Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
- a) Đúng. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$ nên đường tiệm cận đứng có phương trình $x=-1$.
- b) Đúng. Ta có $y=x-2+\frac{9}{x+1}$, suy ra $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.
- c) Sai. Có $y^{\prime }=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-4</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$. Bảng biến thiên của hàm số:
[IMAGE_1]
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;-1)$.
- d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(-\infty ;-1)$ bằng $-9$ (tại $x=-4$).

Khi $x\to -\infty$, ta có ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{y}{x}={\lim }_{x\to -\infty }\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}\right)=2$ và ${\lim }_{x\to -\infty }(y-2x)=0$, nên đường tiệm cận xiên là $y=2x$ có hệ số góc bằng $2$.

Ta có $f(x)=x-1+\frac{3}{x-1}$.
a) Sai vì tiệm cận xiên là $y=x-1$.
b) Đúng vì ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) Đúng vì giao điểm của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x-1$ là $I(1;0)$.
d) Đúng vì với $f(x)=x-1+\frac{4}{x-1}$, theo bất đẳng thức AM-GM cho $x>1$ (hoặc xét hàm số), đạt GTNN khi $x-1=2\iff x=3$.

Ta có $y=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$.
a) Đúng. Tiệm cận xiên là $d:y=x+1$, cắt hai trục tọa độ tại $A(-1;0)$ và $B(0;1)$, tạo thành tam giác $OAB$ vuông tại $O$ có diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$.
b) Sai. Với $M\left(x_0;x_0+1+\frac{1}{x_0-1}\right)\in (C)$, tổng khoảng cách đến tiệm cận đứng ${\Delta }_1:x-1=0$ và tiệm cận xiên ${\Delta }_2:x-y+1=0$ là $d=|x_0-1|+\frac{1}{\sqrt{2}|x_0-1|}\ge 2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2\sqrt{2}}\ne \sqrt{2}$.
c) Sai. Tiệm cận đứng của $(C)$ có phương trình là $x=1$ (không phải $y=1$).
d) Đúng. Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị là $O(0;0)$ và $E(2;4)$, nên $OE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.

Từ đồ thị, đường tiệm cận đứng là $x=2\Rightarrow -c=2\Rightarrow c=-2$; đường tiệm cận ngang là $y=1\Rightarrow a=1$. Suy ra $P=2a-c=2\cdot 1-(-2)=4$. Chọn A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 9), Câu 4 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1011, trang 9), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Điều kiện xác định: $x\in (-\infty ;-\frac{2}{3}]\cup [\frac{2}{3};+\infty )\setminus \{3\}$. Khi $x\to \pm \infty$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên có $1$ tiệm cận ngang $y=2$. Nghiệm mẫu $x=0$ không thuộc miền xác định, còn tại $x=3$ tử số khác $0$ nên $x=3$ là $1$ tiệm cận đứng. Tổng số đường tiệm cận là $2$. Chọn A.

Chia đa thức: $y=(m+1)x+m+\frac{2}{x+1}$. Với $m\ne -1$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y=(m+1)x+m$. Để tiệm cận xiên đi qua $A(2;8)$ thì $2(m+1)+m=8\iff 3m+2=8\iff m=2$.

Theo bài ra ta có: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{a}{b}=2\Rightarrow a=2b$ (1). Lại có ${\lim }_{x\to 3^{+}}y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}y=+\infty \Rightarrow \frac{c}{b}=3\Rightarrow c=3b$ (2). Đồ thị hàm số giao với $Ox$ tại điểm $M\left(\frac{1}{a};0\right)$ nằm bên phải điểm $x=0$ (và bên trái $x=3$) hoặc từ ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{ax-1}{bx-3b}=-\infty$, vì $y(-\infty )=2>0$ và hàm đồng biến trên $(-\infty ;3)$ nên $y(0)=\frac{1}{c}>2\Rightarrow c>0$. Do đó $a>0,b>0,c>0$. Vậy cả $3$ số $a,b,c$ đều là số dương.

Chọn B

Chọn A

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 121; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đồ thị hàm số phân thức $y=\frac{2x^2-3x+m}{x-m}$ không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi $x=m$ là nghiệm của tử số $g(x)=2x^2-3x+m$, tức là $2m^2-3m+m=0\iff 2m^2-2m=0\iff m=0$ hoặc $m=1$.

Tập xác định: $\{\begin{array}{l}4-x^2\ge 0\\ x^2-3x+2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2\le x\le 2\\ x\ne 1,x\ne 2\end{array}\iff x\in [-2;2)\setminus \{1\}$. Do TXĐ bị chặn nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Tại $x=1$, ${\lim }_{x\to 1}y=\infty$ nên $x=1$ là TC đứng. Tại $x\to 2^{-}$, $\frac{\sqrt{4-x^2}}{(x-1)(x-2)}=-\frac{\sqrt{2+x}}{(x-1)\sqrt{2-x}}\to -\infty$ nên $x=2$ là TC đứng thứ hai. Vậy đồ thị có $2$ đường tiệm cận đứng. Chọn C.

Tập xác định của hàm số là $D=(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.
- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to (-2{)}^{-}}\frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4}}=-\infty$, còn ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4}}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}=0$, nên đồ thị hàm số có đúng $1$ đường tiệm cận đứng là $x=-2$ ($a=1$).
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4}}=2$ và ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4}}=-2$, nên đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận ngang là $y=2$ và $y=-2$ ($b=2$).
Vậy $20a-10b^2=20\cdot 1-10\cdot 2^2=-20$.

Đáp án: 1. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13-15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

a) Sai: Khi $x\to 1^{+}$, $y\to -2$ (hữu hạn) nên đường thẳng $x=1$ không phải là tiệm cận đứng.
b) Sai: Khi $x\to \pm \infty$, $y\to \pm \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
c) Đúng: Dựa vào cấu trúc bảng biến thiên hàm số không có đường tiệm cận xiên.
d) Sai: Số lượng đường tiệm cận của hàm số $y=\frac{1}{f(x)+1}$ không bằng 4.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 7, mã đề 0512: a-S, b-S, c-Đ, d-S).

Theo lời giải chính thức trong đề (Mã đề 0101), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Hình 1 có tiệm cận đứng $x=1$ và hai trục đối xứng $d_1,d_2$; bảng biến thiên cho thấy hàm giảm trên hai khoảng xác định. Ở Hình 2, đường thẳng $d$ đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$ nên có phương trình $y=x+1$, do đó ý d) sai.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 13), Câu 2 (Phần I) chọn đáp án B.