Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 16 chọn đáp án D.

Số nghiệm của phương trình $f(x)=1$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=1$.
Từ đồ thị, hàm số có điểm cực đại với tung độ $y_{CĐ}=2$ và điểm cực tiểu với tung độ $y_{CT}=-2$.
Đường thẳng $y=1$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-2$ và cực đại $2$ ($-2<1<2$), do đó nó cắt đồ thị hàm số tại đúng 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án D.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 24 chọn đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^5+4x^3+3x+2=-2x+2⟺x^5+4x^3+5x=0⟺x(x^4+4x^2+5)=0.$
Vì $x^4+4x^2+5=(x^2+2{)}^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên phương trình chỉ có nghiệm duy nhất $x=0$.
Vậy số giao điểm là 1.

Chọn đáp án D.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 40 chọn đáp án B.



Đặt $t=f(x)+2m$.
Phương trình trở thành $f(t)-1=t⟺f(t)=t+1$ (1).
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(t)$ và đường thẳng $d:y=t+1$.
Vẽ đường thẳng $d:y=t+1$ đi qua các điểm $(-2;-1),(0;1),(2;3)$, từ đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị $y=f(t)$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ:
$t=-2,t=0,t=2.$
Do đó ta có hệ:
$[<table><tbody><tr><td>f(x)+2m=-2</td></tr><tr><td>f(x)+2m=0</td></tr><tr><td>f(x)+2m=2</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>f(x)=-2-2m</td></tr><tr><td>f(x)=-2m</td></tr><tr><td>f(x)=2-2m</td></tr></tbody></table>$
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(x)=k$ có tối đa 3 nghiệm khi $-1<k<3$.
Để phương trình đã cho có nhiều nghiệm nhất, cả 3 phương trình con cần có 3 nghiệm phân biệt, tuy nhiên ba đường thẳng $y=-2-2m,y=-2m,y=2-2m$ cách nhau 2 đơn vị trong khi khoảng có 3 nghiệm $(-1;3)$ có độ dài là 4, nên tối đa có 2 phương trình có 3 nghiệm và 1 phương trình có 1 nghiệm (tổng cộng $3+3+1=7$ nghiệm).
- Với $m=0$: $f(x)=-2$ (1 nghiệm), $f(x)=0$ (3 nghiệm), $f(x)=2$ (3 nghiệm) $\Rightarrow$ 7 nghiệm phân biệt.
- Với $m=1$: $f(x)=-4$ (không nghiệm/1 nghiệm), $f(x)=-2$ (1 nghiệm), $f(x)=0$ (3 nghiệm)...
Kiểm tra điều kiện để phương trình có nhiều nghiệm nhất (7 nghiệm), ta nhận $m=0$ và $m=1$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$.

Chọn đáp án B.

Chọn A.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+4$ và đường thẳng $y=-4x+8$ là nghiệm phương trình:
$x^3-3x^2+4=-4x+8⟺x^3-3x^2+4x-4=0⟺(x-2)(x^2-x+2)=0⟺x=2.$
Vậy hai đồ thị có 1 giao điểm duy nhất.

Chọn D.
Ta có: $f(x)+1=m⟺f(x)=m-1$.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y=m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng 2 điểm phân biệt.
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
$[<table><tbody><tr><td>m-1>1</td></tr><tr><td>m-1=-3</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m=-2</td></tr></tbody></table>.$

Phương trình tương đương $\frac{|x^3-3x^2|-4}{x}=m$ (với $x\ne 0$). Khảo sát hàm số $f(x)=\frac{|x^3-3x^2|-4}{x}$, lập bảng biến thiên và biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng $y=m$, ta tìm được đúng 1 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Phương trình tương đương $f(\sin 2x)=\frac{4}{3}$. Đặt $t=\sin 2x$, với $x\in [0;2\pi ]$ thì $t\in [-1;1]$. Dựa vào bảng biến thiên của $f(t)$ trên $[-1;1]$, đường thẳng $y=\frac{4}{3}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt $t_1\in (-1;0)$ và $t_2\in (0;1)$. Với mỗi $t_i\in (-1;1)\setminus \{0\}$, phương trình $\sin 2x=t_i$ có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Vậy tổng số nghiệm là $4+4=8$.

Đặt $t=\cos 4x\in [-1;1]$. Từ bảng biến thiên, phương trình $f(t)=\frac{1}{2}$ có $2$ nghiệm phân biệt $t_1\in (-1;0)$ và $t_2\in (0;1)$ thuộc $[-1;1]$. Trên đoạn $[0;10\pi ]$ ($20$ chu kì của $\cos 4x$), mỗi phương trình $\cos 4x=t_i$ ($i=1,2$) có $40$ nghiệm phân biệt. Vậy phương trình đã cho có $2\cdot 40=80$ nghiệm.

Phương trình hoành độ giao điểm $(x-2)(x^2+3x-1)=0$ có $3$ nghiệm thực phân biệt nên đồ thị có $3$ điểm chung với trục hoành.

Ta có $3f(x)+2=0\iff f(x)=-\frac{2}{3}$. Vì $-1<-\frac{2}{3}<3$ nên đường thẳng $y=-\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số tại $4$ điểm phân biệt, phương trình có $4$ nghiệm thực.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 42 chọn đáp án A.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0⟺x=1$ hoặc $x=3$.
- Cực đại tại $x=1,y(1)=m+4$.
- Cực tiểu tại $x=3,y(3)=m$.
Để đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì $y(1)\cdot y(3)<0⟺-4<m<0$.
Khi đó:
- $y(0)=m<0$ và $y(1)=m+4>0⟹x_1\in (0;1)$.
- $y(1)>0$ và $y(3)=m<0⟹x_2\in (1;3)$.
- $y(3)<0$ và $y(4)=m+4>0⟹x_3\in (3;4)$.
Vậy $0<x_1<1<x_2<3<x_3<4$.

Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 44 chọn đáp án D.

Đặt $t=(\sqrt{2}+1{)}^x$. Vì $x<0$ và $\sqrt{2}+1>1$ nên $0<t<1$.
Phương trình trở thành $4t+\frac{1}{t}=m$.
Xét hàm số $f(t)=4t+\frac{1}{t}$ trên khoảng $(0;1)$:
$f^{\prime }(t)=4-\frac{1}{t^2}=0⟺t=\frac{1}{2}\in (0;1)$.
Bảng biến thiên của $f(t)$ trên $(0;1)$:
- $t\to 0^{+}⟹f(t)\to +\infty$.
- Tại $t=\frac{1}{2}$, $f(1/2)=4(1/2)+2=4$ (cực tiểu).
- Tại $t=1$, $f(1)=5$.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm âm phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị tại 2 điểm thuộc khoảng $(0;1)$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $4<m<5$.

Chọn đáp án D.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 45 chọn đáp án C.

Vì $f(x)$ là đa thức bậc 3 nên $f^{\prime }(x)$ có bậc 2 và $f^{\prime \prime }(x)$ có bậc 1.
Phương trình $2f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$ có bậc $3+1=4$, tuy nhiên hệ số bậc cao nhất là $2\cdot 1\cdot 6x^4-(3x^2{)}^2=12x^4-9x^4=3x^4>0$.
Khi $f(x)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt, phương trình $2f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$ có nhiều nhất 2 nghiệm thực.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 47 chọn đáp án B.

Có 10 giá trị nguyên âm của tham số $a$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn đáp án B.

Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=3$ cắt nhánh trên $(-\infty ;0)$ tại $1$ điểm và tiếp xúc tại điểm cực đại $(2;3)$ (còn trên $(4;+\infty )$ hàm số tăng từ $1$ tiến tới tiệm cận ngang $y=3$). Do đó phương trình $f(x)=3$ có $2$ nghiệm.

Xét $t=|x^3-3x|$ trên $[-2;2]$, phương trình $|x^3-3x|=t$ có $6$ nghiệm phân biệt thuộc $[-2;2]$ khi và chỉ khi $t\in (0;2)$. Do đó phương trình $f(|x^3-3x|)=m$ có đúng $12$ nghiệm phân biệt thuộc $[-2;2]$ khi và chỉ khi phương trình $f(t)=m$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt $t\in (0;2)\iff m\in (-2;0)$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên chỉ có $m=-1$ ($1$ giá trị).

Phương trình tương đương $f(x)=\frac{5}{3}$. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $-2<1<\frac{5}{3}<3$, nên đường thẳng $y=\frac{5}{3}$ cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm thực.

Xét hàm số $y=-x^3+3x^2+1$, ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. Các giá trị cực trị là $y(0)=1>0$ và $y(2)=5>0$. Vì cả hai giá trị cực trị đều dương nên đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất (với $x>2$).

Phương trình tương đương $f(\cos 2x-\sin x)=-\frac{3}{2}$. Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(t)=-\frac{3}{2}$ có 3 nghiệm $t_1,t_2,t_3$. Khảo sát $t(x)=\cos 2x-\sin x=1-2{\sin }^{2}x-\sin x$ trên $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$, ta tìm được tổng cộng 9 nghiệm.

Phương trình tương đương $2020^x+2-\frac{3}{x+1}+m-\frac{1}{x-2}=0$. Khảo sát hàm số $f(x)=2020^x-\frac{3}{x+1}-\frac{1}{x-2}+2=-m$. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số trên các khoảng xác định, ta đếm được 2018 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.