Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overline{MN}=-3\overline{MP}$ suy ra $\overline{MP}=-\frac{1}{3}\overline{MN}$, tức $\overline{MP}$ ngược hướng $\overline{MN}$ và $MP=\frac{1}{3}MN$. Vậy $P$ nằm ngoài đoạn $MN$, phía đối diện với $N$ so với $M$, với $MN=3MP$. Xét các hình: Hình 1 và Hình 4 có $P$ nằm giữa $M$ và $N$ (cùng hướng) nên sai; Hình 2 có $P$ cùng phía với $N$ so với $M$ và $MP>MN$ nên sai. Hình 3 có thứ tự $N,\dots ,M,P$ với $MN=3$ đơn vị, $MP=1$ đơn vị, thỏa mãn $\overline{MN}=-3\overline{MP}$. Vậy đáp án là Hình 3, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn một điểm gốc $O$ bất kỳ, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})+(\vec{A}-\vec{E})=\vec{B}+\vec{D}-\vec{C}-\vec{E}$. Mặt khác $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}=(\vec{B}-\vec{C})+(\vec{D}-\vec{E})=\vec{B}+\vec{D}-\vec{C}-\vec{E}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M$ tùy ý, ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}$. Do đó $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(b;0)$, $D(0;d)$, $C(b;d)$. Khi đó $I$ trung điểm $BC$: $I(b;\frac{d}{2})$; $K$ trung điểm $CD$: $K(\frac{b}{2};d)$.

$\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=(b;\frac{d}{2})+(\frac{b}{2};d)=(\frac{3b}{2};\frac{3d}{2})$.

Mặt khác $\overrightarrow{AC}=(b;d)$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.

Cách khác: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$, nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ (vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$).

Kiểm tra các phương án: A sai ($2\overrightarrow{AC}\ne \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$); B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$; C sai vì $\overrightarrow{IK}=(-\frac{b}{2};\frac{d}{2})\ne \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$, tức $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{IB}$. Vậy $I$ nằm giữa $A$ và $B$ (hai vecto $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{IB}$ cùng hướng) và $IB=\frac{1}{3}AB$. Do đó $I$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $IB=\frac{1}{3}AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AI}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{BA}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. Suy ra $I$ nằm trên đoạn $AB$, cùng phía với $B$ so với $A$, và $AI=\frac{3}{5}AB$ (tức $IB=\frac{2}{5}AB$, $I$ gần $B$ hơn). Xét các hình: hình A có $I$ ở vị trí $\frac{2}{5}AB$ (gần $A$ hơn) nên sai; hình C đặt $I$ ngoài đoạn $AB$ về phía $A$ nên sai; hình D đặt $I$ ngoài đoạn $AB$ về phía $B$ nên sai. Hình B biểu diễn đúng: $I$ nằm trong đoạn $AB$ với $\frac{AI}{AB}=\frac{3}{5}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ suy ra $\overrightarrow{MP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$, tức $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng nên $P$ nằm giữa $M$ và $N$, với $MP=\frac{1}{3}MN$ ($P$ gần $M$ hơn). Thứ tự điểm trên đường thẳng là $M$, $P$, $N$ với $P$ cách $M$ một phần ba đoạn $MN$. Hình D thể hiện đúng: $M$ ... $P$ ... $N$ với $P$ ở gần $M$. Hình A sai vì $P$ ở xa $M$ hơn (khoảng $\frac{2}{3}$); hình B, C sai vì thứ tự điểm không đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trong đoạn $AB$ nên $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng, do đó $k<0$. Ta có $AM=\frac{1}{5}AB$ nên $MB=\frac{4}{5}AB$, suy ra $\overrightarrow{MA}=-\frac{AM}{MB}\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}$. Vậy $k=-\frac{1}{4}$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}$ (A đúng). Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (D đúng), suy ra $\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{CN}$, do đó B sai. Với $M,N$ trung điểm: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{NM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{NM}$ (C đúng). Mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$. Hệ thức trở thành $2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{MI}=-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}$. Suy ra $M$ là trung điểm của đoạn $IC$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$:
- A đúng: $\overrightarrow{G{A}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$, tương tự cho $G{B}_1,G{C}_1$, nên tổng $=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (tính chất trọng tâm).
- B đúng: $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\vec{0}$ là tính chất cơ bản của trọng tâm.
- C đúng: $\overrightarrow{A{A}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, cộng ba đẳng thức tương tự được $\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{C{C}_1}=\vec{0}$.
- D sai: $G$ nằm trên đoạn $C{C}_1$ với $\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{G{C}_1}$, suy ra $\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{G{C}_1}$, không phải $\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{G{C}_1}$.
Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đường Euler của tam giác, ba điểm $O$, $G$, $H$ thẳng hàng với $G$ nằm giữa $O$ và $H$ và $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$, tức $\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG}$ (tỉ số $OG:GH=1:2$). Do đó $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$ đúng (đáp án C). Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\ne \frac{3}{2}\overrightarrow{OG}$ nên A sai; $\overrightarrow{HO}=-3\overrightarrow{OG}\ne 3\overrightarrow{OG}$ nên B sai; $2\overrightarrow{GO}=-2\overrightarrow{OG}\ne -3\overrightarrow{OH}$ nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tọa độ vecto theo các điểm: vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec{0}$, suy ra $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BJ}$. Cách gọn hơn: $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}$ với $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$... Thực chất dùng tính chất: với $I$ trung điểm $AB$, $J$ trung điểm $CD$ ta có $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$ (vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IJ}$ do $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec{0}$; tương tự $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}$). Do đó B và C đúng. Với D: $2\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB})=\vec{0}$, đúng. Còn A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JD})$... kiểm tra: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{B}-\vec{A}+\vec{D}-\vec{C}$, trong khi $2\overrightarrow{IJ}=\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B}$; hai biểu thức khác nhau (khác nhau $2(\vec{B}-\vec{C})$). Vậy đẳng thức A là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$ với hệ số $3>0$ nên hai vectơ cùng phương cùng hướng, do đó $B$ và $C$ nằm cùng phía so với $M$, tức $M$ nằm ngoài đoạn $BC$, phía ngoài điểm $C$, và $MB=3MC$ (nên $MC=\frac{1}{2}BC$). Xét các hình ở trang 88: Hình A vẽ $M$ nằm trong đoạn $BC$ — khi đó $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ ngược hướng, sai. Hình B vẽ $M$ nằm trên tia đối của tia $CB$, điểm $C$ nằm giữa $B$ và $M$, với $MB=3MC$ — đúng. Hình C vẽ $M$ nằm ngoài phía điểm $B$ — sai. Hình D vẽ $M$ trùng $C$ — sai. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $B$ làm gốc: $\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BN}$, $\overrightarrow{NB}=-\overrightarrow{BN}$, $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$. Hệ thức $\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CB}$ trở thành $\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{BC}$, suy ra $3\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$. Vì $I$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BI}$. Do đó $3\overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{BI}$, tức $\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BI}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành, vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$). Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$, suy ra $4\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Vậy $M$ là trung điểm của $AC$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ và $AM=\frac{1}{4}AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ (B đúng), $MB=\frac{3}{4}AB$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}$ (C đúng). Hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}$, do đó khẳng định A thiếu dấu âm và sai; tương tự $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MA}$ đúng (D đúng). Khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ và $MA=\frac{1}{5}AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$ (A đúng). Suy ra $MB=\frac{4}{5}AB=4MA$, và vì $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng $\overrightarrow{MA}$ nên $\overrightarrow{MB}=-4\overrightarrow{MA}$ (C đúng), do đó $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}$ (B đúng). Còn $\overrightarrow{MB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$), không phải $-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm $A,B,C$ phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức tồn tại số thực $k\ne 0$ (vì $A\ne B$ nên $\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$) sao cho $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án B.
- A sai: $AB=AC$ chỉ nói $B,C$ nằm trên đường tròn tâm $A$, không đảm bảo thẳng hàng.
- C sai: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ luôn đúng với mọi bộ ba điểm (tính chất trừ vectơ), không phải điều kiện thẳng hàng.
- D sai: Đẳng thức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$ với mọi $M$ không tương đương với ba điểm thẳng hàng (với $M=A$ sẽ cho $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$, chỉ là trường hợp riêng).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
a) $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$ → đúng.
b) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$, khác với $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$ → sai.
c) $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, khác với $\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ → sai.
d) $\overrightarrow{MP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}\right)=\frac{3}{2}\overrightarrow{MN}$, nên $\overrightarrow{MP}$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ và chung điểm $M$ → ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Do $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$, hệ số của $\overrightarrow{AB}$ là $-\frac{1}{3}$ chứ không phải $\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, hệ số của $\overrightarrow{AD}$ là $\frac{1}{4}$ chứ không phải $\frac{1}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MN}$ nên $\overrightarrow{MP}$ cùng phương $\overrightarrow{MN}$, chung điểm $M$, do đó $M,N,P$ thẳng hàng.