Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\overrightarrow{AB}=(3-1;-1-2)=(2;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(-2-1;0-2)=(-3;-2)$, nên $2\overrightarrow{AC}=(-6;-4)$. Khi đó $\vec{u}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=(2-(-6);-3-(-4))=(8;1)$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 0105 (câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm BC: ((5-1)/2; (0+3)/2) = (2; 1.5) ≠ (2;3) → Sai. b) P trên AB nên y0=0, P=(x0;0). PA = (-x0;0), CA = A−C = (1;-3), nên PA−CA = (-x0-1; 3), bình phương độ dài = (x0+1)²+9, nhỏ nhất tại x0=-1 nhưng P phải thuộc đoạn AB (0≤x0≤5) nên min tại x0=0, khi đó x0+y0=0 ≠ -1 → Sai. c) AD = 2AB − AC = 2(5;0) − (-1;3) = (11;-3), D = A + (11;-3) = (11;-3) → Đúng. d) Trọng tâm G = ((0+5-1)/3; (0+0+3)/3) = (4/3; 1) ≠ (1;1) → Sai. Khớp bảng đáp án mã 0101 dòng 14: S,S,Đ,S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BC là ((5+(-1))/2; (0+3)/2) = (2; 1.5), không phải (2;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
P trên AB nên P=(x0;0). |PA−CA|² = (x0+1)²+9 nhỏ nhất tại x0=-1 ngoài đoạn AB, nên min tại x0=0, x0+y0=0 ≠ -1.
c) (AI giải đề cho tôi)
AD = 2(5;0) − (-1;3) = (11;-3) nên D(11;-3).
d) (AI giải đề cho tôi)
G = ((0+5-1)/3; (0+0+3)/3) = (4/3; 1) ≠ (1;1).

Do $B$ là trung điểm $AC\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_B=\frac{x_A+x_C}{2}\\ y_B=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=3\\ b=-2\end{array}\Rightarrow a+b=1$. Kết quả 1

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm $AB$: $M((4+2)/2;(3-3)/2)=(3;0)$, không phải $(-1;-3)$ → Sai. b) $\overrightarrow{AB}=(2-4;-3-3)=(-2;-6)$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BC}=(1-2;1-(-3))=(-1;4)$; kiểm tra $\vec{u}=(4;1)$: $(-1)(4)+(4)(1)=0$ nên $\vec{u}$ là pháp tuyến của $BC$ → Đúng. d) Đường thẳng $AB$ qua $A(4;3)$ với vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-2;-6)$ (tỉ lệ với $(-2;6)$ khi xét $y$): $x=4-2t$, $y=3+6t$; kiểm tra $t=1$: $(2;-3)=B$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $M((4+2)/2;(3+(-3))/2)=(3;0)$, khác $(-1;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-4;-3-3)=(-2;-6)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-1;4)$, và $(-1)(4)+(4)(1)=0$ nên $\vec{u}=(4;1)$ là một pháp tuyến của $BC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(4;3)$ có vecto chỉ phương $(-2;6)$: $x=4-2t$, $y=3+6t$; với $t=1$ được $B(2;-3)$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$. Vì $E$ là trung điểm $BC$ nên $E(a;\frac{a}{2})$. Vì $F$ là trung điểm $AE$ nên $F(\frac{a}{2};\frac{a}{4})$. Khi đó $D{F}^2=(\frac{a}{2}-0{)}^2+(\frac{a}{4}-a{)}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{16}=\frac{13a^2}{16}$, suy ra $DF=\frac{a\sqrt{13}}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);3-1)=(2;2)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=\vec{C}-\vec{D}=(5-x;2-y)=(2;2)$, suy ra $x=3,y=0$. Vậy $D(3;0)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Thay số: $x_D=-2+5-0=3$, $y_D=3+(-4)-4=-5$. Vậy $D(3;-5)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=\vec{C}-\vec{D}=(3-x;1-y)$. Suy ra $3-x=-2$ và $1-y=-4$, tức $x=5$, $y=5$. Vậy $D(5;5)$, chọn đáp án A. Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(3;4)$ và $\overrightarrow{BC}=(3;4)$ bằng nhau nên ABCD thực sự là hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCE$ là hình bình hành (theo đúng thứ tự đỉnh) khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1-2;2-1)=(-3;1)$. Gọi $E(x;y)$ thì $\overrightarrow{CE}=(x-3;y-0)$. Suy ra $x-3=-3\Rightarrow x=0$ và $y=1$. Vậy $E(0;1)$. Kiểm tra lại: $E=B+C-A=(0;1)$, khớp phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2;1-5)=(-1;-4)$ và $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-2;3-5)=(1;-2)$.

Suy ra $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=3(-1;-4)-2(1;-2)=(-3;-12)-(2;-4)=(-5;-8)$.

Vậy $E=A+\overrightarrow{AE}=(2-5;5-8)=(-3;-3)$.

Đáp án: $E(-3;-3)$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{c}=m\vec{a}-n\vec{b}$ ta có hệ: $2m=3$ và $-m-4n=3$. Suy ra $m=\frac{3}{2}$, và $-\frac{3}{2}-4n=3\Rightarrow n=-\frac{9}{8}$. Khi đó $P=m^2+n^2=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}=\frac{144+81}{64}=\frac{225}{64}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $m,n$ sao cho $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ với $\vec{a}=(2;1)$, $\vec{b}=(3;4)$, $\vec{c}=(7;2)$.

Tọa độ: $m\vec{a}+n\vec{b}=(2m+3n;m+4n)$. Suy ra hệ:
$$\{\begin{array}{l}2m+3n=7\\ m+4n=2\end{array}$$
Từ phương trình thứ hai: $m=2-4n$. Thay vào phương trình thứ nhất:
$$2(2-4n)+3n=7\Rightarrow 4-8n+3n=7\Rightarrow -5n=3\Rightarrow n=-\frac{3}{5}.$$
Suy ra $m=2-4\left(-\frac{3}{5}\right)=2+\frac{12}{5}=\frac{22}{5}$.

Kiểm tra: $2\cdot \frac{22}{5}+3\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{44-9}{5}=7$ ✓ và $\frac{22}{5}+4\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{22-12}{5}=2$ ✓.

Vậy $m=\frac{22}{5},n=-\frac{3}{5}$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đề in gốc ở Câu 22 là $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{c}$ (trùng $\vec{c}$ hai vế) — rõ ràng là lỗi in; ý định đúng là $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$, trùng khớp với dữ kiện Câu 20 cùng trang. Giải: $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ cho hệ $\{\begin{array}{l}2m+3n=7\\ m+4n=2\end{array}$. Từ phương trình thứ hai $m=2-4n$, thay vào: $2(2-4n)+3n=7\Rightarrow 4-5n=7\Rightarrow n=-\frac{3}{5}$, suy ra $m=2-4\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{22}{5}$ (khớp đáp án Câu 20). Vậy $m+n=\frac{22}{5}-\frac{3}{5}=\frac{19}{5}=3,8$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CD}=D-C=(-1-(-3);8-4)=(2;4)$, $\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1;3-(-2))=(-1;5)$, $\overrightarrow{AC}=C-A=(-3-1;4-(-2))=(-4;6)$. Giả sử $\overrightarrow{CD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ thì $-m-4n=2$ và $5m+6n=4$. Từ phương trình đầu $m=-2-4n$, thay vào phương trình hai: $5(-2-4n)+6n=4\Rightarrow -10-14n=4\Rightarrow n=-1$, suy ra $m=2$. Vậy $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Kiểm tra: $2(-1;5)-(-4;6)=(-2;10)+(4;-6)=(2;4)$ đúng. Lưu ý nguồn trang 96 in phương án B và C giống hệt nhau (lỗi in của đề gốc), giữ nguyên theo nguồn; chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;y)$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(-3-x;3-y)$, $\overrightarrow{BC}=(1-2;4-(-5))=(1;-9)$, $\overrightarrow{CM}=(x-2;y+5)$. Phương trình $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{CM}$ cho hệ: hoành độ $2(-3-x)-1=4(x-2)\Rightarrow -7-2x=4x-8\Rightarrow 6x=1\Rightarrow x=\frac{1}{6}$; tung độ $2(3-y)+9=4(y+5)\Rightarrow 15-2y=4y+20\Rightarrow 6y=-5\Rightarrow y=-\frac{5}{6}$. Vậy $M\left(\frac{1}{6};-\frac{5}{6}\right)$, khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
M trên trục hoành nên $M(x;0)$. Vecto $\overrightarrow{AB}=(1;7)$, $\overrightarrow{AM}=(x-2;3)$. Để $A,B,M$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, suy ra $3=7k\Rightarrow k=\frac{3}{7}$, do đó $x-2=\frac{3}{7}\Rightarrow x=\frac{17}{7}$. Vậy $M\left(\frac{17}{7};0\right)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $OABC$ có hai đường chéo là $OB$ và $AC$, giao điểm $I$ là trung điểm chung của hai đường chéo. Trung điểm của $OB$ với $O(0;0),B(1;-3)$ là $I\left(\frac{0+1}{2};\frac{0-3}{2}\right)=I\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$. (Kiểm tra: khi đó $C=2I-A=(-1;-7)$, và $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}=(2;1)$ đúng tính chất hình bình hành.) Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2;1-5)=(-1;-4)$ và $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-2;3-5)=(1;-2)$.

Suy ra $3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=3(-1;-4)-2(1;-2)=(-3;-12)-(2;-4)=(-5;-8)$.

Vì $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$ nên $E=A+(-5;-8)=(2-5;5-8)=(-3;-3)$.

Vậy $E(-3;-3)$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;0)$ trên trục $Ox$. Để $A(2;1),B(6;-1),M$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương. Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;-2)$, $\overrightarrow{AM}=(x-2;-1)$. Điều kiện cùng phương: $\frac{x-2}{4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$, suy ra $x-2=2\Rightarrow x=4$. Vậy $M(4;0)$, chọn đáp án D. Kiểm tra: phương trình đường thẳng $AB$ có hệ số góc $\frac{-1-1}{6-2}=-\frac{1}{2}$, $y=-\frac{1}{2}(x-2)+1=-\frac{x}{2}+2$; với $y=0$ thì $x=4$, khớp kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(5-4;1-6)=(1;-5)$ → đúng.
b) Gọi $D(x;0)$, $DA=DB\iff (x-4{)}^2+36=(x-5{)}^2+1\iff x^2-8x+52=x^2-10x+26\iff 2x=-26\iff x=-13$. Vậy hoành độ là $-13$, không phải $13$ → sai.
c) Tâm $I(x;y)$ thỏa $IA=IB$: $-8x-12y+52=-10x-2y+26\iff x=5y-13$; và $IA=IC$: $-8x-12y+52=-2x+6y+10\iff x+3y=7$. Suy ra $8y=20\Rightarrow y=\frac{5}{2},x=-\frac{1}{2}$. Kiểm tra: $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2=\frac{65}{2}$ → đúng.
d) $R^2=I{A}^2={\left(-\frac{1}{2}-4\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}-6\right)}^2=\frac{81}{4}+\frac{49}{4}=\frac{65}{2}$, nên $R=\frac{\sqrt{130}}{2}\ne \frac{\sqrt{13}}{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}=(5-4;1-6)=(1;-5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $D(x;0)$ với $DA=DB$: $(x-4{)}^2+36=(x-5{)}^2+1\Rightarrow x=-13$, không phải $13$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giải $IA=IB$ và $IA=IC$ được $I\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$, kiểm tra $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2=\frac{65}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $R^2=\frac{81}{4}+\frac{49}{4}=\frac{65}{2}$ nên $R=\frac{\sqrt{130}}{2}\ne \frac{\sqrt{13}}{2}$.