Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(-1;2)$, $B(4;2)$, đoạn $BC$ cắt trục hoành tại $x=5$ và đi đến $C(6;-2)$. Theo tính chất nguyên hàm: $F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$. Trên $[-1;4]$, $f(x)=2$ nên ${\int }_{-1}^{4}f(x)dx=5\cdot 2=10$ (hình chữ nhật đáy 5, cao 2). Trên $[4;5]$, $f(x)\ge 0$, tam giác có diện tích $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$, nên ${\int }_{-1}^{5}f(x)dx=10+1=11$, suy ra $F(5)=F(-1)+11=-1+11=10$. Trên $[5;6]$, $f(x)<0$, tam giác có diện tích 1 nên ${\int }_5^{6}f(x)dx=-1$, suy ra $F(6)=F(5)-1=9$. Vậy $F(5)+F(6)=10+9=19$.

(AI giải đề cho tôi)
$J={\int }_0^2[4f(x)-3]dx=4{\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_0^{2}3dx=4\cdot 3-3\cdot 2=12-6=6$. Vậy $J=6$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_{-2}^{4}f(t)dt={\int }_{-2}^{2}f(x)dx+{\int }_2^{4}f(y)dy$. Suy ra $-4=1+{\int }_2^{4}f(y)dy$, do đó ${\int }_2^{4}f(y)dy=-5$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)|dx$, vì trên các đoạn mà $f(x)<0$ ta phải lấy phần diện tích dương (tức $-f(x)$). Do đó đáp án A. Các phương án B, C, D không đảm bảo giá trị tích phân không âm nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $(C)$ của $g(x)$ nằm phía trên đồ thị $(P)$ của $f(x)$ nên diện tích phần tô màu là ${\int }_{-1}^1[g(x)-f(x)]dx$. Trên đoạn $[1;2]$ (phần tô màu nằm dưới trục hoành), đồ thị $(P)$ của $f(x)$ nằm phía trên $(C)$ của $g(x)$ nên diện tích phần đó là ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx=-{\int }_1^2[g(x)-f(x)]dx$. Vậy $S={\int }_{-1}^1[g(x)-f(x)]dx-{\int }_1^2[g(x)-f(x)]dx$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$: đúng.
b) ${\int }_0^2(4x^3+m)dx=16+2m=4\Rightarrow m=-6\ne -4$: sai.
c) ${\int }_1^2(\pi x^5+e{x}^2+1)dx=\frac{63\pi }{6}+\frac{7e}{3}+1=\frac{21}{2}\pi +\frac{7}{3}e+1$, nên $m=\frac{21}{2},n=\frac{7}{3},p=1$; $2m-3n+p=21-7+1=15$: đúng.
d) Từ đồ thị: đỉnh $(2;-1)$, $f(0)=3$ nên $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3$. ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3}$; ${\int }_3^{5}f(x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right){|}_3^5=\frac{20}{3}-0=\frac{20}{3}$. Tổng $=\frac{24}{3}=8\ne 10$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^2=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(4x^3+m)dx=16+2m=4\Rightarrow m=-6$, không phải $-4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(\pi x^5+e{x}^2+1)dx=\frac{21}{2}\pi +\frac{7}{3}e+1$ nên $2m-3n+p=21-7+1=15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2{)}^2-1$; ${\int }_0^{1}f=\frac{4}{3}$, ${\int }_3^{5}f=\frac{20}{3}$, tổng bằng $8\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x^2-3x+4=2x-2\iff x^3-2x^2-5x+6=0\iff (x+2)(x-1)(x-3)=0$, nên giao điểm tại $x=-2;1;3$, cho $A(-2;-6),B(1;0),C(3;4)$ → a đúng.

b) $f(x)=x^3-2x^2-3x+4=(x-1)(x^2-x-4)$, trên $[-1;2]$: $f\ge 0$ trên $[-1;1]$, $f\le 0$ trên $[1;2]$. ${\int }_{-1}^{1}fdx=\frac{20}{3}$; ${\int }_1^{2}fdx=-\frac{17}{12}$. Diện tích $=\frac{20}{3}+\frac{17}{12}=\frac{97}{12}\ne \frac{21}{4}$ → b sai.

c) Đặt $g(x)=f(x)-(2x-2)=x^3-2x^2-5x+6$. Trên $[-2;1]$: $g\ge 0$, ${\int }_{-2}^{1}gdx=\frac{63}{4}$; trên $[1;3]$: $g\le 0$, $-{\int }_1^{3}gdx=\frac{16}{3}$. Tổng $S=\frac{63}{4}+\frac{16}{3}=\frac{253}{12}$ → c đúng.

d) $S_1=\frac{63}{4}$, $S_2=\frac{16}{3}$, tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{63}{4}\cdot \frac{3}{16}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x^3-2x^2-5x+6=0$ được $x=-2;1;3$, thay vào $y=2x-2$ được đúng các điểm $A(-2;-6),B(1;0),C(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích thực tế là $\frac{20}{3}+\frac{17}{12}=\frac{97}{12}\ne \frac{21}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_{-2}^{1}gdx-{\int }_1^{3}gdx=\frac{63}{4}+\frac{16}{3}=\frac{253}{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{63/4}{16/3}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách theo dấu của $|x-1|$ với mốc $x=1$: $${\int }_{-1}^5{x}^2|x-1|dx={\int }_{-1}^1{x}^2(1-x)dx+{\int }_1^5{x}^2(x-1)dx.$$ Tính từng phần: $${\int }_{-1}^1(x^2-x^3)dx={\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]}_{-1}^1=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)-\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{12}+\frac{7}{12}=\frac{2}{3}.$$ $${\int }_1^5(x^3-x^2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]}_1^5=\left(\frac{625}{4}-\frac{125}{3}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1375}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1376}{12}=\frac{344}{3}.$$ Vậy tổng: $$\frac{2}{3}+\frac{344}{3}=\frac{346}{3}\approx 115,33.$$

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt nước tại chiều cao $x$ là $S(x)={\left(\sqrt{2+\frac{x^2}{4}}\right)}^2=2+\frac{x^2}{4}$. Dung tích bình là thể tích nước khi đầy (từ $x=0$ đến $x=4$): $$V={\int }_0^4\left(2+\frac{x^2}{4}\right)dx={\left[2x+\frac{x^3}{12}\right]}_0^4=8+\frac{64}{12}=8+\frac{16}{3}=\frac{40}{3}{\text{dm}}^3.$$ Vậy dung tích bình bằng $\frac{40}{3}\approx 13,33{\text{dm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(2x-1)dx=\left(x^2-x\right){|}_0^2=(4-2)-(0-0)=2$. Vậy $I=2$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó diện tích phần này là $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$. Vậy $S_{(H)}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$. Khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)$.

a) Sai. Phương trình $f(x)=0$ cho $x=0$, $x=1$, $x=2$. Đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm với hoành độ $x=0,1,2$, không chỉ $x=1$ và $x=2$.

b) Đúng. Nguyên hàm: $\int (x^3-3x^2+2x)dx=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2+C$.

c) Sai. Trên $[0,1]$ thì $f(x)\ge 0$, trên $[1,2]$ thì $f(x)\le 0$, nên diện tích phải tính
$$S={\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_1^{2}f(x)dx,$$
không thể chỉ lấy trị tuyệt đối của tích phân từ $1$ đến $2$ (thiếu phần trên $[0,1]$).

d) Đúng. Với $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2$: $F(0)=0$, $F(1)=\frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{4}$, $F(2)=4-8+4=0$.
$$S=|F(1)-F(0)|+|F(2)-F(1)|=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

a) $f(x)=x(x-1)(x-2)=0$ cho $x=0,1,2$; thiếu $x=0$.

b) Nguyên hàm của $x^3-3x^2+2x$ là $\frac{x^4}{4}-x^3+x^2+C$.

c) $f$ đổi dấu tại $x=1$ và miền giới hạn là $[0,2]$, nên $S={\int }_0^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx$, không phải $\left|{\int }_1^{2}fdx\right|$.

d) $F(0)=0$, $F(1)=\frac{1}{4}$, $F(2)=0$ nên $S=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính ${\int }_1^{2}x\sqrt{x}dx={\int }_1^2{x}^{3/2}dx={\left[\frac{2}{5}{x}^{5/2}\right]}_1^2=\frac{2}{5}(4\sqrt{2}-1)=\frac{8}{5}\sqrt{2}-\frac{2}{5}$. Vậy $a=\frac{8}{5},b=\frac{2}{5}$, nên $a-b=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của giải tích (công thức Newton–Leibniz), nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_{-1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_{-1}^2[x+2f(x)-3g(x)]dx=\frac{3}{2}+2\cdot 2-3\cdot (-1)=\frac{3}{2}+4+3=\frac{17}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=2^x$, hai trục tọa độ và $x=5$ là $S={\int }_0^5{2}^{x}dx={\frac{2^x}{\ln 2}|}_0^5=\frac{2^5-2^0}{\ln 2}=\frac{31}{\ln 2}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích thiết diện tại điểm $x$ là tam giác đều cạnh $x$: $S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$. Thể tích: $V={\int }_1^4\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}dx=\frac{\sqrt{3}}{12}{\left[x^3\right]}_1^4=\frac{\sqrt{3}}{12}(64-1)=\frac{63\sqrt{3}}{12}=\frac{21\sqrt{3}}{4}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\sin 2x$ và trục $Ox$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ được tính bằng công thức $S=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}|\sin 2x|dx$, vì trên đoạn này hàm số đổi dấu (dương trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, âm trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$) nên phải lấy giá trị tuyệt đối. Do đó đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thì $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=F(3)-F(0)$. Vậy $F(3)-F(0)=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$, khớp với đáp án C trong bảng mã đề 102.