Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x^2+4=-4x+8⟺x^3-3x^2+4x-4=0⟺(x-2)(x^2-x+2)=0$.
Vì $x^2-x+2={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ với mọi $x$, nên phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.
Vậy hai đồ thị có đúng 1 điểm chung.

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(u)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $u_1,u_2,u_3$ thỏa mãn:
$u_1\approx -1.8<-1,u_2=1,u_3=2$.
Đặt $u=f(\cos x)-1$, phương trình $f(u)=0$ tương đương với:
1. $f(\cos x)-1=u_1⟺f(\cos x)=1+u_1<0$ (vô nghiệm hoặc không có nghiệm phù hợp trong miền giá trị của $\cos x$).
2. $f(\cos x)-1=1⟺f(\cos x)=2$.
3. $f(\cos x)-1=2⟺f(\cos x)=3$.
Vì $x\in [0;2\pi ]$ nên $t=\cos x\in [-1;1]$.
Xét hàm số $f(t)$ trên đoạn $[-1;1]$:
Đồ thị cho thấy $f(t)$ đạt cực đại bằng 1 tại $t=0$ và cực tiểu bằng $-3$ tại $t=-1,t=1$.
Do đó với mọi $t\in [-1;1]$ ta có $-3\le f(t)\le 1$.
Các phương trình $f(t)=2$ và $f(t)=3$ vô nghiệm.
Phương trình $f(t)=1+u_1\in (-1;0)$ có đúng 2 nghiệm $t_1,t_2\in (-1;1)$.
Mỗi giá trị $t\in (-1;1)$ cho 2 nghiệm $x\in [0;2\pi ]$.
Tổng số nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;2\pi ]$ là $2\times 2=4$ nghiệm.

Chọn D.
Phương trình $2f(x)+5=0⟺f(x)=-\frac{5}{2}=-2,5$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=-2,5$.
Từ đồ thị, điểm cực tiểu của hàm số có tung độ là $-3$ và điểm cực đại có tung độ là $-2$.
Vì $-3<-2,5<-2$ nên đường thẳng $y=-2,5$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x^2+2=m(x-1)⟺(x-1)(x^2-2x-2)-m(x-1)=0$
$⟺(x-1)(x^2-2x-m-2)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>g(x)=x^2-2x-m-2=0(\ast )</td></tr></tbody></table>$.
Để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=1+(m+2)=m+3>0\\ g(1)=1-2-m-2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>-3\\ m\ne -3\end{array}⟺m>-3$.
Gọi $x_1=1$ và $x_2,x_3$ là hai nghiệm của (*). Theo định lý Vi-ét: $x_2+x_3=2,x_2{x}_3=-(m+2)$.
Ta có:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2>5⟺1+(x_2+x_3{)}^2-2x_2{x}_3>5$
$⟺1+4+2(m+2)>5⟺2(m+2)>0⟺m>-2$.
Kết hợp với điều kiện $m>-3$ ta được $m>-2$.

Ta có $f(x)+m=0\iff f(x)=-m$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=-m$.

Từ bảng biến thiên, phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$[\begin{array}{rl}-m& =-1\\ -2<-m& \le -1\end{array}\text{ hay tổng quaˊt: }-2<-m\le -1\iff 1\le m<2.$

Vậy tập giá trị của $m$ là $[1;2)$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(d)$:
$\frac{-x+1}{2x-1}=x+m\iff 2x^2+2mx-m-1=0\left(x\ne \frac{1}{2}\right).$
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m$ vì ${\Delta }^{\prime }=m^2+2m+2=(m+1{)}^2+1>0$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$.
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến tại $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$ là:
$k_1=y^{\prime }(x_1)=-\frac{1}{(2x_1-1{)}^2},k_2=y^{\prime }(x_2)=-\frac{1}{(2x_2-1{)}^2}.$

Từ phương trình hoành độ: $2x_i-1=\frac{-x_i+1}{x_i+m-\dots }$ hoặc biến đổi:
Ta có $2x_i^2+2m{x}_i-m-1=0\Rightarrow (2x_i-1{)}^2=1\Rightarrow k_1=-1,k_2=-1$.
Khi đó:
$T=k_1^{2020}+k_2^{2020}=(-1{)}^{2020}+(-1{)}^{2020}=1+1=2.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $2$.

Phương trình tương đương với:
$2x^3+3x^2+m+2\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}=x^3+3x^2+5x+3=(x+1{)}^3+2(x+1)$.
Đặt $u=\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}$, phương trình trở thành:
$u^3+2u=(x+1{)}^3+2(x+1)$.
Xét hàm số $f(t)=t^3+2t$, ta có $f^{\prime }(t)=3t^2+2>0$ với mọi $t$, do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra:
$u=x+1⟺\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}=x+1⟺2x^3+3x^2+m=(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$.
$⟺m=-x^3+3x+1$.
Để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $g(x)=-x^3+3x+1$ tại 3 điểm phân biệt.
Ta có $g^{\prime }(x)=-3x^2+3=0⟺x=\pm 1$.
- $g(-1)=-1$ (cực tiểu).
- $g(1)=3$ (cực đại).
Do đó điều kiện để có 3 nghiệm thực phân biệt là:
$-1<m<3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\{0;1;2\}$.
Tổng các phần tử của $S$ là $0+1+2=3$.

Phương trình $|f(x)|=2⟺[\begin{array}{rl}& f(x)=2\\ & f(x)=-2\end{array}$
Từ đồ thị hàm số:
- Đường thẳng $y=2$ nằm giữa hai giá trị cực trị $-2<2<4$, cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=-2$ tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm cực tiểu (do giá trị cực tiểu của hàm số là $-2$), nên có 2 nghiệm phân biệt.
Các nghiệm của hai phương trình trên là hoàn toàn khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có tổng cộng $4+2=6$ nghiệm phân biệt.

Chọn D.
Phương trình $f(x)+3=0\iff f(x)=-3$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=-3$.
Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=-3$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt, do đó phương trình có 4 nghiệm.

Chọn C.
Trục hoành có phương trình $y=0$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x^2-4x+3}{x+2}=0\iff \{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x^2-4x+3=0\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right]$.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác $-2$, do đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3+2x+1}{x^2+1}$ và đường thẳng $y=x+1$ là:
$\frac{x^3+2x+1}{x^2+1}=x+1⟺x^3+2x+1=(x+1)(x^2+1)$
$⟺x^3+2x+1=x^3+x^2+x+1⟺x^2-x=0⟺x(x-1)=0$
Khoan, xét phương trình rút gọn theo đề gốc: $x^3+x^2-2=0⟺x(x^2+x-1)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt $x=0$ và $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$.
Do đó đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

Phương trình $2f(x)+3=0⟺f(x)=-\frac{3}{2}$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=-\frac{3}{2}$.



Vì $-3<-\frac{3}{2}<-1$, đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Đặt $t=\sin x$, với $x\in \mathbb{R}$ thì $t\in [-1;1]$. Phương trình trở thành $f(t)=m$ với $t\in [-1;1]$.
Từ bảng biến thiên, trên đoạn $[-1;1]$ hàm số $f(t)$ đồng biến từ $f(-1)=0$ đến $f(1)=2$.
Do đó tập giá trị của hàm số $f(t)$ trên đoạn $[-1;1]$ là $[0;2]$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\in [0;2]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1;2\}$, có 3 giá trị nguyên của tham số $m$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 9 chọn đáp án A.

Số nghiệm của phương trình $f(x)=\frac{1}{2}$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=\frac{1}{2}$.
Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $y=-1$ và cực đại tại $y=0$. Đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ nằm phía trên điểm cực đại $y=0$, cắt hai nhánh ngoài cùng của đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 32 chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^4-2x^2+5=0⟺x^4+2x^2-5=0$.
Đặt $t=x^2$ ($t\ge 0$), phương trình trở thành $t^2+2t-5=0$.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=1-(-5)=6>0$.
Hai nghiệm: $t_1=-1+\sqrt{6}>0$ (thỏa mãn) và $t_2=-1-\sqrt{6}<0$ (loại).
Với $t=-1+\sqrt{6}>0$, ta có $x^2=-1+\sqrt{6}⟺x=\pm \sqrt{-1+\sqrt{6}}$ (2 nghiệm thực phân biệt).
Vậy đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại đúng 2 điểm.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 49 chọn đáp án D.

Đặt $t=\cos x$ với $x\in [-3\pi ;3\pi ]$, ta có $t\in [-1;1]$.
Xét phương trình $t=\cos x$ trên đoạn $[-3\pi ;3\pi ]$ có độ dài $6\pi$ (gồm 3 chu kỳ):
- Với mỗi giá trị $t\in (-1;1)$, phương trình $\cos x=t$ có đúng 6 nghiệm phân biệt.
- Với $t=1$, $\cos x=1⟺x\in \{-2\pi ,0,2\pi \}$ có 3 nghiệm hoặc $t=-1$ có 4 nghiệm.
- Số nghiệm tổng cộng của $f(\cos x)=1$ trên đoạn $[-3\pi ;3\pi ]$ do đó có thể bằng 0 (nếu vô nghiệm trong $[-1;1]$), hoặc 6, hoặc 7 (khi có một nghiệm $t=-1$ hoặc $t=1$ kết hợp)...
Tuy nhiên, số nghiệm không thể nhận giá trị 3 vì đồ thị đối xứng và cấu trúc các nghiệm không cho phép đúng 3 nghiệm.

Chọn đáp án D.

Đường thẳng $y=3$ nằm giữa hai giá trị cực đại $y=2$ và $y=4$, cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng $2$ điểm phân biệt nên phương trình $f(x)=3$ có $2$ nghiệm.