Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $AB=2a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ với góc đỉnh $60^{\circ }$ là tam giác đều, do đó $AC=AB=2a$. Đường chéo $BD=2\cdot AO=2\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=2a\sqrt{3}$. Tâm $O$ là trung điểm $BD$ nên $OB=a\sqrt{3}$. Vậy $\left|\overrightarrow{OB}\right|=a\sqrt{3}$, đáp án C. (A sai vì $OA=a<OB$; B, D sai theo tính toán trên.) Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều ABC cạnh 2 cm, I trung điểm BC nên AI là trung tuyến và đường cao, AI = √3 cm. a) Vì I là trung điểm BC nên B, I, C thẳng hàng với I nằm giữa B và C, do đó vectơ IB và IC ngược hướng: IB = -IC ≠ IC → Sai. b) I là trung điểm BC nên theo tính chất trung điểm trong tam giác GBC: GB + GC = 2GI → Đúng. c) Quy tắc ba điểm: AB + BC = AC → Đúng. d) AB·AI = |AB|·|AI|·cos(∠BAI) = 2·√3·cos30° = 2·√3·(√3/2) = 3 cm² ≠ √3 cm² → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm BC nên IB và IC ngược hướng: IB = -IC, không bằng IC.
b) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm BC nên với đỉnh G: GB + GC = 2GI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: AB + BC = AC.
d) (AI giải đề cho tôi)
AI = √3 cm, góc BAI = 30°, nên AB·AI = 2·√3·(√3/2) = 3 cm² ≠ √3 cm².

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại $A$, $AB=1$, $AC=\sqrt{3}$, $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Khi đó $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC})$. Vì $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}=-A{B}^2=-1$; và vì $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=0$. Vậy $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(-1+0)=-0,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ($-0,5$).

Ta có lực tổng hợp: $\vec{F}=\overrightarrow{OC}$ (0,25) Áp dụng định lí côsin, ta có: $OC=\sqrt{(F_1{)}^2+(F_2{)}^2-2F_1{F}_2.\cos 120^{\circ }}$ (0,5) $=\sqrt{400^2+600^2-\mathrm{2.400.600.}\cos 120^{\circ }}$ $\approx 871,78$ (N) (0,25) $\Rightarrow |\vec{F}|=|\overrightarrow{OC}|\approx 871,78$ (N). [Hình cần kiểm tra lại: p8_f3]

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ → Đúng.
b) Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng độ dài $1cm$ nhưng ngược hướng, nên $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IC}$ → Sai.
d) Tam giác đều cạnh $2$ nên $AI=\sqrt{3}cm$, góc $\widehat{BAI}=30^{\circ }$. Khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI}=2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 30^{\circ }=2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3c{m}^2\ne \sqrt{3}c{m}^2$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $BC$, với đỉnh $G$ ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IC}$, không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI}=|AB|\cdot |AI|\cos 30^{\circ }=2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3c{m}^2\ne \sqrt{3}c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: A(0;0), B(1;0), C(0;√3). M trung điểm BC nên M(1/2; √3/2). Khi đó vector BA = A − B = (−1;0), vector AM = M − A = (1/2; √3/2). Tích vô hướng: BA·AM = (−1)(1/2) + 0·(√3/2) = −1/2 = −0,5. Cách khác: AM = (AB + AC)/2 nên BA·AM = (BA·AB + BA·AC)/2 = (−AB² + 0)/2 = −1/2 vì AB ⊥ AC. Kết quả trùng với đáp án nguồn −0,5.

Ta có lực tổng hợp: $\vec{F}=\overrightarrow{OC}$ (0,25) Áp dụng định lí côsin, ta có: $OC=\sqrt{(F_1{)}^2+(F_2{)}^2-2F_1{F}_2.\cos 120^{\circ }}$ (0,5) $=\sqrt{400^2+600^2-\mathrm{2.400.600.}\cos 120^{\circ }}$ $\approx 871,78$ (N) (0,25) $\Rightarrow |\vec{F}|=|\overrightarrow{OC}|\approx 871,78$ (N). [Hình cần kiểm tra lại: p8_f3]

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có 3 đỉnh phân biệt. Vecto khác vecto-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh: chọn điểm đầu có 3 cách, điểm cuối phải khác điểm đầu nên có 2 cách, tổng $3\times 2=6$ vecto: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Tất cả đều khác vecto-không vì hai đỉnh phân biệt. Vậy đáp án là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 12: c).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD có AB = 2 cm, BC = AD = 4 cm, góc ABC = 60° nên góc BAD = 120°.
a) Đúng: trong hình bình hành, hai cạnh đối song song và bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
b) Sai: trong tam giác ABD, $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 120^{\circ }=4+16-2\cdot 2\cdot 4\cdot (-\frac{1}{2})=28$, nên $BD=2\sqrt{7}\ne 2\sqrt{3}$ cm.
c) Sai: $S=AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\approx 6,93\ne 4c{m}^2$.
d) Sai: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})=|\overrightarrow{AB}{|}^2=4\ne 1$.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0112 (3a = D, 3b = S, 3c = S, 3d = S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành: hai cạnh đối song song và bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (đúng).
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{D}^2=4+16-16\cos 120^{\circ }=28\Rightarrow BD=2\sqrt{7}\ne 2\sqrt{3}$ (sai).
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=2\cdot 4\cdot \sin 60^{\circ }=4\sqrt{3}\approx 6,93\ne 4c{m}^2$ (sai).
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ nên tích vô hướng bằng $|\overrightarrow{AB}{|}^2=4\ne 1$ (sai).

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực: $A=\vec{F}\cdot \overrightarrow{OM}=|\vec{F}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot \cos 60^{\circ }=40\cdot 50\cdot \frac{1}{2}=1000$ (J). Kết quả khớp với đáp án nguồn (1000).

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực: $A=\vec{F}\cdot \overrightarrow{OM}=|\vec{F}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot \cos 60^{\circ }=40\cdot 50\cdot \frac{1}{2}=1000(J)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2 = 1000).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=a$, $BC=a$, nên $AC=a\sqrt{2}$. Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=|\overrightarrow{AB}{|}^2+0=a^2$. Do đó $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $D(0;2a)$, $C(a;2a)$, tâm $O(a/2;a)$. E trung điểm AD nên $E(0;a)$; F trung điểm BO nên $F(3a/4;a/2)$.
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ và O là trung điểm AC nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{BE}=(-a;a)$, $\overrightarrow{AC}=(a;2a)$, tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2\ne -a^2$. Sai.
c) $\overrightarrow{EF}=(3a/4;-a/2)$; còn $-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=(3a/4;-a/2)$. Bằng nhau. Đúng.
d) $\overrightarrow{BC}=(0;2a)$, $\overrightarrow{DA}=(0;-2a)$, khác nhau (đối nhau). Sai.
Chi tiết từng phương án:
a) O là tâm hình chữ nhật nên là trung điểm AC, do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$.
b) Với tọa độ $A(0;0)$, $B(a;0)$, $D(0;2a)$: $E(0;a)$, $\overrightarrow{BE}=(-a;a)$, $\overrightarrow{AC}=(a;2a)$, tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2\ne -a^2$.
c) F trung điểm BO với $O(a/2;a)$ nên $F(3a/4;a/2)$, $\overrightarrow{EF}=(3a/4;-a/2)$. Mặt khác $-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=(3a/4;-a/2)$. Hai véc tơ bằng nhau.
d) $\overrightarrow{BC}=(0;2a)$ còn $\overrightarrow{DA}=(0;-2a)$; chúng đối nhau chứ không bằng nhau ($\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$ với $a=3\sqrt{2}$. Khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(a;0)+(a;a)+(0;a)=(2a;2a)$. Độ dài bằng $\sqrt{(2a{)}^2+(2a{)}^2}=2a\sqrt{2}=2\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=12$. Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-6)=6-6=0$. Do đó hai vecto vuông góc, cosin góc giữa chúng bằng $0$.

ĐÁP SỐ:

Vẽ điểm F thỏa mãn ABFC là hình bình hành



$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}$

Vì ABFC là hình bình hành nên $\hat{B}=180^0-120^0=60^0$

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABF ta có:

$b^2=a^2+f^2-2.a.f.\cos B=5+8-2.\sqrt{5}.2\sqrt{2}\cos 60^0$

$b=\sqrt{13-2\sqrt{10}}\approx 2,58$

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F}$ là 2,58 N

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 Phần II (mã đề 0101). a) Đúng: O là giao hai đường chéo hình chữ nhật nên theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$. b) Sai: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$, còn $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{DA}$. c) Đúng: chọn hệ trục $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,2a)$ thì $C(a,2a)$, $O(a/2,a)$, $E(0,a)$, F trung điểm BO là $(3a/4,a/2)$; suy ra $\overrightarrow{EF}=(3a/4,-a/2)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, khớp khẳng định. d) Sai: $\overrightarrow{BE}=(-a,a)$, $\overrightarrow{AC}=(a,2a)$ nên $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2+2a^2=a^2\ne -a^2$. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức: 2a Đúng, 2b Sai, 2c Đúng, 2d Sai. Lời giải chi tiết do AI cung cấp vì đề chỉ có bảng đáp án.
a) Đúng. O là tâm hình chữ nhật nên theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$.
b) Sai. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (cùng hướng) còn $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{DA}$.
c) Đúng. Chọn hệ trục $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,2a)$: $E(0,a)$, F trung điểm BO nên $F(3a/4,a/2)$. Suy ra $\overrightarrow{EF}=(3a/4,-a/2)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, khớp với khẳng định của đề.
d) Sai. Với $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,2a)$, $E(0,a)$: $\overrightarrow{BE}=(-a,a)$, $\overrightarrow{AC}=(a,2a)$, tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2\ne -a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E$ là trung điểm của $BD$. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}$. Trong hình vuông $ABCD$, $E$ cũng là trung điểm của $AC$ nên $2\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$. Đường chéo $AC=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=6$, nên $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|=2\cdot 6=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: P đúng vì vecto $\vec{0}$ có độ dài bằng 0. Q đúng vì $\vec{0}$ cùng phương với mọi vecto. R sai vì hai vecto cùng phương và cùng độ dài có thể ngược hướng (khi đó chúng đối nhau chứ không bằng nhau). S đúng theo SGK Toán 10: vecto được xác định bởi một đoạn thẳng có hướng (gốc A, ngọn B). Vậy có 3 mệnh đề đúng (P, Q, S), chọn đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc hình bình hành: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 45^0=100^2+100^2+2\cdot 100\cdot 100\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20000+10000\sqrt{2}\approx 34142,14$. Vậy $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|\approx \sqrt{34142,14}\approx 184,8\approx 185$ N, trùng với đáp án nguồn (185).