{1}{2}\pi {\left(2\sqrt{5}\right)}^2=10\pi$ (m${}^2$).

Diện tích phần trồng cỏ Nhật Bản là $S_2=S-S_1\approx 19,4763\to B$ (m${}^2$).

+ Tổng số tiền trồng cỏ Nhật Bản là $P=B.100000\approx \mathrm{1.948.000}$ đồng

[Hình cần kiểm tra lại: p7_f2]

Vì tính đối xứng của hình nên $S_1=S_2=S_3=S_4$.
Xét hình $S_2$.
Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ

Khi đó $G(-3;0),H(3;0),E(0;2)$

+ Viết phương trình đường tròn $(K)$ có tâm $K$ và đi qua 3 điểm $G,E,H$.

Giả sử đường tròn đi qua 3 điểm $G,E,H$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}6a+c=-9\\ -6a+c=-9\\ -4b+c=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ b=-\frac{5}{4}\\ c=-9\end{array}\Rightarrow K\left(0;-\frac{5}{4}\right),r_k=\sqrt{0^2+{\left(-\frac{5}{4}\right)}^2+9}=\frac{13}{4}$.

suy ra phương trình $(K):x^2+{\left(y+\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{169}{16}$.

Do đó cung tròn đi qua $G,E,H$ có phương trình là $y=\sqrt{\frac{169}{16}-x^2}-\frac{5}{4}$.

+ Viết phương trình đường thẳng $EH:y=-\frac{2}{3}x+2$.

+ Diện tích $S_2$ là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn $GEH$ với đường thẳng $EH$ suy ra $S_2=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[\sqrt{\frac{169}{16}-x^2}-\frac{5}{4}-\left(-\frac{2}{3}x+2\right)\right]dx=1,335775\to A$.

Vậy $S_1+S_2+S_3+S_4=4S_1=4A\approx 5,3431$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định về tích phân xác định của hàm liên tục trên $[a;b]$ với $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$.

a) Đúng. Đây là công thức Newton–Leibniz: vì $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $[a;b]$ nên ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

b) Đúng. Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$, suy ra ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.

c) Sai. Theo tính chất cộng tính: ${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_c^{a}f(x)dx+{\int }_a^{b}f(x)dx=n+m$, khác với $m-n$ trong đề.

d) Sai. ${\int }_a^b[2024f(x)+2025]dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(b-a)$, còn đề cho $2025(a-b)$ nên sai dấu.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_c^{a}f(x)dx+{\int }_a^{b}f(x)dx=n+m\ne m-n$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^b[2024f(x)+2025]dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(b-a)\ne 2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(a-b)$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol (P): y=4x^2−14 cắt Ox tại x=±√14/2.
a) Trên [0;1] parabol nằm dưới Ox: S=∫₀¹(14−4x²)dx=[14x−(4/3)x³]₀¹=14−4/3=38/3. Đúng.
b) Trên [0;1] và [−1;0], đường y=2025 đều nằm trên parabol, và 4x²−14 là hàm chẵn nên ∫₀¹(2025−(4x²−14))dx=∫₋₁⁰(2025−(4x²−14))dx. Hai diện tích bằng nhau. Đúng.
c) S=2∫₀^{√14/2}(14−4x²)dx=2(7√14−(7√14)/3)=(28√14)/3≈34,92, không xấp xỉ 38. Sai.
d) Diện tích giới hạn bởi (P), Ox và x=0, x=√14/2 là (14√14)/3≈17,46; diện tích toàn phần (28√14)/3≈34,92 gấp đúng 2 lần chứ không phải 3 lần. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
S=∫₀¹(14−4x²)dx=14−4/3=38/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do 4x²−14 là hàm chẵn và y=2025 nằm trên parabol trên cả hai đoạn, hai tích phân bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
S=(28√14)/3≈34,92≠38.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ số bằng 2, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$, theo định lý cơ bản của tích phân: ${\int }_1^{3}f(x)dx=F(3)-F(1)=3^2-1^2=9-1=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: nhịp trong $19$ m, hai bên mỗi bên $0,5$ m nên nhịp ngoài $20$ m; chiều cao ngoài $2$ m, đỉnh dày $0,5$ m nên chiều cao trong $1,5$ m; chiều dài cầu $5$ m.

Parabol ngoài: $y=2-\frac{x^2}{50}$ trên $[-10;10]$, diện tích dưới nó $=\frac{2}{3}\cdot 20\cdot 2=\frac{80}{3}$ m².
Parabol trong: nhịp $19$ m (bán nhịp $9,5$), cao $1,5$ m, diện tích dưới nó $=\frac{2}{3}\cdot 19\cdot 1,5=19$ m².
Diện tích thiết diện bê tông (hình vành khăn giữa hai parabol): $\frac{80}{3}-19=\frac{23}{3}$ m².
Thể tích bê tông: $V=\frac{23}{3}\cdot 5=\frac{115}{3}\approx 38,33$ m³.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_1^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=2-6=-4$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz, nếu $\int f(x)dx=F(x)+C$ thì ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: $I={\int }_1^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(3)-f(1)=9-2=7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ luôn được tính bằng tích phân của trị tuyệt đối: $S={\int }_a^b|f(x)|dx$. Công thức ${\int }_a^{b}f(x)dx$ chỉ đúng khi $f(x)\ge 0$ trên $[a;b]$, nên B sai. Các phương án C, D chia tích phân tại 0 một cách tùy tiện, không đúng tổng quát. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-2;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó diện tích phần này là ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;3]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-{\int }_1^{3}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_{-2}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{3}f(x)dx$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f_1(x)$, $y=f_2(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b\left|f_1(x)-f_2(x)\right|dx$. Trên mỗi khoảng con, khoảng cách thẳng đứng giữa hai đồ thị là $|f_1(x)-f_2(x)|\ge 0$, nên diện tích bằng tổng các diện tích dải mảnh, tức lấy trị tuyệt đối của hiệu hai giá trị hàm tại mỗi điểm trước khi tích phân. Phương án B chỉ đúng khi $f_1(x)-f_2(x)$ không đổi dấu trên $[a;b]$; phương án C, D sai về ý nghĩa hình học. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Nguyên hàm: ∫(x²−x−6)dx = x³/3 − x²/2 − 6x + C. Đúng.
b) ∫₀¹ f(x)dx = (1/3 − 1/2 − 6) − 0 = −37/6. Đúng.
c) f(x)=0 tại x=−2, x=3; f<0 trên (−2,3) nên S = −∫₋₂³ f(x)dx = −[F(3)−F(−2)] với F(x)=x³/3−x²/2−6x. F(3)=−27/2, F(−2)=28/3, nên S = −(−27/2 − 28/3) = 137/6 ≠ 125/6. Sai.
d) V = (√3/4)∫₋₂³ f²(x)dx. f²(x) = x⁴ − 2x³ − 11x² + 12x + 36; nguyên hàm G(x)=x⁵/5 − x⁴/2 − 11x³/3 + 6x² + 36x. G(3)=711/10, G(−2)=−496/15, ∫ = 711/10 + 496/15 = 625/6. V = (√3/4)(625/6) = 625√3/24 ≈ 45.11 ≠ 624√3/25 ≈ 43.19. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫(x²−x−6)dx = x³/3 − x²/2 − 6x + C, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
∫₀¹(x²−x−6)dx = 1/3 − 1/2 − 6 = −37/6, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm f(x)=0 là x=−2, x=3; f(x)≤0 trên [−2,3] nên S = −∫₋₂³(x²−x−6)dx = 137/6 ≠ 125/6, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
V = (√3/4)∫₋₂³(x²−x−6)²dx = (√3/4)(625/6) = 625√3/24 ≈ 45.11, khác 624√3/25 ≈ 43.19, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt nhau: $x^2-2x-1=-x^2+3\iff 2x^2-2x-4=0\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Trên $[-1;2]$ ta có $-x^2+3\ge x^2-2x-1$ (vì $-2x^2+2x+4\ge 0$).

a) Đúng: hình $(H)$ giới hạn bởi $y=x^2-2x-1$, $y=-x^2+3$ và hai đường $x=-1$, $x=2$ (đúng như hình vẽ).

b) Đúng: công thức diện tích giữa hai đồ thị $S={\int }_{-1}^2\left|(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right|dx$.

c) Sai: trên $[-1;2]$, $x^2-x-2\le 0$ nên $S=-2{\int }_{-1}^2(x^2-x-2)dx$; mệnh đề thiếu dấu trừ (tích phân này âm) nên sai.

d) Sai: $S={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=9$. Khi đó $\ln 9=2\ln 3$ nên $a=2$, $b=3$, suy ra $a^2+b^2=4+9=13\ne 29$; mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình $(H)$ giới hạn bởi $y=x^2-2x-1$, $y=-x^2+3$ và $x=-1$, $x=2$; hai giao điểm của hai đồ thị chính là $x=-1$ và $x=2$, đúng như hình vẽ.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích giữa hai đồ thị đúng là $S={\int }_{-1}^2\left|(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right|dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$, $x^2-x-2\le 0$ nên $S=-2{\int }_{-1}^2(x^2-x-2)dx$; mệnh đề thiếu dấu trừ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=9$. Khi đó $\ln 9=2\ln 3$ nên $a=2$, $b=3$, suy ra $a^2+b^2=13\ne 29$; mệnh đề sai.