Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ có 4 đỉnh. Một vectơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt, nên số vectơ khác vectơ-không là $4\cdot 3=12$ (mỗi đỉnh làm điểm đầu có 3 lựa chọn điểm cuối). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh 2. Tại đỉnh $A$, góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $60^{\circ }$, nên $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$ tạo với $\overrightarrow{AB}$ góc $120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cos 120^{\circ }=2\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, góc $A=60^{\circ }$. Đường chéo $AC$ đối diện góc $B=120^{\circ }$ nên $A{C}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }=3a^2$, suy ra $AC=a\sqrt{3}$. Vì $O$ là tâm hình thoi nên $O$ là trung điểm $AC$, do đó $|\overrightarrow{OA}|=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng nên $\vec{a}=m\vec{b}$ với $m<0$. Độ dài: $|\vec{a}|=|m||\vec{b}|\Rightarrow 5=|m|\cdot 15\Rightarrow |m|=\frac{1}{3}$. Kết hợp $m<0$ ta được $m=-\frac{1}{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vẽ: khối $m_1$ trên mặt nghiêng có ${\vec{N}}_1$ vuông góc mặt nghiêng, ${\vec{P}}_1$ dọc mặt nghiêng hướng xuống, ${\vec{T}}_1$ dọc mặt nghiêng hướng lên; khối $m_2$ treo thẳng đứng có ${\vec{T}}_2$ hướng lên và ${\vec{P}}_2$ hướng xuống. Hai vectơ ngược hướng phải song song, cùng độ dài (tỉ lệ) và chiều ngược nhau. Xét từng cặp: ${\vec{T}}_1$ và ${\vec{T}}_2$ không song song (một cái dọc mặt nghiêng, một cái thẳng đứng) → không ngược hướng; ${\vec{P}}_1$ và ${\vec{P}}_2$ cũng không song song; ${\vec{P}}_1$ và ${\vec{T}}_1$ cùng nằm dọc mặt nghiêng nhưng ${\vec{P}}_1$ hướng xuống còn ${\vec{T}}_1$ hướng lên → ngược hướng; ${\vec{P}}_1$ và ${\vec{T}}_2$ không song song. Vậy cặp vectơ ngược hướng là ${\vec{P}}_1$ và ${\vec{T}}_1$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với các điểm phân biệt $A,B,C,D$:
- A: $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$, không rút gọn về $\overrightarrow{AD}$.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}$, không bằng $\overrightarrow{AD}$.
- D: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}$, không bằng $\overrightarrow{AD}$.
Vậy đẳng thức đúng là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B(0;0)$, $C(1;0)$. Vì $\overrightarrow{BH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{HC}$ nên $BH=\frac{1}{4}BC$, do đó $H\left(\frac{1}{4};0\right)$ và $A\left(\frac{1}{4};h\right)$ với $h=AH>0$. Trọng tâm $G=\left(\frac{1/4+0+1}{3};\frac{h}{3}\right)=\left(\frac{5}{12};\frac{h}{3}\right)$. Điểm $M(x;0)$ với $0<x<1$. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MG}=(A-M)+(C-M)-(G-M)=A+C-G-M$. Tính $A+C-G=\left(\frac{1}{4}+1-\frac{5}{12};h-\frac{h}{3}\right)=\left(\frac{5}{6};\frac{2h}{3}\right)$. Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MG}=\left(\frac{5}{6}-x;\frac{2h}{3}\right)$, nên độ dài bình phương là ${\left(x-\frac{5}{6}\right)}^2+\frac{4h^2}{9}$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=\frac{5}{6}$ (thỏa $0<x<1$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Tính: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=120^2+120^2+2\cdot 120\cdot 120\cos 120^{\circ }=14400+14400-14400=14400$. Vậy $|\overrightarrow{F_3}|=120N$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}=\vec{0}$, vì $D$ nằm trên đoạn $AC$ nên $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$, suy ra $AD=2DC$ và $AD+DC=AC=9cm$, do đó $DC=3cm$, $AD=6cm$.

a) Vì $D$ nằm giữa $A$ và $C$ với $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$, theo công thức trung điểm khối (trọng tâm của hệ điểm với trọng số), ta có:
$$\overrightarrow{BD}=\frac{1\cdot \overrightarrow{BA}+2\cdot \overrightarrow{BC}}{1+2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$$

b) Với mọi điểm $M$, đặt $\overrightarrow{MD}$ làm vecto gốc. Ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}$. Khi đó:
$$M{A}^2+2M{C}^2={\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}\right|}^2+2{\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}\right|}^2$$
$$=3M{D}^2+2\overrightarrow{MD}\cdot \left(\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}\right)+D{A}^2+2D{C}^2.$$
Vì $\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ nên số hạng tích vô hướng triệt tiêu, còn $D{A}^2+2D{C}^2=6^2+2\cdot 3^2=36+18=54$. Do đó:
$$M{A}^2+2M{C}^2=3M{D}^2+54.$$
Điều kiện $M{A}^2+2M{C}^2=129$ trở thành $3M{D}^2+54=129\Rightarrow M{D}^2=25\Rightarrow MD=5cm$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $D$ bán kính $5cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BD$. Trong hình bình hành $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $M$ cũng là trung điểm của $AC$. Theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CM}$. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}$. Vậy $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với ba vectơ khác vectơ-không: (A) Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán nên $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ luôn đúng. (B) Vectơ-không là phần tử trung hòa của phép cộng nên $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ đúng. (C) Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp nên $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}=\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$ đúng. (D) Tích vô hướng $\vec{0}\cdot \vec{a}$ là một số (bằng $0$), không phải một vectơ, nên viết $\vec{0}\cdot \vec{a}=\vec{0}$ (đẳng thức giữa số và vectơ) là sai về bản chất; dạng đúng phải là $\vec{0}\cdot \vec{a}=0$. Vậy mệnh đề sai là D, phù hợp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\frac{a^2}{a\cdot 2a}=\frac{1}{2}\Rightarrow A=60^{\circ }$: đúng.
b) $AJ=\frac{3}{4}\cdot 2a=\frac{3a}{2}$; $B{J}^2=a^2+\frac{9a^2}{4}-2\cdot a\cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{7a^2}{4}\Rightarrow BJ=\frac{a\sqrt{7}}{2}$: đúng.
c) Với $x=\frac{1}{2}$: $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\ne \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$: sai.
d) Chọn $A$ làm gốc: $\overrightarrow{AI}=(1-x)\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Suy ra $\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BJ}=(2-x)\overrightarrow{AB}+(x-\frac{3}{2})\overrightarrow{AC}$. Với $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$: $|\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BJ}{|}^2=a^2\left[(2-x{)}^2+4(x-\frac{3}{2}{)}^2+2(2-x)(x-\frac{3}{2})\right]=a^2(3x^2-9x+7)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{3}{2}\notin (0;1)$, và trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến nên độ dài nhỏ nhất khi $x\to 1$, không phải $x=\frac{2}{3}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\Rightarrow A=60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AJ=\frac{3a}{2}$, $B{J}^2=a^2+\frac{9a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}=\frac{7a^2}{4}\Rightarrow BJ=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, không phải $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BJ}{|}^2=a^2(3x^2-9x+7)$ đạt cực tiểu tại $x=\frac{3}{2}\notin (0;1)$; trên $(0;1)$ hàm nghịch biến nên không đạt nhỏ nhất tại $x=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vật chuyển động ngược chiều nhau (vật 1 từ C đến D, vật 2 từ D đến C) nên hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1}$ và $\overrightarrow{v_2}$ ngược hướng, do đó $\overrightarrow{v_1}=k\overrightarrow{v_2}$ với $k<0$. Về độ lớn: $|k|=\frac{|\overrightarrow{v_1}|}{|\overrightarrow{v_2}|}=\frac{12}{5}=2,4$. Vậy $k=-\frac{12}{5}=-2,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác đều $ABC$, góc trong tại đỉnh $C$ bằng $60^0$, tức góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng $60^0$. Hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AC}$ lần lượt ngược hướng với $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CA}$, nên góc giữa chúng bằng $180^0-60^0=120^0$. Vậy $\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\right)=120^0$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0: $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$. Với $\vec{u}=(2;4)$ và $\vec{v}=(8;m)$, ta có $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\cdot 8+4\cdot m=16+4m$. Giải $16+4m=0\Rightarrow m=-4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của đoạn $BC$ nên $I$ nằm giữa $B$ và $C$ với $BI=IC$, hai vectơ $\overrightarrow{BI}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$. Do đó phương án A đúng. Phương án B, D sai vì hệ số khác 1; phương án C sai vì $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IC}$ (hai vectơ ngược hướng).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0), B(2a,0), D(3a cos60°, 3a sin60°) = (3a/2, 3√3a/2), C = B + AD = (7a/2, 3√3a/2). Từ AK = -2DK suy ra K chia AD theo tỉ số AK:KD = 2:1, nên K = (2/3)AD = (a, √3a).
a) BA·BC = (-AB)·(AD) = -AB·AD = -3a² ≠ AB·AD, nên sai.
b) AB·AD = 2a·3a·cos60° = 3a², đúng.
c) BK - BD = DK = (1/3)AD; KA = -AK = -(2/3)AD nên -½KA = (1/3)AD = DK. Vậy BK - BD = -½KA, đúng.
d) BK = K - B = (-a, √3a); AC = (7a/2, 3√3a/2). BK·AC = -7a²/2 + 9a²/2 = a², đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
BA·BC = (-AB)·AD = -AB·AD = -3a² ≠ AB·AD = 3a².
b) (AI giải đề cho tôi)
AB·AD = |AB||AD|cos60° = 2a·3a·(1/2) = 3a².
c) (AI giải đề cho tôi)
BK - BD = DK = (1/3)AD và -½KA = -½(-AK) = ½AK = (1/3)AD, hai vế bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(0,0), B(2a,0), K(a,√3a), C(7a/2, 3√3a/2): BK·AC = (-a)(7a/2) + (√3a)(3√3a/2) = -7a²/2 + 9a²/2 = a².

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$, do đó $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Theo hình vẽ, $\overrightarrow{F_3}$ đối chiều với tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Ta có $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=100^2+100^2+2\cdot 100\cdot 100\cos 60^{\circ }=30000$, nên $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=100\sqrt{3}\approx 173,2$ N. Vậy cường độ $\overrightarrow{F_3}\approx 173$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $\overrightarrow{F_2}$ theo chiều dương trục $Ox$, $\overrightarrow{F_1}$ hướng xuống dọc trục $Oy$ (vuông góc với $\overrightarrow{F_2}$ theo hình vẽ), độ lớn $F_1=20$ N. Lực $\overrightarrow{F_3}$ hợp với $\overrightarrow{F_2}$ góc $120^{\circ }$ và hướng lên-trái nên $\overrightarrow{F_3}=\left(-\frac{F_3}{2};\frac{F_3\sqrt{3}}{2}\right)$. Vì chất điểm cân bằng: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$. Chiếu theo $Oy$: $-20+\frac{F_3\sqrt{3}}{2}=0\Rightarrow F_3=\frac{40}{\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\approx 23,1$ N. (Chiếu theo $Ox$ cho $F_2=\frac{F_3}{2}=\frac{20}{\sqrt{3}}$ N, thỏa mãn.) Vậy độ lớn của $\overrightarrow{F_3}$ là $\frac{40\sqrt{3}}{3}\approx 23,1$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0)$, $B(4;0)$, $D(0;3)$, $C(4;3)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(4;3)$ và $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}=(4k;0)$ nên $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=(4k;-3)$. Hai đường thẳng $AC$ và $DM$ vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0$, tức $4\cdot 4k+3\cdot (-3)=16k-9=0$, suy ra $k=\frac{9}{16}$. Kiểm tra lại bằng vectơ: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DM}=k\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=k|\overrightarrow{AB}{|}^2+(k-1)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-|\overrightarrow{AD}{|}^2=16k-9=0$ (do $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$), cho cùng kết quả $k=\frac{9}{16}$. Vậy $k=\frac{9}{16}$.