Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

Đáp án: - 1.
$A\left(a;b\right)\in Oy\Rightarrow A(0;b)$. Tam giác ABC cân tại A ta có $A{B}^2=A{C}^2\iff b=-1$
Vậy $A(0;-1)$, ta có $a+b=-1$.

Đáp án: - 1.
$A\left(a;b\right)\in Oy\Rightarrow A(0;b)$. Tam giác ABC cân tại A ta có $A{B}^2=A{C}^2\iff b=-1$
Vậy $A(0;-1)$, ta có $a+b=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABDC$ là hình bình hành theo thứ tự đỉnh $A,B,D,C$ nên hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Trung điểm của $BC$ là $\left(\frac{4+2}{2};\frac{1-7}{2}\right)=(3;-3)$. Gọi $D(x;y)$, trung điểm $AD$ là $\left(\frac{x-3}{2};\frac{y+3}{2}\right)=(3;-3)$, suy ra $x-3=6\Rightarrow x=9$ và $y+3=-6\Rightarrow y=-9$. Vậy $D(9;-9)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}$ vì $M$ là trung điểm $BC$. Suy ra $\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GM}$, tức $A=3G-2M$. Với $G\left(\frac{2}{3};0\right)$, $M(1;-1)$: $x_A=3\cdot \frac{2}{3}-2\cdot 1=2-2=0$, $y_A=3\cdot 0-2\cdot (-1)=2$. Vậy $A(0;2)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(1;2)$, $B(3;4)$, $C(3;6)$: $\overrightarrow{AB}=(2;2)$, $\overrightarrow{AC}=(2;4)$, $\overrightarrow{BC}=(0;2)$. a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4+8=12\ne 0$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=4\ne 0$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=8\ne 0$ nên tam giác không vuông → Sai. b) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+3+3}{3};\frac{2+4+6}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};4\right)$ → Đúng. c) $M(2;3)$, $AB$ có hệ số góc $1$ nên $d$ có hệ số góc $-1$: $y-3=-(x-2)\iff x+y-5=0\ne x-y+1=0$ → Sai. d) Trung trực của $BC$ là $y=5$; trung trực của $AB$ là $x+y-5=0$; giao điểm là tâm $I(0;5)$, bán kính $R^2=(1-0{)}^2+(2-5{)}^2=10$. Đường tròn ngoại tiếp: $x^2+(y-5{)}^2=10\ne (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=5$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=12\ne 0$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=4\ne 0$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=8\ne 0$ nên tam giác ABC không vuông.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{1+3+3}{3};\frac{2+4+6}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};4\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(2;3)$, đường vuông góc với AB (hệ số góc 1) có hệ số góc $-1$: $x+y-5=0$, không phải $x-y+1=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn ngoại tiếp là $I(0;5)$, $R^2=10$, phương trình là $x^2+(y-5{)}^2=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $B=(0;0)$, $C=(1;0)$, $A=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ vì tam giác đều cạnh 1. Trọng tâm $G=\left(\frac{0+1+\frac{1}{2}}{3};\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+0+0}{3}\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$. Trung điểm $I$ của $AG$: $I=\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{2};\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}}{2}\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{BI}=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ nên $|\overrightarrow{BI}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{7}{12}}=\frac{\sqrt{21}}{6}\approx 0,7638\approx 0,8$. Vậy độ dài vecto $\overrightarrow{BI}$ xấp xỉ $0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto bằng nhau khi tọa độ tương ứng bằng nhau: $m^2+3=5m-3$ và $2m=m^2$. Phương trình thứ hai: $m^2-2m=0\iff m=0$ hoặc $m=2$. Phương trình thứ nhất: $m^2-5m+6=0\iff m=2$ hoặc $m=3$. Kết hợp cả hai điều kiện ta được $m=2$ (thử lại: $\vec{u}=(7;4)=\vec{v}$). Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ thuộc trục $Oy$ nên $P(0;p)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $MNP$ có tọa độ $G\left(\frac{1+5+0}{3};\frac{-1-3+p}{3}\right)$. Vì $G$ nằm trên trục $Ox$ nên hoành độ $G_x=2$ (thỏa mãn) và tung độ $G_y=\frac{p-4}{3}=0\Rightarrow p=4$. Vậy $P(0;4)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $CA$, $P$ là trung điểm $AB$ nên ta có hệ: $\vec{B}+\vec{C}=2\vec{M}$, $\vec{C}+\vec{A}=2\vec{N}$, $\vec{A}+\vec{B}=2\vec{P}$. Cộng đẳng thức thứ nhất và thứ ba rồi trừ đẳng thức thứ hai: $2\vec{B}=2\vec{M}+2\vec{P}-2\vec{N}$, suy ra $B=M+P-N=(2+(-1)-2;0+3-2)=(-1;1)$. Thử lại: $A=N+P-M=(2+(-1)-2;2+3-0)=(-1;5)$, $C=M+N-P=(2+2-(-1);0+2-3)=(5;-1)$. Kiểm tra: trung điểm $AB$ là $\left(\frac{-1+(-1)}{2};\frac{5+1}{2}\right)=(-1;3)=P$ đúng; trung điểm $BC$ là $\left(\frac{-1+5}{2};\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2;0)=M$ đúng; trung điểm $CA$ là $\left(\frac{5+(-1)}{2};\frac{-1+5}{2}\right)=(2;2)=N$ đúng. Vậy $B=(-1;1)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $BCAD$ là hình bình hành khi hai đường chéo $BA$ và $CD$ có cùng trung điểm. Trung điểm $BA$: $\left(\frac{5+(-2)}{2};\frac{-4+0}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};-2\right)$. Gọi $D(x;y)$, trung điểm $CD$: $\left(\frac{-5+x}{2};\frac{1+y}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};-2\right)$, suy ra $x=8$, $y=-5$. Vậy $D(8;-5)$, chọn đáp án D. Kiểm tra: $\overrightarrow{BC}=(-10;5)$ và $\overrightarrow{AD}=(10;-5)=-\overrightarrow{BC}$, đúng hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D(x;y)$. Ta có $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=(0-x;3-y)$ và $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=(4-x;2-y)$. Thay vào $\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{DB}=\vec{0}$: $(x;y)+2(0-x;3-y)-2(4-x;2-y)=(x-2x-8+2x;y+6-2y-4+2y)=(x-8;y+2)=\vec{0}$. Suy ra $x=8$, $y=-2$, tức $D(8;-2)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{OD}=(8;-2)$, $\overrightarrow{DA}=(-8;5)$, $\overrightarrow{DB}=(-4;4)$, tổng $(8;-2)+2(-8;5)-2(-4;4)=(8-16+8;-2+10-8)=(0;0)=\vec{0}$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=3\vec{i}+2\vec{j}=(3;2)$, $\vec{b}=\vec{i}-\vec{j}=(1;-1)$. a) Mệnh đề nói $\vec{b}=(-1;1)$ là sai vì $\vec{b}=(1;-1)$ → Sai. b) $\vec{a}+\vec{b}=(3+1;2-1)=(4;1)$ → Đúng. c) $4\vec{a}-5\vec{b}=(12;8)-(5;-5)=(7;13)$ → Đúng. d) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi $3\cdot (-1)-2\cdot 1=-5\ne 0$, nên không cùng phương → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=(3;2)$ đúng, nhưng $\vec{b}=\vec{i}-\vec{j}=(1;-1)\ne (-1;1)$ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(3+1;2+(-1))=(4;1)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$4\vec{a}-5\vec{b}=(12;8)-(5;-5)=(7;13)$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra: $3\cdot (-1)-2\cdot 1=-5\ne 0$ nên $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(7-1;-1-2)=(6;-3)$. Theo $3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$ suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=(4;-2)$. Vậy $M=A+\overrightarrow{AM}=(1+4;2-2)=(5;0)$. Kiểm tra: $M(5;0)$ thuộc đoạn $AB$ vì $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ với $0<\frac{2}{3}<1$.

b) Gọi $N(x;y)$. Vì $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AM}=(4;-2)$ nên $(x+2;y-3)=(4;-2)$, suy ra $x=2$, $y=1$. Vậy $N(2;1)$.

Kiểm tra M có là trung điểm BN: Trung điểm của $BN$ là $\left(\frac{7+2}{2};\frac{-1+1}{2}\right)=\left(\frac{9}{2};0\right)\ne M(5;0)$. Hoặc kiểm tra $\overrightarrow{MB}=(7-5;-1-0)=(2;-1)$ còn $\overrightarrow{MN}=(2-5;1-0)=(-3;1)$, không thỏa $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MN}$. Vậy M không là trung điểm của đoạn BN.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2m\vec{a}-n\vec{c}=(2m-n;2m-3n)$. Yêu cầu $2m\vec{a}-n\vec{c}=\vec{b}=(-1;2)$ dẫn đến hệ: $2m-n=-1$ và $2m-3n=2$. Trừ hai phương trình: $(2m-n)-(2m-3n)=2n=-1-2=-3$, suy ra $n=-\frac{3}{2}$. Thay vào: $2m=-1+n=-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$, suy ra $m=-\frac{5}{4}$. Kiểm tra: $2m\vec{a}-n\vec{c}=-\frac{5}{2}(1;1)+\frac{3}{2}(1;3)=(-\frac{5}{2}+\frac{3}{2};-\frac{5}{2}+\frac{9}{2})=(-1;2)=\vec{b}$ đúng. Vậy $m=-\frac{5}{4},n=-\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k=-3$ nghĩa là $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MB}$ (với $k\ne 1$).

Công thức tọa độ điểm chia:
$$x_M=\frac{x_A-k{x}_B}{1-k},y_M=\frac{y_A-k{y}_B}{1-k}$$

Với $A(3;-3)$, $B(1;0)$, $k=-3$:
$$x_M=\frac{3-(-3)(1)}{1-(-3)}=\frac{3+3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$
$$y_M=\frac{-3-(-3)(0)}{1-(-3)}=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Kiểm tra: $\overrightarrow{MA}=\left(3-\frac{3}{2};-3+\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)$ và $\overrightarrow{MB}=\left(1-\frac{3}{2};0+\frac{3}{4}\right)=\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right)$. Ta thấy $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MB}$, thỏa mãn.

Vậy $M\left(\frac{3}{2};-\frac{3}{4}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$: $G=\left(\frac{1+5+(-2)}{3};\frac{2+4+6}{3}\right)=\left(\frac{4}{3};4\right)$.
Suy ra $\overrightarrow{AG}=\left(\frac{4}{3}-1;4-2\right)=\left(\frac{1}{3};2\right)$.
Vì $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}$ nên $\overrightarrow{AM}=(1;6)$.
Gọi $M(x;y)$, ta có $\overrightarrow{AM}=(x-1;y-2)=(1;6)$, suy ra $x-1=1\Rightarrow x=2$ và $y-2=6\Rightarrow y=8$.
Vậy $M(2;8)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(1-(-2);3-(-1))=(3;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(2-(-2);-3-(-1))=(4;-2)$.
Vì $\frac{3}{4}\ne \frac{4}{-2}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, tức $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Vậy $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Trung điểm $I$ của $AB$:
$$I=\left(\frac{-2+1}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};1\right).$$

c) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
$$G=\left(\frac{-2+1+2}{3};\frac{-1+3-3}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right).$$

d) Vì $M\in Oy$ nên $M(0;y)$. Hai điểm $B(1;3)$ và $C(2;-3)$ nằm cùng phía so với trục $Oy$ (cùng có hoành độ dương), nên ta lấy điểm $B^{\prime }$ đối xứng với $B$ qua trục $Oy$: $B^{\prime }(-1;3)$. Khi đó $BM+CM=B^{\prime }M+CM\ge B^{\prime }C$, dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của $B^{\prime }C$ với trục $Oy$.

Đường thẳng $B^{\prime }C$ qua $B^{\prime }(-1;3)$ và $C(2;-3)$ có hệ số góc $k=\frac{-3-3}{2-(-1)}=-2$, nên $y=3-2(x+1)=-2x+1$. Tại $x=0$ ta được $y=1$.

Vậy $M(0;1)$, khi đó $BM+CM$ nhỏ nhất bằng $B^{\prime }C=\sqrt{(2+1{)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$.

Gọi $E(x_E;y_E)$. Tứ giác $ABCE$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}$.

Ta có:
- $\overrightarrow{AE}=(x_E-2;y_E-1)$;
- $\overrightarrow{BC}=(3-(-1);0-2)=(4;-2)$.

Do đó:
$\{\begin{array}{rl}& x_E-2=4\\ & y_E-1=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x_E=6\\ & y_E=-1\end{array}\Rightarrow E(6;-1)$

Ta có:
- $\overrightarrow{AB}=(2;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$;
- $\overrightarrow{BC}=(3;3)\Rightarrow BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$;
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=2\cdot 3+(-2)\cdot 3=0\Rightarrow AB\perp BC$, tức tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=6$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $⟺\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}⟺(x_D-1;y_D-2)=(3-(-3);-2-0)=(6;-2)⟺x_D=7,y_D=0$ (hoặc đáp án tương ứng).