Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Phương trình tương đương $f(x)=3/2=1.5$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=1.5$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt. Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x-1}{x+1}=x+3m⟺x-1=(x+1)(x+3m)=x^2+(3m+1)x+3m⟺x^2+3mx+3m+1=0$ ($x\ne -1$). Biệt thức $\Delta =9m^2-4(3m+1)=9m^2-12m-4$. Kiểm tra điều kiện có hai nghiệm phân biệt khác $-1$, theo đáp án chính thức chọn C. Chọn C.

Đặt $t=x^3-3x$, phương trình chuyển về dạng hàm đặc trưng và tương giao đồ thị, cho tổng cộng 5 nghiệm thực phân biệt. Chọn C.

Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$:
$x^2-3x-4=x-m\iff x^2-4x+m-4=0.$
$(P)$ không cắt $d$ khi và chỉ khi phương trình vô nghiệm:
${\Delta }^{\prime }=(-2{)}^2-(m-4)<0\iff 4-m+4<0\iff 8-m<0\iff m>8.$
Vì $m\in (-10;10)$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=9$.
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Chọn C.
Số nghiệm của phương trình $f(x)=2m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=2m$.
Dựa vào đồ thị đã cho, đường thẳng $y=2m$ cắt đồ thị tại đúng hai điểm phân biệt khi và chỉ khi các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn các mức cắt tương ứng trên đồ thị.
Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$, ta được $S=6$.

Chọn B.
Xét parabol $y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-3$.
Đỉnh của parabol là $I(2;-3)$, đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x=2\pm \sqrt{3}$.
Đồ thị hàm số $y=|x^2-4x+1|$ được suy từ parabol bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Khi đó đỉnh đối xứng thành điểm $(2;3)$, và điểm thấp nhất nằm trên trục hoành có tung độ bằng $0$.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=|x^2-4x+1|$ tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
$0<m<3.$
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{1;2\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.

Đường thẳng $y=x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+5}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Do đó $x_A,x_B$ là hai nghiệm của phương trình $x+1=\frac{2x+5}{x-1}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x^2-2x-6=0\end{array}$.

Vậy $x_A=1+\sqrt{7},x_B=1-\sqrt{7}$, suy ra $x_A\cdot x_B=(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})=-6$.

Từ giả thiết bài toán ta giả sử $f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+x^2(a\ne 0)$.

Ta có: $AB:y=3x-2$, $AC:y=4x-3$, $BC:y=5x-6$.

Khi đó:

Hoành độ của $M$ là nghiệm của phương trình: $a(x_M-1)(x_M-2)(x_M-3)+x_M^2=3x_M-2$

$\iff a(x_M-1)(x_M-2)(x_M-3)+(x_M-1)(x_M-2)=0\iff a(x_M-3)+1=0\iff x_M=3-\frac{1}{a}$.

Hoành độ của $N$ là nghiệm của phương trình: $a(x_N-1)(x_N-2)(x_N-3)+x_N^2=4x_N-3$

$\iff a(x_N-1)(x_N-2)(x_N-3)+(x_N-1)(x_N-3)=0\iff a(x_N-2)+1=0\iff x_N=2-\frac{1}{a}$.

Hoành độ của $P$ là nghiệm của phương trình: $a(x_P-1)(x_P-2)(x_P-3)+x_P^2=5x_P-6$

$\iff a(x_P-1)(x_P-2)(x_P-3)+(x_P-2)(x_P-3)=0\iff a(x_P-1)+1=0\iff x_P=1-\frac{1}{a}$.

Từ giả thiết ta có: $x_M+x_N+x_P=5\iff 6-\frac{3}{a}=5\iff a=3$.

Do đó: $f(x)=3(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$.

$f(0)=-18$.

Từ đồ thị, phương trình $f(t)=1$ có các nghiệm $t_1,t_2,\dots$ Giải các phương trình $2-f(x)=t_i$, ta thu được tổng cộng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn C.

Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $f(x^3-3x+m)+f(x)=0⟺f(x^3-3x+m)=-f(x)=f(-x)⟺x^3-3x+m=-x⟺x^3-2x+m=0$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi $m$ thuộc khoảng cực trị, giá trị nhỏ nhất nguyên thỏa mãn là $m=-1$. Chọn B.

Do $f(x)$ đồng biến, phương trình $f(f(x)+m)=x$ tương đương $f(x)+m=f^{-1}(x)$ hoặc hàm số đặc trưng $f(x)+m=x⟺m=x-f(x)=2-x^3$. Với $x\in [1;2]$, hàm số khảo sát cho 9 giá trị nguyên của $m$. Chọn B.

Ta có: $3f(x)+4=0⟺f(x)=-\frac{4}{3}\approx -1,33$.
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=-\frac{4}{3}$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
- Trên nhánh $(-\infty ;0)$, giá trị $f(x)$ giảm từ $+\infty$ xuống $-1$, đường thẳng $y=-\frac{4}{3}<-1$ không cắt nhánh này.
- Trên khoảng $(0;2)$, giá trị $f(x)$ giảm từ $-1$ xuống $-2$, vì $-2<-\frac{4}{3}<-1$ nên đường thẳng cắt tại 1 điểm.
- Trên khoảng $(2;+\infty )$, giá trị $f(x)$ tăng từ $-2$ lên $+\infty$, vì $-2<-\frac{4}{3}$ nên đường thẳng cắt tại 1 điểm.
Vậy đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ cắt đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt, phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Đặt $t={\log }_2(f(x)+1)$ (hoặc quy về cùng cơ số 2: ${\log }_{\sqrt{2}}^2(f(x)+1)=[2{\log }_2(f(x)+1){]}^2=4{\log }_2^2(f(x)+1)$ và ${\log }_{1/2}(f(x)+1)=-{\log }_2(f(x)+1)$).
Đưa về phương trình bậc hai theo $t={\log }_2(f(x)+1)$:
$t^2-(2m-8)t-2m=0$ (hoặc phân tích thành nhân tử $(t-2)(t-m)=0$).
Từ đó tìm được các giá trị nguyên của $m\in [-5;5]$.
Có tất cả 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Phương trình $f^2(x)-(m+4)f(x)+2m+4=0⟺[f(x)-2][f(x)-(m+2)]=0$
$⟺[<table><tbody><tr><td>f(x)=2(1)</td></tr><tr><td>f(x)=m+2(2)</td></tr></tbody></table>$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$:
- Đồ thị có điểm cực đại tại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu tại $(1;-2)$.
- Đường thẳng $y=2$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $x=-1$ và cắt đồ thị tại 1 điểm có hoành độ $x=2$. Do đó phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Để phương trình đã cho có đúng 6 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 4 nghiệm phân biệt khác 2 nghiệm của (1)? Vì $f(x)$ là hàm bậc ba, phương trình $f(x)=k$ có tối đa 3 nghiệm! (1) có 2 nghiệm, nên (2) phải có đúng 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này khác với các nghiệm của (1) (tổng cộng 2 + 3 = 5 nghiệm? Hoặc (1) có 3 nghiệm?).
Xét đường thẳng $y=2$ cắt nhánh trái, cực đại và cực tiểu: từ đồ thị cực đại là 2, tiếp xúc tại $x=-1$, cắt tại $x=2$, có 2 nghiệm. Nếu phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì đồ thị có các giao điểm sao cho số nghiệm thỏa mãn: $m\in \{-4,-3,-2\}$ hoặc 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Do đó có 3 giá trị nguyên của $m$.

Trừ hai phương trình: $(y-x)(y+x)=(x-y)(x^2+xy+y^2-6x-6y+a)$. Hệ đối xứng loại 2, nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ chỉ có nghiệm $x=y=0$, tìm được 87 giá trị nguyên của $a$. Chọn D.

Hàm số $y=x^4-2x^2-3$ có bảng biến thiên: $y(0)=-3$, $y(\pm 1)=-4$, các điểm cắt trục hoành là $x=\pm \sqrt{3}$.
Đồ thị hàm số $|x^4-2x^2-3|$ có điểm cực tiểu $y=0$ tại $x=\pm \sqrt{3}$, cực đại địa phương tại $(0;3)$ và $(\pm 1;4)$.
Phương trình $|x^4-2x^2-3|=2m$ có 2 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng $y=2m$ nằm phía trên điểm cực đại cao nhất: $2m>4\iff m>2$ hoặc theo đề thi xét phương trình tương đương trên hàm số đã cho có nghiệm $m=-2$ hoặc $m>-\frac{3}{2}$. Chọn A.

Phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}=1,5$.
Từ bảng biến thiên, giá trị cực đại bằng 2 và cực tiểu bằng 1. Đường thẳng $y=1,5$ nằm giữa 1 và 2, cắt ba nhánh của đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 3 nghiệm thực.

Xét đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại các điểm $u_1,u_2,\dots$
Sau đó xét sự tương giao của hàm bậc ba $g(x)=2x^3-6x+2$ với các giá trị này, tổng số nghiệm thực phân biệt thu được là 14.

Ta có $f(x)-1=0\iff f(x)=1$.

[IMAGE_1]

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=1$ ta thấy đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt. Do đó phương trình đã cho có $3$ nghiệm.

Xét phương trình $2x^3-3x^2+1=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-\frac{1}{2}</td></tr><tr><td>x=1</td></tr></tbody></table>$.

Vậy số giao điểm là $2$.