Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $4BI=BG$ nên $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BG}$. Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ ta có $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\vec{b}+\vec{c}$. Do đó $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\vec{a}+\frac{1}{4}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=4\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=4\cdot AC\cdot \frac{1}{2}=2AC$. Theo đề $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6$ nên $2AC=6\Rightarrow AC=3$. Vậy độ dài $\overrightarrow{AC}$ bằng $3$, khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình la bàn: $\vec{a}$ hướng về phía Bắc-Đông-Bắc (NNE, khoảng 22,5°), $\vec{c}$ hướng về phía Tây-Tây-Nam (WSW, khoảng 247,5°). Hai vectơ này nằm trên cùng một đường thẳng qua tâm nên cùng phương (A đúng) và ngược hướng (B đúng). $\vec{b}$ hướng Đông-Đông-Nam (ESE, khoảng 112,5°), $\vec{d}$ hướng Tây-Tây-Bắc (WNW, khoảng 292,5°) nên cũng cùng phương (C đúng). Mệnh đề D khẳng định $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng hướng là sai vì chúng ngược hướng. Vậy mệnh đề sai là D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1202, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình la bàn 8 hướng: vectơ $\vec{a}$ nằm ở hướng NNE (khoảng $22,5^{\circ }$) và vectơ $\vec{c}$ nằm ở hướng SSW (khoảng $202,5^{\circ }$), hai hướng này lệch nhau đúng $180^{\circ }$ nên $\vec{a}$ và $\vec{c}$ nằm trên cùng một đường thẳng qua tâm nhưng chỉ về hai phía ngược nhau. Do đó: A đúng (cùng phương), B đúng (ngược hướng), D sai (không cùng hướng). Tương tự, $\vec{b}$ ở hướng SE ($135^{\circ }$) và $\vec{d}$ ở hướng NW ($315^{\circ }$) cũng lệch nhau $180^{\circ }$ nên C đúng (cùng phương). Mệnh đề sai là D, khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1201: D).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1201 (Phần II Câu 2: DDSD): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Kiểm tra d): với tọa độ $A=(0;0;0)$, $B=(a;0;0)$, $C=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A^{\prime }=(0;0;a\sqrt{2})$ ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\sqrt{2}\right)$, tích vô hướng bằng $\frac{3a^2}{2}$, độ dài mỗi vectơ bằng $a\sqrt{3}$, nên $\cos =\frac{1}{2}$, góc giữa hai vectơ bằng $60^{\circ }$ → Đúng. c) Sai vì $\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{3a^2}{4}\ne \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos \widehat{BAC}=4\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos 60^{\circ }=2|\overrightarrow{AC}|=6$, suy ra $|\overrightarrow{AC}|=3$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1201 (Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cùng độ lớn 50 N, hợp nhau góc 120°, nên tổng của chúng có độ lớn: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=\sqrt{50^2+50^2+2\cdot 50\cdot 50\cos 120^{\circ }}=\sqrt{2500}=50$ N, nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai lực này. Lực thứ ba $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn 60 N và vuông góc với mặt phẳng đó, nên vuông góc với $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Do đó: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{50^2+60^2}=\sqrt{6100}\approx 78,1$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các mặt là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$. Xét các đáp án: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ là vectơ đường chéo, khác $\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ (ngược chiều); $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ là vectơ cạnh bên, khác $\overrightarrow{AB}$. Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (cùng hướng, cùng độ dài). Do đó $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, tức mệnh đề $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ở phương án A là sai. Các mệnh đề còn lại đúng: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành); $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; và $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|=a$ (cùng độ dài cạnh lập phương).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{CD}$. Do đó: $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.$$ Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 9 được gạch chân C ở trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM}$ (vì M là trung điểm AC) và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}$ (vì N là trung điểm BD). Do I là trung điểm MN nên $\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\vec{0}$. Khi đó đẳng thức trở thành $$2(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})+(2k-2)\overrightarrow{IB}+(k-1)\overrightarrow{IC}=\vec{0}$$ $$\iff (k-1)(2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})=\vec{0}.$$ Vì B ≠ C nên $2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\ne \vec{0}$ (hai hệ số cùng dương, không triệt tiêu nhau). Vậy $k-1=0$, tức $k=1$. Thử lại với $k=1$: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IN}=\vec{0}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ (E, F, G, H lần lượt nằm trên A, B, C, D), ta có $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$ với các cạnh. Xét $\overrightarrow{HG}$: do $HG\parallel AB$ và cùng chiều (từ H đến G cùng hướng từ A đến B) nên $\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AB}$. Các đáp án khác: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ không xác định (không có điểm B'), $\overrightarrow{FE}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ (bằng $-\overrightarrow{AB}$), $\overrightarrow{CD}$ cũng ngược hướng (bằng $-\overrightarrow{AB}$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{x}\perp \vec{y}$ nên $\vec{x}\cdot \vec{y}=0$. Tính: $\vec{x}\cdot \vec{y}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 2-4+\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}=0$. Vậy $\vec{a}\perp \vec{b}$, góc giữa hai vectơ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Mặt $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ cũng là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. Các vecto khác: $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ là đường chéo mặt bên, $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AD}$ (ngược hướng), $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AD}$ (ngược hướng).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi khối lượng: $m=150\text{ gam}=0,15\text{ kg}$. Độ lớn lực hấp dẫn: $P=mg=0,15\times 9,8=1,47(N)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$). Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc ba điểm, vì $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$). Vậy mệnh đề đúng là B. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; D sai vì tổng bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ chứ không phải $\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$, suy ra A đúng; cũng từ đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ (C đúng) và với điểm B bất kỳ: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BG}$ (D đúng). Xét B: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\vec{0}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GB}\ne \vec{0}$ vì $B$ không trùng $G$. Vậy khẳng định B sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$, khi đó $O$ là trung điểm chung của $AC$ và $BD$. Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$. Vậy $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, đáp án A. Các phương án B, C, D sai vì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ với $M$ trung điểm $AB$, khác $2\overrightarrow{SN}$ với $N$ trung điểm $CD$; còn $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}$ nên C sai; tương tự $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{CA}$ còn $\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{CA}$ nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A đúng vì quy tắc ba vectơ đồng xuất tại $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (đường chéo khối hộp). B đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, cộng $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ được $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. C đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, cộng $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ được $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. D sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, mà $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình lưới ô vuông, vectơ $\vec{a}$ đi từ điểm đầu đến điểm cuối dài 2 ô theo phương chéo (lên phải), vectơ $\vec{b}$ cũng cùng hướng chéo lên phải nhưng dài 4 ô. Hai vectơ cùng phương cùng chiều và $|\vec{a}|=2$ ô, $|\vec{b}|=4$ ô nên $|\vec{a}|=\frac{1}{2}|\vec{b}|$. Vậy $\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}$, chọn đáp án A.