Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
Số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=m$.
Từ bảng biến thiên, để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì $-2<m<2$.

Chọn D.
Với mọi $x\in (0;\pi )$, ta có $t=\sin x\in (0;1]$.
Bất phương trình trở thành $m<f(t)$ đúng với mọi $t\in (0;1]$.
Điều này tương đương với $m<{\min }_{t\in (0;1]}f(t)$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, trên nửa khoảng $(0;1]$ đồ thị nghịch biến từ $(0;0)$ xuống điểm cực tiểu $(1;-1)$, do đó giá trị nhỏ nhất của $f(t)$ trên $(0;1]$ là $f(1)=-1$.
Vậy $m<-1$.

Chọn C.
Với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, ta có $u=\sin x\in (-1;1]$.
Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=f(u)$:
- Tại $u=-1$, $f(-1)=2$.
- Tại $u=0$, $f(0)=0$.
- Tại $u=1$, $f(1)=-2$.
Hàm số $f(u)$ nghịch biến trên $[-1;1]$, do đó với $u\in (-1;1]$ thì $f(u)\in [-2;2)$.
Suy ra $f(\sin x)+2\in [0;4)$, do đó $t=\sqrt{f(\sin x)+2}\in [0;2)$.
Xét tập giá trị của $f(t)$ với $t\in [0;2)$:
Từ đồ thị hàm số:
- Tại $t=0$, $f(0)=0$.
- Tại $t=1$, $f(1)=-2$ (cực tiểu).
- Tại $t=2$, $f(2)=2$.
Do đó khi $t\in [0;2)$, giá trị của $f(t)$ nhận tất cả các giá trị thuộc nửa khoảng $[-2;2)$.
Để phương trình $f(t)=f(m)$ có nghiệm thì $f(m)\in [-2;2)$.
Từ đồ thị, các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn $f(m)\in [-2;2)$ gồm 3 giá trị nguyên (chẳng hạn $m=0,1,-2$ tương ứng với các giá trị thuộc khoảng trên).
Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Phương trình tương đương $f(x)=m-2020$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=m-2020$.
Dựa vào đồ thị, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng phải cắt nhánh trên hoặc tiếp xúc tại cực tiểu:
$$[<table><tbody><tr><td>m-2020>-3</td></tr><tr><td>m-2020=-4</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m>2017</td></tr><tr><td>m=2016</td></tr></tbody></table>$$

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Đặt $t=1-2\sin x$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-1\le \sin x\le 1⟹t\in [-1;3]$.
Phương trình trở thành $f(t)=f(m)$ có nghiệm $t\in [-1;3]$.
Quan sát bảng biến thiên của hàm số $y=f(t)$ trên đoạn $[-1;3]$:

Giá trị của $f(t)$ nhận các giá trị từ cực tiểu đến cực đại trên $[-1;3]$.
Đối chiếu các giá trị nguyên của $m$ để $f(m)$ thuộc tập giá trị của $f(t)$ trên $[-1;3]$, ta tìm được đúng 7 giá trị nguyên của $m$.

Ta có $|f(x)|=2\iff [\begin{array}{rl}f(x)& =2(1)\\ f(x)& =-2(2)\end{array}$
Từ bảng biến thiên của hàm số bậc bốn $y=f(x)$:
- Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt (nằm trên hai nhánh ngoài cùng vì cực đại bằng 0 hoặc cực trị nhỏ hơn 2).
- Đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.
Các nghiệm của (1) và (2) không trùng nhau.
Vậy phương trình đã cho có tổng cộng $2+2=4$ nghiệm phân biệt.
Chọn D.

Từ bảng biến thiên, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $m$ nằm nghiêm ngặt giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại:
$-4<m<2$.
Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $m\in \{-3,-2,-1,0,1\}$.
Tổng các giá trị nguyên của $m$ là:
$(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-5$.
Chọn C.

Đặt $t=\sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}$.
Ta có:
$t-\frac{1}{2}=\sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{3}{2}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x+\frac{1}{3}\cos x\right)=\frac{3}{2}\sin (x+\alpha )$.
Suy ra: $-\frac{3}{2}\le t-\frac{1}{2}\le \frac{3}{2}\iff -1\le t\le 2$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, với $t\in [-1;2]$ thì $-1\le f(t)\le 5$.
Để phương trình $f(t)=f(m)$ có nghiệm thì:
$-1\le f(m)\le 5$.
Từ đồ thị hàm số, các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m\in \{-2,-1,0,1,2,3\}$.
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của $m$.
Chọn C.

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm: $x(x^2-x-2)=0\iff x(x+1)(x-2)=0\iff x=0,x=-1,x=2$.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên có 3 giao điểm.

Chọn C.
Phương trình tương đương $2m=x^4-2x^2+3=f(x)$.
Xét $f(x)=x^4-2x^2+3$ trên $(-2;2)$.
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0\iff x=0,x=\pm 1$.
Tính các giá trị: $f(0)=3,f(\pm 1)=2,{\lim }_{x\to \pm 2}f(x)=11$.
Bảng biến thiên cho thấy tập giá trị của $f(x)$ trên $(-2;2)$ là $[2;11)$.
Để phương trình có nghiệm trên $(-2;2)$ thì $2\le 2m<11\iff 1\le m<5,5$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1,2,3,4,5\}$. Có 5 giá trị nguyên.

Chọn D.
Đặt $t=2^x+1>1$. Với mỗi $t>1$, phương trình $2^x+1=t$ cho đúng 1 nghiệm $x={\log }_2(t-1)$.
Phương trình $|f(t)+3m|=1\iff f(t)=-3m+1$ hoặc $f(t)=-3m-1$.
Để có đúng 6 nghiệm $t>1$, kết hợp bảng biến thiên của $f(t)$ trên $(1;+\infty )$, ta tìm được điều kiện của $m$ là $-\frac{5}{3}<m<-\frac{4}{3}$ hoặc $-1<m<-\frac{2}{3}$.

Hàm số $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị là $x_1,x_2,x_3$.
Phép tịnh tiến biến hàm số $y=f(x)$ thành $u(x)=2f(x-1)+m$, hàm số $u(x)$ cũng có đúng 3 điểm cực trị.
Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=|u(x)|$ bằng tổng số điểm cực trị của $u(x)$ cộng với số nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội lẻ) của phương trình $u(x)=0$.
Để $g(x)$ có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình $u(x)=0$ phải có đúng 2 nghiệm đơn (phân biệt và khác các điểm cực trị).
Ta có $2f(x-1)+m=0\iff f(x-1)=-\frac{m}{2}$.
Từ đồ thị $y=f(x)$, để đường thẳng $y=-\frac{m}{2}$ cắt đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt thì:
$[\begin{array}{rl}-\frac{m}{2}& \ge 2\\ -6<-\frac{m}{2}& \le -3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}m& \le -4\\ 6& \le m<12\end{array}$
Vì $m$ nguyên và $m\in [-12;12]$ nên:
$m\in \{-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4\}$ (9 giá trị)
và $m\in \{6,7,8,9,10,11\}$ (6 giá trị).
Tổng số giá trị nguyên của $m$ là $9+6=15$ giá trị.
Chọn C.

Ta có $|f(x)-1|=1\iff [\begin{array}{rl}f(x)-1& =1\\ f(x)-1& =-1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}f(x)& =2(1)\\ f(x)& =0(2)\end{array}$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên $[-2;2]$:
- Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt, do đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
- Đường thẳng $y=0$ (trục hoành) cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Vì các nghiệm của (1) có tung độ bằng 2 và nghiệm của (2) có tung độ bằng 0 nên các nghiệm này hoàn toàn không trùng nhau.
Vậy phương trình đã cho có $2+3=5$ nghiệm phân biệt trên $[-2;2]$.
Chọn C.

Phương trình: $f(xf(x))-2=0\iff f(xf(x))=2$.
Quan sát đồ thị $y=f(x)$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là:
- $t_1=a\in (-4;-2)$;
- $t_2=0$;
- $t_3=b\in (0;2)$.
Do đó phương trình tương đương với:
$[\begin{array}{rl}xf(x)& =a\in (-4;-2)(1)\\ xf(x)& =0(2)\\ xf(x)& =b\in (0;2)(3)\end{array}$
- Xét phương trình (2): $xf(x)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ f(x)& =0\end{array}$
Đồ thị $y=f(x)$ cắt trục hoành tại đúng 1 điểm có hoành độ $x_0<-4$ ($x_0\ne 0$). Do đó (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt: $x=0$ và $x=x_0<-4$.



- Với $x\ne 0$, ta xét hai phương trình còn lại:
+ Phương trình (3): $xf(x)=b\iff f(x)=\frac{b}{x}$ với $b\in (0;2)$.
Hàm số $g(x)=\frac{b}{x}$ có đạo hàm $g^{\prime }(x)=-\frac{b}{x^2}<0,\forall x\ne 0$, đồ thị là hypebol nằm ở góc phần tư I và III.
Vẽ đồ thị $y=g(x)$ và $y=f(x)$, ta thấy chúng cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1>0$ và $x_2<0$ (khác các nghiệm trước).
+ Phương trình (1): $xf(x)=a\iff f(x)=\frac{a}{x}$ với $a\in (-4;-2)$.
Hàm số $h(x)=\frac{a}{x}$ có $a<0$, nên $h^{\prime }(x)=-\frac{a}{x^2}>0,\forall x\ne 0$, đồ thị là hypebol nằm ở góc phần tư II và IV.
Vẽ đồ thị $y=h(x)$ và $y=f(x)$, ta thấy chúng cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_3>0$ và $x_4<0$ (khác tất cả các nghiệm trên).
Tất cả 6 nghiệm tìm được ở trên đều phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm thực phân biệt.
Chọn D.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$, số nghiệm của phương trình $f(x)=3$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với đường thẳng nằm ngang $y=3$.
Vì đường thẳng $y=3$ cắt hai nhánh của đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị hàm số:
$$x-2=\frac{2x+1}{x-1}(x\ne 1)$$
$$⟺(x-2)(x-1)=2x+1⟺x^2-3x+2=2x+1⟺x^2-5x+1=0.$$
Phương trình có $\Delta =(-5{)}^2-4(1)(1)=21>0$, có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Theo định lý Vi-ét, tổng hai hoành độ là:
$$x_A+x_B=-\frac{-5}{1}=5.$$

Phương trình hoành độ giao điểm $x^3-3x=0\iff x\in \{0;\pm \sqrt{3}\}$ có $3$ nghiệm phân biệt nên số giao điểm là $3$.

Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt khi và chỉ khi $-4<m<-3$.

Đặt $t=|\sin x-\cos x|\in [0;\sqrt{2}]$, khi đó $\sin 2x=1-t^2$. Phương trình trở thành $f(t)=-4t^2+t+4=m$ trên $[0;\sqrt{2}]$. Ta có ${\max }_{[0;\sqrt{2}]}f(t)=f\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{65}{16}$ và ${\min }_{[0;\sqrt{2}]}f(t)=f(\sqrt{2})=-4+\sqrt{2}\approx -2,59$. Suy ra $m\in \{-2;-1;0;1;2;3;4\}$ có $7$ giá trị nguyên.

Phương trình tiếp tuyến tại $x_0$ đi qua $B(0;b)$ là $b=-2x_0^3+3x_0^2$. Vì $B(0;b)$ không phải điểm uốn $I(1;-2)$, có đúng một tiếp tuyến đi qua $B$ khi và chỉ khi phương trình $-2x_0^3+3x_0^2=b$ có đúng một nghiệm, tức là $b<0$ hoặc $b>1$. Với $b\in (-10;10)\cap \mathbb{Z}$, loại $b\in \{0;1\}$ còn $19-2=17$ giá trị.