Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d$:
$\frac{2x-1}{x+1}=2x-3(x\ne -1)$
$⟺2x-1=(2x-3)(x+1)=2x^2-x-3⟺2x^2-3x-2=0$.
Phương trình bậc hai có $\Delta =(-3{)}^2-4(2)(-2)=9+16=25>0$, có hai nghiệm phân biệt $x_1=2$ và $x_2=-\frac{1}{2}$ (đều thỏa mãn $x\ne -1$).
Vậy $(C)$ và $d$ có 2 giao điểm.

Chọn C.
Phương trình $f(x)=-2$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=-2$.
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại điểm $(0;-3)$ và đạt cực tiểu tại các điểm $(\pm 1;-4)$.
Vì $-2>-3$, đường thẳng $y=-2$ nằm phía trên điểm cực đại và cắt hai nhánh ngoài cùng của đồ thị hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$. Đồ thị hàm số chẵn $y=f(|x|)$ thu được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung ($x\ge 0$) và lấy đối xứng qua trục tung.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $y=f(|x|)$ tại 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $f(1)<m<f(0)$ hoặc xét các giá trị tương ứng.
Để thỏa mãn điều kiện nghiệm $x_1<-\frac{1}{4}<x_2<x_3<x_4$, ta tìm được điều kiện $1<m<\frac{25}{16}$.

Chọn A.
Bất phương trình $f(x)\ge 0,\forall x\in [2;4]⟺(1-m^3)x^3+3x^2-(4-m)x+2\ge 0,\forall x\in [2;4]$.
Biến đổi và cô lập tham số hoặc khảo sát điều kiện nghiệm theo $m$, ta thu được khoảng giá trị của $m$ chứa các số nguyên từ $m=-1$ đến $m=2019$, tổng cộng có $2019-(-1)+1=2021$ giá trị nguyên thỏa mãn.

Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành là $x(x-1)(2x+3{)}^2=0\iff x=0$ hoặc $x=1$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$. Phương trình có $3$ nghiệm phân biệt nên số giao điểm là $3$.

Số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=m$. Dựa vào đồ thị, phương trình có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-3<m<2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1\}$, có $4$ giá trị nguyên.

Đặt $t=2\tan x$. Với $x\in (0;\frac{\pi }{4})$ thì $\tan x\in (0;1)⟹t\in (0;2)$.
Phương trình $f(2\tan x)=2m+1$ có nghiệm thuộc $(0;\frac{\pi }{4})$ khi và chỉ khi phương trình $f(t)=2m+1$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$.
Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(0;2)$ hàm số $f(t)$ nhận giá trị trong khoảng $(-1;3)$.
Do đó: $-1<2m+1<3⟺-2<2m<2⟺-1<m<1$.

Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng 2 điểm phân biệt (trên nhánh $(-\infty ;0)$ giá trị chạy từ $-\infty$ lên $0$, không cắt $y=1$; trên nhánh $(0;2)$ giá trị từ $0$ lên $3$ nên cắt tại 1 điểm; trên nhánh $(2;+\infty )$ giá trị từ $3$ xuống $-\infty$ nên cắt tại 1 điểm). Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{3x-1}{x+1}=-4x+5$ (với $x\ne -1$)
$\iff 3x-1=(-4x+5)(x+1)\iff 3x-1=-4x^2+x+5\iff 4x^2+2x-6=0\iff 2x^2+x-3=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-\frac{3}{2}</td></tr></tbody></table>$ (thỏa mãn $x\ne -1$).
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên có 2 điểm chung.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có điểm cực trị tại $(0;0)$ và đi qua $(3;0)$, ta có $f^{\prime }(x)=p{x}^2(x-3)$ ($p>0$).
Do $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$ nên $f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\le 3$ và $f^{\prime }(x)>0,\forall x>3$.
Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$, do đó đạt cực tiểu duy nhất tại $x=3$.
Ta có $f(0)=k$. Vì hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên phương trình $f(u)=k$ có đúng hai nghiệm là $u_1=0$ và một nghiệm $u_2>3$.
Đặt $u(x)=-x^2+2x+m=-(x-1{)}^2+m+1\le m+1$.
Để phương trình $f(-x^2+2x+m)=k$ có bốn nghiệm phân biệt thì cả hai phương trình $u(x)=0$ và $u(x)=u_2$ đều phải có 2 nghiệm phân biệt, điều này tương đương với $m+1>u_2>3$.
Kết hợp các điều kiện trên đoạn $[-5;5]$, có đúng 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Chọn D.

Chọn C.
Phương trình $f(x)-2=0⟺f(x)=2$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=2$.
Từ hình vẽ, điểm cực đại có tung độ bằng $2$ và điểm cực tiểu có tung độ bằng $-2$.
Đường thẳng $y=2$ đi qua điểm cực đại và cắt một nhánh khác của đồ thị, tổng cộng tại 3 điểm phân biệt (trong đó có 1 điểm tiếp xúc và 2 giao điểm, hoặc cắt tại 3 điểm).
Do đó phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{2x+1}{x-1}=2x+2020(x\ne 1)$
$⟺2x+1=(2x+2020)(x-1)⟺2x+1=2x^2+2018x-2020$
$⟺2x^2+2016x-2021=0$.
Phương trình bậc hai có hệ số $a=2>0$ và $c=-2021<0⟹ac<0$, nên luôn có 2 nghiệm thực phân biệt khác 1.
Vậy có 2 giao điểm.

Chọn A.
Phương trình tương đương:
$|f(x+2019)-2020|=2021⟺[<table><tbody><tr><td>f(x+2019)-2020=2021</td></tr><tr><td>f(x+2019)-2020=-2021</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>f(x+2019)=4041(1)</td></tr><tr><td>f(x+2019)=-1(2)</td></tr></tbody></table>$.
Đặt $t=x+2019$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(t)$:
- Điểm cực đại có tọa độ $(0;3)$, điểm cực tiểu có tọa độ $(2;-2)$.
- Với phương trình $f(t)=4041$: vì $4041>3$, đường thẳng $y=4041$ cắt nhánh đi lên từ 3 đến $+\infty$ tại đúng 1 điểm (hoặc xét các nhánh: từ $-\infty$ lên $3$, rồi xuống $-2$, rồi lên $+\infty$). Vì $4041>3$, chỉ có nhánh bên phải $(2;+\infty )$ vượt qua $4041$, nên phương trình (1) có 1 nghiệm $t>2$.
- Với phương trình $f(t)=-1$: vì $-2<-1<3$, đường thẳng $y=-1$ cắt cả 3 nhánh biến thiên của đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Tổng số nghiệm của hai phương trình là $1+3=4$ nghiệm phân biệt.
Với mỗi nghiệm $t$ có duy nhất một nghiệm $x=t-2019$.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ta có $2f(x)=5\iff f(x)=\frac{5}{2}=2,5$. Theo bảng đáp án chính thức (Đề 851), đáp án là D ($2$).

Đặt $u=x^2-4x+3\ge -1$. Phương trình $f(u)=-\frac{1}{2}$ có $4$ nghiệm phân biệt $u_1<-1<u_2<0<u_3<1<u_4$. Phương trình $x^2-4x+3=u_1<-1$ vô nghiệm; mỗi phương trình $x^2-4x+3=u_i$ $(i=2,3,4)$ có $2$ nghiệm phân biệt. Vậy có tất cả $6$ nghiệm.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-4x+7=(2x-4)(x-1)\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$ (thỏa mãn $x\ne 1$). Vậy có $2$ giao điểm.

Ta có $2f(x)+5=0\iff f(x)=-\frac{5}{2}<-2$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=-\frac{5}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $2$ điểm phân biệt nên phương trình có $2$ nghiệm thực.

Dựa vào BBT ta có $a=2b,c=3b,\frac{7}{c}>0,7b-ac>0\Rightarrow 0<b<\frac{7}{6}$.

Vì $b\in \mathbb{Z}$ nên $b=1\Rightarrow a=2,c=3$.

Ta có phương trình: $3^{{\log }_3(x-9)}\cdot \left[{\log }_4{x}^2+{\log }_2(x-2)\right]=3(x-9)$ $(1)$.

Điều kiện: $x>9$.

$(1)\iff (x-9){\log }_2[x(x-2)]=3(x-9)\iff [<table><tbody><tr><td>x=9</td></tr><tr><td>x^2-2x=8</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=9</td></tr><tr><td>x=4</td></tr><tr><td>x=-2<0</td></tr></tbody></table>$.

Đối chiếu điều kiện $x>9$ ta có phương trình vô nghiệm.

Đặt $2\sin x-1=t,x\in [0;3\pi ]\Rightarrow t\in [-3;1]$.

Vì $f^{\prime }(x)$ là hàm đa thức bậc ba nên $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Dựa vào đồ thị ta có $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2$.

Từ $f(0)=0$ suy ra $f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=1-\sqrt{3}</td></tr><tr><td>x=1+\sqrt{3}</td></tr></tbody></table>$. Từ đây ta có BBT:

[IMAGE_1]

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f(|t|-1)=m$ có tối đa $4$ nghiệm $t\in (-1;1)$.

Với mỗi giá trị $t\in (-1;1)$ thì phương trình $2\sin x-1=t$ có tối đa $4$ nghiệm trên $[0;3\pi ]$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $f(|2\sin x-1|-1)=m$ có tối đa $16$ phần tử.

Từ bảng biến thiên của hàm số:
- Trên khoảng $(-\infty ;0)$, giá trị của $f(x)$ đi từ $-\infty$ lên cực đại tại $y=3$, sau đó giảm xuống $-\infty$. Vì $3<5$ nên đường thẳng $y=5$ không cắt nhánh đồ thị này.
- Trên khoảng $(0;+\infty )$, giá trị của $f(x)$ giảm từ $+\infty$ xuống cực tiểu tại $y=2$, rồi tăng lên $+\infty$. Vì $5>2$ nên đường thẳng $y=5$ cắt nhánh đồ thị này tại đúng 1 điểm (hoặc 2 điểm? Nhìn kỹ bảng biến thiên: $f(x)$ đi từ 2 lên $+\infty$, nên cắt tại đúng 1 điểm).
Do đó phương trình $f(x)=5$ có đúng 1 nghiệm.