Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở hình vẽ (trang 5): khi $x\to -2^{\pm }$ thì $y\to \pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$. Khi $x\to \pm \infty$ thì đồ thị dần tiến tới đường thẳng $y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 259, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2, đồ thị có đường thẳng đứng màu đỏ tại $x=1$: khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Đường $y=-1$ là tiệm cận ngang (khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to -1$), không phải tiệm cận đứng. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (đề 132, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to -\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Khi $x\to -\infty$ thì $y\to 4$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 4$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=4$. Vậy đồ thị có 2 tiệm cận, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Chia phân thức: $y=\frac{x^2-3x-3}{x-1}=x-2-\frac{1}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-2$. Giao với $Ox$: $x=2\Rightarrow A(2;0)$, nên $OA=2$. Giao với $Oy$: $y=-2\Rightarrow B(0;-2)$, nên $OB=2$. $AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Chu vi tam giác $OAB$ là $2+2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}\approx 6,83$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên khoảng $(-\infty ;-1)$, hàm số đi từ $2$ đến $4$ (giới hạn hữu hạn khi $x\to \pm$ đầu mút của khoảng này), nên không có tiệm cận. Trên khoảng $(-1;+\infty )$: khi $x\to -1^{+}$ thì $y\to -\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$; khi $x\to +\infty$ thì $y\to -1$ nên có tiệm cận ngang $y=-1$. Vậy tổng cộng có 2 đường tiệm cận (1 đứng và 1 ngang).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+2x+3}{3x-1}=\frac{x}{3}+\frac{7}{9}+\frac{34}{9(3x-1)}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=\frac{x}{3}+\frac{7}{9}$. Giao với trục tung: $x_0=0$, $y_0=\frac{7}{9}$. Suy ra $x_0+y_0=\frac{7}{9}\approx 0,78$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{4x^2+5x-2}{-3x+4}$. Lấy $4x^2+5x-2÷(-3x+4)$: thương đầu tiên $-\frac{4}{3}x$, vì $(-3x+4)\left(-\frac{4}{3}x\right)=4x^2-\frac{16}{3}x$, dư $\frac{31}{3}x-2$. Tiếp tục: $\frac{\frac{31}{3}x}{-3x}=-\frac{31}{9}$. Vậy $y=-\frac{4}{3}x-\frac{31}{9}+\frac{\frac{31}{3}x-2}{-3x+4}$, và khi $x\to \pm \infty$ phần cuối tiến về 0. Tiệm cận xiên là $y=-\frac{4}{3}x-\frac{31}{9}$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $y=\frac{x^2+6x+15}{x}=x+6+\frac{15}{x}$. Khi đó $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(y-(x+6)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{15}{x}=0$, nên đường tiệm cận xiên là $y=x+6$. Đường thẳng $y=x+6$ cắt trục hoành tại $(-6;0)$ và trục tung tại $(0;6)$, tạo thành tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng $6$ và $6$. Diện tích tam giác là $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$ nên $-c=2\Rightarrow c=-2$. Tiệm cận ngang $y=-1$ nên $a=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$ nên $y(1)=0$: $\frac{a+b}{1+c}=0\Rightarrow b=1$. Vậy $T=a+b+2c=-1+1+2(-2)=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x+5}{x+2}=\frac{(x+2)(x+1)+3}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x+5}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+3x}{x+1}=2x+1-\frac{1}{x+1}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(\frac{2x^2+3x}{x+1}-(2x+1)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-1}{x+1}=0$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $f(x)=\frac{4-4x}{-8x-4}=\frac{4(x-1)}{-4(2x+1)}=\frac{x-1}{2x+1}$ (với $x\ne -\frac{1}{2}$).
- TCĐ: mẫu $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$, nên phát biểu b) đúng.
- TCN: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{1}{2}$, nên TCN là $y=\frac{1}{2}$, phát biểu d) sai.
- Tâm đối xứng: $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, phát biểu a) đúng.
- Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$ và hai trục có cạnh $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{2}$, diện tích $=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{8}$, phát biểu c) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc nhất trên $\frac{1}{2x+1}$ là giao hai tiệm cận: $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu $2x+1=0$ tại $x=-\frac{1}{2}$ và ${\lim }_{x\to -1/2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$, nên TCĐ là $x=-\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$ và hai trục có diện tích $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-1}{2x+1}=\frac{1}{2}$, nên TCN là $y=\frac{1}{2}$, không phải $y=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $-x^2-3x+4=(x-3)(-x-6)-14$, nên $f(x)=-x-6-\frac{14}{x-3}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. a) $f(x)=0\iff -x^2-3x+4=0\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$: hai nghiệm phân biệt khác 3, nên $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt → đúng. b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao hai tiệm cận $I(3;-6)$, không phải $(3;-9)$ → sai. c) $x=3$ là tiệm cận đứng vì mẫu số bằng 0 và tử khác 0 tại $x=3$ → đúng. d) Tiệm cận xiên là $y=-x-6$, không phải $y=-x+6$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2-3x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$, hai nghiệm phân biệt, nên $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=-x-6-\frac{14}{x-3}$, tâm đối xứng là giao của $x=3$ và $y=-x-6$, tức $I(3;-6)$, không phải $(3;-9)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x-3=0$ tại $x=3$ và tử số $=-14\ne 0$, nên $x=3$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phép chia $-x^2-3x+4=(x-3)(-x-6)-14$ cho tiệm cận xiên $y=-x-6$, không phải $y=-x+6$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$, $\frac{9}{2+x}\to 0$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }S(x)=200(5-0)=1000$. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1000$, tức $a=1000$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=0$ hàm số có giới hạn vô cực (nhánh trái tiến tới $-4$... thực tế bảng cho $y\to -\infty$ khi $x\to 0^{-}$ và $y\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, có đường gấp khúc tại $x=0$), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ nên có tiệm cận ngang $y=2$. Khi $x\to +\infty$, $y\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên phải. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=2x+1+\frac{1}{2-x}$. Khi $x\to \pm \infty$, ta có $\frac{1}{2-x}\to 0$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(2x+1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{2-x}=0$. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng $y=2x+1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Tại $x=0$, bảng biến thiên có vạch đôi và $y\to -4$ khi $x\to 0^{-}$, $y\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu bằng $-2$ (không phải tiệm cận), và khi $x\to +\infty$, $y\to +\infty$ nên không có thêm tiệm cận. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. a) Sai: mẫu số bằng 0 khi $x=1$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$, không phải $x=3$. b) Đúng: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$ nên tiệm cận ngang là $y=3$. c) Sai: với trục hoành, $y=0\iff 3x-2=0\iff x=\frac{2}{3}$, giao điểm là $\left(\frac{2}{3};0\right)$, không phải $I(0;2)$. d) Đúng: với trục tung, $x=0\Rightarrow y=\frac{-2}{-1}=2$, giao điểm là $A(0;2)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ (mẫu số bằng 0 tại $x=1$), không phải $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-2}{x-1}=3$ nên tiệm cận ngang là $y=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao với trục hoành: $3x-2=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$, nên giao điểm là $\left(\frac{2}{3};0\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $y=\frac{-2}{-1}=2$, nên $A(0;2)$ đúng.