Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

Đáp số: 0,71.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra với điểm $O$ tùy ý: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$. Tương tự $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=3\overrightarrow{O{G}^{\prime }}$. Lấy hiệu: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(\overrightarrow{O{A}^{\prime }}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{O{B}^{\prime }}-\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{O{C}^{\prime }}-\overrightarrow{OC})=3\overrightarrow{O{G}^{\prime }}-3\overrightarrow{OG}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy đáp án D. Kiểm tra các phương án khác: A là phần đối của D nên bằng $-3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$ (sai); B: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$... thực chất tổng này $=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$ với các vecto không triệt tiêu theo cách ghép đó, không bằng $3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$; C tương tự sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $BC$ nên $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ cùng phương, và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BC}$... Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$. Nhân hai đẳng thức với $\frac{MC}{BC}$ và $\frac{MB}{BC}$ rồi cộng lại: $$\overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}+\frac{MC}{BC}\overrightarrow{BM}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{CM}.$$ Vì $M$ trên đoạn $BC$ nên $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{CM}$ ngược hướng, do đó $\frac{MC}{BC}\overrightarrow{BM}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{CM}=\vec{0}$ (hai hệ số dương, độ dài $\frac{MC}{BC}\cdot MB=\frac{MB}{BC}\cdot MC$). Vậy $\overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}$, tức đáp án A đúng. Kiểm tra: khi $M=B$ thì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}$, công thức cho $\frac{BC}{BC}\overrightarrow{AB}+0=\overrightarrow{AB}$ ✓; khi $M=C$ thì cho $\overrightarrow{AC}$ ✓. Các phương án B, C, D sai vì B dùng hệ số theo $AB$ không phù hợp với điểm $M$ trên $BC$; C dùng hệ số $\frac{MB}{AC},\frac{MA}{AB}$ vô nghĩa về chiều; D thừa hệ số 2.

(AI giải đề cho tôi)
Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, với mọi điểm $M$ ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MG}-\overrightarrow{MC}$. Thay vào điều kiện đề bài: $(3\overrightarrow{MG}-\overrightarrow{MC})+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Rightarrow 3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{MC}=-3\overrightarrow{MG}$. Mặt khác $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$, nên $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=-3\overrightarrow{MG}\Rightarrow \overrightarrow{GC}=-4\overrightarrow{MG}=4\overrightarrow{GM}$. Vậy $M$ nằm trên đoạn $GC$ thỏa $\overrightarrow{GC}=4\overrightarrow{GM}$, tức $M$ chia đoạn $GC$ theo tỉ số $GM:MC=1:3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ (I): $a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=\vec{0}$. Thay $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ ta được $(a+b)\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{MA}=-\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$ (vì $a+b\ne 0$). Vậy (I) ⟺ (II). Điểm $M$ xác định bởi (II) nằm trên đường thẳng $AB$, nên (I) ⟹ (III); tuy nhiên (III) không kéo theo (I) vì mọi điểm trên đường thẳng $AB$ đều thỏa (III) chứ không phải duy nhất điểm barycenter. Do đó chỉ (I) và (II) tương đương nhau. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}=\overrightarrow{OG}$ (vì $M$ là trung điểm nên $AM$ đi qua trọng tâm $G$). Tương tự $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OG}$, $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OG}$. Vì $D$ là trung điểm của $AM$: $\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}}{2}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}}{2}$. Tương tự $\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OG}}{2}$, $\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OG}}{2}$. Cộng lại: $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OG}}{2}=\frac{3\overrightarrow{OG}+3\overrightarrow{OG}}{2}=3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $B=\left(-\frac{1}{2},0\right)$, $C=\left(\frac{1}{2},0\right)$, khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp (tâm đều) $O=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$. Thử với $M=A$: hình chiếu của $A$ xuống $BC$ là $D=(0,0)$ nên $\overrightarrow{MD}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$; hình chiếu của $A$ xuống $CA$ và $AB$ đều là chính $A$ nên $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MF}=\vec{0}$. Vậy $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Mặt khác $\overrightarrow{MO}=O-A=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, so sánh suy ra hệ số $k=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/3}=\frac{3}{2}$. Kiểm tra thêm với $M=O$: ba hình chiếu là trung điểm ba cạnh, ba vectơ từ $O$ đến chúng có độ dài bằng nhau và đôi một tạo góc $120^{\circ }$ nên tổng bằng $\vec{0}=\frac{3}{2}\vec{0}$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án D của đề: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ lần lượt là các vectơ vị trí của $A,B,C,D,E$. Vì $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $EA,AB,BC,CD$ nên $\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{e}+\overrightarrow{a}}{2}$, $\overrightarrow{n}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$, $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$, $\overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{2}$. $R$ là trung điểm $MP$ nên $\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{m}+\overrightarrow{p}}{2}=\frac{\overrightarrow{e}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{4}$; $S$ là trung điểm $NQ$ nên $\overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{n}+\overrightarrow{q}}{2}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}$. Suy ra $\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{s}-\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{d}-\overrightarrow{e}}{4}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$. a) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{e})$, $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})$ nên $\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{e})=\overrightarrow{RS}$: đúng. b) $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ chứ không phải $\frac{1}{3}\overrightarrow{ED}$: sai. c) Vì $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ nên $RS\parallel ED$, do đó $RS$ không cắt $ED$: sai. d) Từ $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ suy ra $RS=\frac{1}{4}ED$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{e})$, $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})$, nên $\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{e})=\overrightarrow{RS}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$, không phải $\frac{1}{3}\overrightarrow{ED}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ nên $RS\parallel ED$, do đó $RS$ không cắt $ED$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ suy ra độ dài $RS=\frac{1}{4}ED$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: a) Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{CG}$, nên vế trái là độ dài không đổi $3CG$. Vế phải: $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$, nên điều kiện là $BM=3CG$, tức tập hợp $M$ là đường tròn tâm $B$ bán kính $R=3CG$ chứ không phải $R=CG$ → sai. b) $2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=2\cdot 3|\overrightarrow{MG}|=6MG$; và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$ ($I$ trung điểm $BC$) nên $3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=6MI$. Điều kiện $6MG=6MI⟺MG=MI$, tập hợp $M$ là đường trung trực của $GI$ → đúng. c) $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3MG=2028⟺MG=676$, không phải $626$ → sai. d) $3\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{CM}$. Với $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}$, mà $\overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{IB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, do đó vế phải $=3MI$. Điều kiện $3CM=3MI⟺CM=MI$, tập hợp $M$ là đường trung trực của $IC$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{CG}$ (không đổi) và $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$, nên điều kiện là $BM=3CG$: đường tròn tâm $B$ bán kính $3CG$, không phải $R=CG$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2\cdot 3MG=3\cdot 2MI⟺MG=MI$, nên $M$ thuộc đường trung trực của $GI$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3MG=2028⟺MG=676\ne 626$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{CM}$; $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MI}$ do $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Vậy $CM=MI$: đường trung trực của $IC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc O (tâm hình bình hành), đặt $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ thì $\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$.

a) Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$. Đúng.

b) $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AP}=-4\overrightarrow{OA}$; mặt khác $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{OA}\ne -4\overrightarrow{OA}$. Sai.

c) $\vec{P}=-\frac{1}{3}\vec{a}$, $\vec{N}=\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}$. Điểm trên đường thẳng BN: $\vec{b}+t\left(\frac{-\vec{a}-3\vec{b}}{2}\right)$. Cho bằng $-\frac{1}{3}\vec{a}$: hệ số của $\vec{b}$ cho $t=\frac{2}{3}$, hệ số của $\vec{a}$ cũng cho $t=\frac{2}{3}$. Vậy $P$ nằm trên $BN$, tức $B,P,N$ thẳng hàng → phát biểu 'không thẳng hàng' sai.

d) $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$; $\vec{M}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$, $\vec{N}=-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=-\vec{M}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, tức $MN$ đi qua $O$. Ba đường thẳng $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$3\overrightarrow{AP}=-4\overrightarrow{OA}$ còn $3\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{OA}$, hai vectơ không bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc $O$: $\vec{P}=-\frac{1}{3}\vec{a}$, $\vec{N}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}$; $\vec{P}=\vec{B}+\frac{2}{3}(\vec{N}-\vec{B})$ nên $B,P,N$ thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC$ và $BD$ cắt tại $O$; $\vec{N}=-\vec{M}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, ba đường thẳng đồng quy tại $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$, $\overrightarrow{BN}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}$, $\overrightarrow{CI}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$. Cộng lại: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CI}=\frac{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})}{2}=\vec{0}$. Vậy $\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CI}\right|=0$, khớp với đáp số đã cho (dữ kiện $IJ=\frac{5}{4}$ không cần dùng).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tại $A$: $\overrightarrow{F_2}$ theo chiều dương trục $Ox$, $\overrightarrow{F_1}$ hướng thẳng xuống dưới (độ lớn 12N), góc giữa $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_2}$ bằng $120^{\circ }$ (nên $\overrightarrow{F_3}$ hướng lên trên bên trái, tạo với trục $Ox$ góc $120^{\circ }$). Vì chất điểm cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$. Phân tích theo trục: $\overrightarrow{F_3}=F_3(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })=\left(-\frac{F_3}{2},\frac{F_3\sqrt{3}}{2}\right)$; $\overrightarrow{F_1}=(0,-12)$; $\overrightarrow{F_2}=(F_2,0)$. Phương trình hoành: $F_2-\frac{F_3}{2}=0$; phương trình tung: $-12+\frac{F_3\sqrt{3}}{2}=0\Rightarrow F_3=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}\approx 13,856\approx 13,9$ N. (Khi đó $F_2=4\sqrt{3}$ N.) Kết quả khớp với đáp số nguồn 13,9.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CA,AB$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $EF\parallel BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$, vì $EF\parallel BC$ và $E$ là trung điểm của $AC$ nên $I$ là trung điểm của $AD$ (đường thẳng qua trung điểm một cạnh song song với cạnh thứ hai đi qua trung điểm cạnh thứ ba). Suy ra $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, nên $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Với $\vec{u}=\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ và $\vec{v}=\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, ta có $\overrightarrow{AB}=2\vec{v}$, $\overrightarrow{AC}=2\vec{u}$, do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(2\vec{v}+2\vec{u})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$. Vậy $m=n=\frac{1}{2}$ và $m-n=0$, khớp với đáp số 0 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục Ox theo phương của lực ${\vec{F}}_1$. Hai lực ${\vec{F}}_3,{\vec{F}}_4$ có độ lớn 20 N, hợp với ${\vec{F}}_1$ các góc $45^{\circ }$ đối xứng nhau qua trục Ox nên thành phần vuông góc triệt tiêu, còn thành phần theo phương ${\vec{F}}_1$ là $2\cdot 20\cos 45^{\circ }=20\sqrt{2}$ (N). Để vật đứng lại, tổng các lực bằng $\vec{0}$: ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_3+{\vec{F}}_4+{\vec{F}}_2=\vec{0}$. Vì ${\vec{F}}_2$ ngược chiều ${\vec{F}}_1$ nên theo phương ngang: $F_1+20\sqrt{2}-F_2=0$. Mặt khác $F_2=2F_1$, suy ra $F_1=20\sqrt{2}$ và $F_2=40\sqrt{2}\approx 56,6$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tâm $O$ làm gốc: $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$. Gọi $\vec{i}=\overrightarrow{OI}$, $\vec{j}=\overrightarrow{OJ}$.

Từ $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{ID}=\vec{0}$:
$$3(\vec{a}-\vec{i})+2(-\vec{a}-\vec{i})-2(-\vec{b}-\vec{i})=\vec{0}$$
$$\Rightarrow (3-2)\vec{a}+2\vec{b}+(-3+2-2)\vec{i}=\vec{0}$$
$$\Rightarrow \vec{a}+2\vec{b}-3\vec{i}=\vec{0}\Rightarrow \vec{i}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}.$$

Từ $\overrightarrow{JA}-2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0}$:
$$(\vec{a}-\vec{j})-2(\vec{b}-\vec{j})+2(-\vec{a}-\vec{j})=\vec{0}$$
$$\Rightarrow (1-2)\vec{a}-2\vec{b}+(-1+2-2)\vec{j}=\vec{0}$$
$$\Rightarrow -\vec{a}-2\vec{b}-\vec{j}=\vec{0}\Rightarrow \vec{j}=-\vec{a}-2\vec{b}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{IJ}=\vec{j}-\vec{i}=(-\vec{a}-2\vec{b})-\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}=-\frac{4}{3}(\vec{a}+2\vec{b}),$$
và
$$\overrightarrow{IO}=\vec{0}-\vec{i}=-\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}.$$

Vậy $\overrightarrow{IJ}=4\overrightarrow{IO}$, tức $k=4$. Kết quả trùng với đáp số đã cho trên nguồn (Đáp số: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$, với gốc $B$ ta có $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}+3(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BI})=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.
Từ $\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\vec{0}$, với gốc $B$: $(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BJ})+2\overrightarrow{BJ}+3(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BJ})=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{6}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Do đó $\overrightarrow{BI}=\frac{6}{4}\overrightarrow{BJ}=1,5\overrightarrow{BJ}$, tức $k=1,5$. Kết quả trùng với đáp số đã cho (1,5).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CB}={\overrightarrow{CM}}^2\iff \overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CM}=0\iff \overrightarrow{CM}\cdot (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM})=0\iff \overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{BM}=0$. Suy ra $CM\perp BM$, tức $\widehat{CMB}=90^{\circ }$. Vậy tập hợp điểm $M$ nhìn đoạn $BC$ dưới góc vuông là đường tròn đường kính $BC$ (không tính $B,C$). Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.