Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $x=a$, $x=b$, đồ thị $y=f(x)$ và trục hoành là $S={\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$, vì $f(x)$ có thể âm trên một phần đoạn $[a;b]$ nên phải lấy giá trị tuyệt đối để diện tích luôn dương. Các phương án còn lại sai: A, D có thừa hệ số $\pi$ (chỉ dùng cho thể tích vật thể tròn xoay), C không đúng khi $f(x)$ đổi dấu trên $[a;b]$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x$, vì trên mỗi khoảng con, khoảng cách giữa hai đồ thị là $|f(x)-g(x)|$ và ta không biết trước hàm nào nằm trên nên phải lấy giá trị tuyệt đối bên trong tích phân. Phương án A chỉ đúng khi $f(x)-g(x)$ không đổi dấu trên $[a;b]$; B và D sai về mặt công thức.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$, hàm $f(x)=x^3-3x$ đổi dấu tại $x=\sqrt{3}$ (âm trên $(0;\sqrt{3})$, dương trên $(\sqrt{3};2)$), nên diện tích là $S={\int }_0^2\left|x^3-3x\right|\mathrm{d}x$. Các phương án A, D chỉ đúng nếu hàm không đổi dấu; B sai vì bình phương không phải công thức diện tích. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$, $e^x\le 2$ với $x\le \ln 2$ và $e^x\ge 2$ với $x\ge \ln 2$ (vì $\ln 2\approx 0,693\in [0;1]$). Do đó:
$$S={\int }_0^{\ln 2}(2-e^x)dx+{\int }_{\ln 2}^1(e^x-2)dx.$$
Tính từng tích phân:
$${\int }_0^{\ln 2}(2-e^x)dx={\left[2x-e^x\right]}_0^{\ln 2}=(2\ln 2-2)-(0-1)=2\ln 2-1.$$
$${\int }_{\ln 2}^1(e^x-2)dx={\left[e^x-2x\right]}_{\ln 2}^1=(e-2)-(2-2\ln 2)=e-4+2\ln 2.$$
Cộng lại: $S=(2\ln 2-1)+(e-4+2\ln 2)=4\ln 2+e-5$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x$. Vì $f(x)-g(x)=-8<0$ với mọi $x\in [a;b]$ nên $|f(x)-g(x)|=8$, do đó $S={\int }_a^{b}8\mathrm{d}x=8(b-a)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x=-2$: $f(-2)=-8+12=4$, $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$, $f^{\prime }(-2)=0$, nên tiếp tuyến là $y=4$. Trên $[0;1]$, $x^3+3x^2\le 4$ nên $x^3+3x^2-4\le 0$, do đó diện tích $S={\int }_0^1\left(4-(x^3+3x^2)\right)\mathrm{d}x={\int }_0^1\left|x^3+3x^2-4\right|\mathrm{d}x$. Vậy đáp án B. (A sai vì tích phân âm; C sai vì $S=-{\int }_0^1(x^3+3x^2-4)\mathrm{d}x$ chứ không phải giá trị tuyệt đối của tích phân... thực ra ở đây chúng bằng nhau về giá trị, nhưng biểu thức đúng chuẩn về mặt lý thuyết là B vì dùng giá trị tuyệt đối trong tích phân đảm bảo đúng mọi trường hợp; D là thể tích quay nên sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=\frac{x(x-2)}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$. Trên $(1;+\infty )$, đường $(P)$ nằm dưới đường thẳng $d:y=x-1$ vì $\frac{x^2-2x}{x-1}-(x-1)=-\frac{1}{x-1}<0$. Với $a>1$, diện tích là $$S={\int }_a^{2a}\left[(x-1)-\left(x-1-\frac{1}{x-1}\right)\right]dx={\int }_a^{2a}\frac{dx}{x-1}=\ln \frac{2a-1}{a-1}.$$ Cho $S=\ln 3$: $\frac{2a-1}{a-1}=3\Rightarrow 2a-1=3a-3\Rightarrow a=2$ (thỏa $a>1$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trên đoạn $\left[-1,\frac{3}{2}\right]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$; trên đoạn $\left[\frac{3}{2},3\right]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$. Do đó diện tích là $S={\int }_{-1}^{\frac{3}{2}}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_{\frac{3}{2}}^{3}f(x)\mathrm{d}x$. Phương án A và C sai vì tính đại số tích phân (phần âm bị trừ đi thay vì cộng vào diện tích); phương án B sai vì $\left|{\int }_{-1}^{3}f(x)\mathrm{d}x\right|$ là trị tuyệt đối của tổng đại số, không phải tổng diện tích hai phần.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng tô đậm giới hạn bởi hai đường $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-x=x-x^2\iff x(x^2+x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Trên $(0;1)$, đường $y=x-x^2$ nằm trên $y=x^3-x$ (phù hợp với hình vẽ). Diện tích: $$S={\int }_0^1\left[(x-x^2)-(x^3-x)\right]dx={\int }_0^1(2x-x^2-x^3)dx=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}.$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ giao điểm: $x^2=2x\iff x=0$ hoặc $x=2$. Trên $(0;2)$ ta có $2x\ge x^2$, nên $S={\int }_0^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\cos x$, trục $Ox$ và hai đường $x=0$, $x=\pi$ là $S={\int }_0^{\pi }|\cos x|dx$ (công thức diện tích tổng quát với giá trị tuyệt đối). b) Đúng. Trên $[0,\frac{\pi }{2}]$ ta có $\cos x\ge 0$ nên $S={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1$. c) Sai. Đồ thị $y=x^2-1$ cắt trục $Ox$ tại $x=\pm 1$, nên hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục $Ox$ trải trên đoạn $[-1;1]$, công thức đúng phải là $S={\int }_{-1}^1|x^2-1|dx=\frac{4}{3}$, không phải ${\int }_0^1|x^2-1|dx$ (tích phân này chỉ bằng $\frac{2}{3}$). d) Đúng. Trên $[0;1]$ ta có $x^2+1>0$ nên $S={\int }_0^1(x^2+1)dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tổng quát $S={\int }_0^{\pi }|\cos x|dx$ đúng vì trên $[0;\pi ]$ đồ thị $y=\cos x$ nằm cả trên và dưới trục $Ox$ (cắt tại $x=\frac{\pi }{2}$), nên phải lấy giá trị tuyệt đối.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;\frac{\pi }{2}]$ có $\cos x\ge 0$ nên $S={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=x^2-1$ cắt trục $Ox$ tại $x=\pm 1$ nên hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục $Ox$ trải trên $[-1;1]$; công thức đúng là $S={\int }_{-1}^1|x^2-1|dx=\frac{4}{3}$, còn ${\int }_0^1|x^2-1|dx=\frac{2}{3}$ chỉ tính một nửa hình.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$ có $x^2+1>0$ nên $S={\int }_0^1(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: công thức tổng quát phải dùng $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$ vì không phải lúc nào $f(x)\ge g(x)$ trên $[a;b]$. b) Đúng: hai đồ thị $y=x^2$ và $y=x$ cắt nhau tại $x=0$ và $x=1$, diện tích được tính bằng $S={\int }_0^1|x^2-x|dx={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. c) Đúng: $y=x^2$ và $y=1$ cắt nhau tại $x=\pm 1$, $S={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$. d) Sai: $y=x^2+1$ và $y=1$ cắt nhau tại $x=0$; kết hợp với $x=1$ ta có $S={\int }_0^1((x^2+1)-1)dx={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\ne \frac{4}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$; công thức không có giá trị tuyệt đối chỉ đúng khi $f(x)\ge g(x)$ trên $[a;b]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt tại $x=0$, $x=1$ nên $S={\int }_0^1|x^2-x|dx=\frac{1}{6}$, công thức đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $x=\pm 1$: $S={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=\frac{4}{3}$ (dvdt).
d) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\ne \frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0;1] ta có ∛x ≥ 0 nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ∛x, trục Ox, x = 0 và x = 1 là S = ∫₀¹|∛x|dx = ∫₀¹∛x dx. Khẳng định ĐÚNG.

b) Diện tích giới hạn bởi y = x³, trục Ox, x = 0, x = 1 là S = ∫₀¹x³ dx = x⁴/4|₀¹ = 1/4 (dvdt), không phải 3/4. Khẳng định SAI.

c) Trên [0;1] ta có ∛x ≥ x³ (ví dụ x = 1/4: ∛x ≈ 0,63 > x³ ≈ 0,0156), nên diện tích phải tính bằng S = ∫₀¹(∛x − x³)dx, không phải ∫₀¹(x³ − ∛x)dx (tích phân này âm). Khẳng định SAI.

d) Diện tích phần tô đậm (giữa hai đồ thị trên [0;1]) là S = ∫₀¹(∛x − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2 (dvdt). Viên gạch là hình vuông cạnh 1 có diện tích 1, nên phần không tô đậm có diện tích 1 − 1/2 = 1/2 (dvdt). Khẳng định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], ∛x ≥ 0 nên S = ∫₀¹|∛x|dx là công thức đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹x³ dx = 1/4 (dvdt), không phải 3/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] có ∛x ≥ x³ nên công thức đúng là S = ∫₀¹(∛x − x³)dx; công thức đã cho cho giá trị âm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm = ∫₀¹(∛x − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2; phần không tô đậm = 1 − 1/2 = 1/2 (dvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $(P):y=x^2-2$, $d:y=x-2$.

a) $(P)$ cắt $Ox$ tại $x=\pm \sqrt{2}$. $S_1={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(2-x^2)dx={\left[2x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3}\ne \frac{4\sqrt{2}}{3}$. → Sai.

b) $(P)\cap d$: $x^2-2=x-2\iff x=0,1$. Trên $[0,1]$ thì $d\ge (P)$, nên $S_2={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. → Đúng.

c) Với $0<a<\sqrt{2}$, trên $[0,a]$ có $x^2-2<0$ nên $S_3={\int }_0^a(2-x^2)dx=-{\int }_0^a(x^2-2)dx$, không thể bằng ${\int }_0^a(x^2-2)dx$ (giá trị âm). → Sai.

d) Hình $(H_4)$ giới hạn bởi $(P)$, $d$ và $Ox$: với $x\in [1,\sqrt{2}]$ lấy giữa $(P)$ và $d$: $(x^2-2)-(x-2)=x^2-x$; với $x\in [\sqrt{2},2]$ lấy giữa $Ox$ và $d$: $2-x$. $S_4={\int }_1^{\sqrt{2}}(x^2-x)dx+{\int }_{\sqrt{2}}^2(2-x)dx=\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{5}{6}\right)+(3-2\sqrt{2})=\frac{13-8\sqrt{2}}{6}\approx 0,28\ne \frac{4\sqrt{2}-5}{3}\approx 0,22$. → Sai.

Kết luận: chỉ phát biểu b) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S_1={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(2-x^2)dx=\frac{8\sqrt{2}}{3}\ne \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(P)$ và $d$ cắt tại $x=0,1$; $S_2={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0,a]$ với $a<\sqrt{2}$, $x^2-2<0$ nên $S_3={\int }_0^a(2-x^2)dx$, không phải ${\int }_0^a(x^2-2)dx$ (giá trị âm).
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_4={\int }_1^{\sqrt{2}}(x^2-x)dx+{\int }_{\sqrt{2}}^2(2-x)dx=\frac{13-8\sqrt{2}}{6}\approx 0,28\ne \frac{4\sqrt{2}-5}{3}\approx 0,22$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm viên gạch là gốc tọa độ $O$, cạnh hình vuông $a=60cm$ nên các đỉnh của hình vuông là $(\pm 30,\pm 30)$. Xét một cánh hoa hướng về đỉnh $(30;30)$: nó được giới hạn bởi hai parabol có đỉnh chung $O$ và đối xứng nhau qua đường phân giác $y=x$, đó là $y=\frac{x^2}{30}$ và $y^2=30x$ (tức $y=\sqrt{30x}$ với $x\ge 0$). Hai parabol này cắt nhau tại $(0;0)$ và $(30;30)$. Diện tích một cánh hoa: $$S_1={\int }_0^{30}\left(\sqrt{30x}-\frac{x^2}{30}\right)dx=\sqrt{30}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^{30}-\frac{x^3}{90}{|}_0^{30}=600-300=300(c{m}^2).$$ Do tính đối xứng, bốn cánh hoa bằng nhau nên tổng diện tích phần tô màu là $4\cdot 300=1200c{m}^2$. Hình viên gạch (hình hoa bốn cánh dạng chữ X) có trên trang 12, khớp với mô tả.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: đỉnh parabol tại $(0;4)$, parabol cắt mặt đất tại $x=\pm 2$ (độ rộng cổng $4m$, chiều cao $4m$), nên $y=4-x^2$. Vì $CD=2m$ nên $A,B$ có hoành độ $\pm 1$, cao độ $y=4-1=3m$. Diện tích hình chữ nhật $ABCD$: $2\times 3=6m^2$. Diện tích dưới parabol: ${\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}{m}^2$. Diện tích trang trí hoa văn (phần parabol bên ngoài hình chữ nhật): $\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$. Số tiền: $\frac{14}{3}\times 240000=1120000$ đồng $=1,12$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc tại tâm O. Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn có cạnh 4 nên bán kính R = 4/√2 = 2√2, các đỉnh là A(-2;2), B(2;2), C(-2;-2), D(2;-2). Hai parabol đối xứng qua O: parabol đỏ đi qua A, B có dạng y = 2 - x²/2; parabol xanh đi qua C, D có dạng y = x²/2 - 2.

Diện tích giữa hai parabol (tức S3 + S4, hai vùng bên trái và phải, chạm nhau tại O):
S3 + S4 = ∫_{-2}^{2} [(2 - x²/2) - (x²/2 - 2)] dx = ∫_{-2}^{2} (4 - x²) dx = [4x - x³/3]_{-2}^{2} = 32/3 ≈ 10,67 m².

Diện tích đường tròn: S = πR² = 8π ≈ 25,13 m².
Suy ra S1 + S2 = 8π - 32/3 ≈ 14,47 m².

Chi phí: trồng hoa: 150000 × 14,47 = 2.170.500 đồng; trồng cỏ: 100000 × 10,67 = 1.067.000 đồng.
Tổng: 3.237.500 đồng, làm tròn đến hàng chục nghìn: 3.240.000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $h(x)=f(x)-g(x)=a{x}^3+(b-d)x^2+(c-e)x+1$. Vì hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hoành độ $-1,\frac{1}{2},2$ nên $h(x)=a(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)$. Tại $x=0$: $h(0)=1=a\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-2)=a\Rightarrow a=1$. Vậy $h(x)=(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x+1$. Nguyên hàm: $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{2}-\frac{3x^2}{4}+x$. Tính: $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{17}{64}$, $F(-1)=-1$, $F(2)=-1$. Trên $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ có $h(x)>0$ (ví dụ $h(0)=1>0$) và trên $\left(\frac{1}{2},2\right)$ có $h(x)<0$ (ví dụ $h(1)=-\frac{3}{2}<0$), phù hợp hình vẽ. Diện tích $S={\int }_{-1}^{1/2}h(x)dx-{\int }_{1/2}^{2}h(x)dx=\left(\frac{17}{64}+1\right)+\left(-1-\frac{17}{64}\right)\cdot (-1)=\frac{81}{64}+\frac{81}{64}=\frac{81}{32}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích $V={\int }_1^{2}S(x)dx={\int }_1^{2}2024xdx=2024\cdot \frac{x^2}{2}{|}_1^2=1012(4-1)=3036$. Vậy đáp án A.