Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất đường phân giác trong: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$. Ta có $AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(3-2{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{26}$, $AC=\sqrt{(8-5{)}^2+(-3-3{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{49}=7$. Vậy $D$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $BD:DC=\sqrt{26}:7$, tức $\vec{D}=\frac{7\vec{B}+\sqrt{26}\vec{C}}{7+\sqrt{26}}$. Suy ra $a=\frac{7+8\sqrt{26}}{7+\sqrt{26}}$, $b=\frac{14-3\sqrt{26}}{7+\sqrt{26}}$, $c=\frac{7+2\sqrt{26}}{7+\sqrt{26}}$. Khi đó $a+2b+3c=\frac{(7+8\sqrt{26})+2(14-3\sqrt{26})+3(7+2\sqrt{26})}{7+\sqrt{26}}=\frac{56+8\sqrt{26}}{7+\sqrt{26}}=\frac{8(7+\sqrt{26})}{7+\sqrt{26}}=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(4;0;0),C(4;4;0),D(0;4;0)$, tâm $O(2;2;0)$, $S(2;2;h)$. Vì $△SBD$ vuông cân tại $S$ nên $S{B}^2+S{D}^2=B{D}^2=32\Rightarrow SB=4$, suy ra $8+h^2=16\Rightarrow h=2\sqrt{2}$, tức $S(2;2;2\sqrt{2})$.

$SO=2\sqrt{2}$, $SI=2IO$ nên $I$ chia $SO$ theo tỉ số $\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}$ từ $S$: $I=\left(2;2;\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(SAD)$ đi qua $A$, có pháp tuyến $\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AS}=(8\sqrt{2};0;-8)$, nên phương trình: $\sqrt{2}x-z=0$.

Đường thẳng $IB$: $P=B+t(\overrightarrow{BI})=(4-2t;2t;\frac{4\sqrt{2}}{3}t)$. Thay vào mặt phẳng: $\sqrt{2}(4-2t)=\frac{4\sqrt{2}}{3}t\Rightarrow 4-2t=\frac{4t}{3}\Rightarrow t=\frac{6}{5}$.

Vậy $M=\left(\frac{8}{5};\frac{12}{5};\frac{8\sqrt{2}}{5}\right)$.

$M{D}^2={\left(\frac{8}{5}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}-4\right)}^2+{\left(\frac{8\sqrt{2}}{5}\right)}^2=\frac{64+64+128}{25}=\frac{256}{25}$

Suy ra $MD=\frac{16}{5}=3,2$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(-5;-2;1)$. Vì $AD$ là đáy nên $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{BC}$, suy ra $D=A+t\overrightarrow{BC}=(-2-5t;3-2t;1+t)$.

Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chiều cao giữa hai đáy $AD$ và $BC$ là khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng qua $A$ song song $BC$, bằng $h=\frac{2S}{|BC|}$.

Diện tích hình thang: $\frac{1}{2}(|AD|+|BC|)h=\frac{1}{2}(|t|+1)|BC|\cdot \frac{2S}{|BC|}=(|t|+1)S=3S$, suy ra $|t|=2$, tức $t=\pm 2$.

Với $t=2$: $D=(-12;-1;3)$, $m+n+p=-10$. Với $t=-2$: $D=(8;7;-1)$, $m+n+p=14$ (không có trong đáp án).

Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(1;-3;-6)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;3;-4)$, tích vô hướng $=-2-9+24=13\ne -35$ → Sai.
b) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}\Rightarrow \vec{A}+\vec{B}-3\vec{C}+\vec{D}=\vec{0}\Rightarrow D=-A-B+3C=(-6;12;-6)$, nên $a+b+c=0\ne 4$ → Sai.
c) $H=A+t\overrightarrow{AC}$ với $(\overrightarrow{BH})\cdot \overrightarrow{AC}=0$. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=13$, $|\overrightarrow{AC}{|}^2=29$, nên $t=\frac{13}{29}$, $H=\left(\frac{3}{29};\frac{39}{29};\frac{64}{29}\right)$. Khi đó $m+2n+p=\frac{3+78+64}{29}=\frac{145}{29}=5$ → Đúng.
d) Với $M(x;y;0)$: $P=(x-1{)}^2+y^2+16+(x-2{)}^2+(y+3{)}^2+4-(x+1{)}^2-(y-3{)}^2=x^2+y^2-8x+12y+24=(x-4{)}^2+(y+6{)}^2-28\ge -28$. Giá trị nhỏ nhất là $-28\ne 41$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\cdot (-2)+(-3)\cdot 3+(-6)\cdot (-4)=13\ne -35$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ suy ra $D=-A-B+3C=(-6;12;-6)$, nên $a+b+c=0\ne 4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$H=A+\frac{13}{29}\overrightarrow{AC}=\left(\frac{3}{29};\frac{39}{29};\frac{64}{29}\right)$, nên $m+2n+p=\frac{145}{29}=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=(x-4{)}^2+(y+6{)}^2-28\ge -28$, min bằng $-28\ne 41$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OA}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{OB}=(a;b;0)$, $\overrightarrow{OC}=(0;0;c)$.

1) $AB=\sqrt{10}$: $(a-2{)}^2+b^2=10$.

2) $\widehat{AOB}=45^{\circ }$: $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2a=|OA||OB|\cos 45^{\circ }=2\sqrt{a^2+b^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $2a^2=a^2+b^2\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=b$ (vì $a,b>0$).

Thay vào: $(a-2{)}^2+a^2=10\Rightarrow 2a^2-4a-6=0\Rightarrow a^2-2a-3=0\Rightarrow a=3$ (nhận giá trị dương). Vậy $B(3;3;0)$.

3) Thể tích tứ diện $OABC$: $V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC})\right|$. Ta có $\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC}=(3c;-3c;0)$, nên $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC})=6c$, do đó $V=c=1\Rightarrow c=1$.

4) $BC=\sqrt{(3-0{)}^2+(3-0{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{19}\approx 4.36$.

(AI giải đề cho tôi)
Gắn tọa độ: A(0;0;0), B(3;0;0), D(0;3;0), A'(0;0;3), suy ra B'(3;0;3), C(3;3;0), D'(0;3;3).
a) Vì ABCD là hình bình hành nên DA + DC = DB; lại DB + DD' = DB' (quy tắc hình hộp), nên DA + DC + DD' = DB'. Đúng.
b) B' có hoành độ 3 (trên cạnh B'B với B(3;0;0)), tung độ 0, cao độ 3 nên B'(3;0;3). Đúng.
c) M trên B'D với B'M = (1/3)B'D: M = B' + (1/3)(D − B') = (3;0;3) + (1/3)(−3;3;−3) = (2;1;2). Hình chiếu của M lên (Oxy) là M'(2;1;0), không phải (1;1;0). Sai.
d) AM = (2;1;2), trong khi (2/3)AB + (1/3)AD + AA' = (2;1;3) ≠ AM. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
DA + DC = DB (hình bình hành ABCD), DB + DD' = DB' (quy tắc hình hộp), nên đẳng thức đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(3;0;0), A'(0;0;3) nên B'(3;0;3). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
M = B' + (1/3)(D − B') = (2;1;2), hình chiếu lên (Oxy) là M'(2;1;0) ≠ (1;1;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
M(2;1;2) nên AM = (2;1;2), còn (2/3)AB + (1/3)AD + AA' = (2;1;3) ≠ AM. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên.
a) Flycam 1: 250 m về nam (x=250), 180 m về đông (y=180), cao 60 m → A(250;180;60). Đúng.
b) Flycam 2: 150 m về bắc (x=-150), 200 m về tây (y=-200), cao 70 m, lên thêm 30 m → B'(-150;-200;100), không phải (150;-200;100). Sai.
c) AB = (400;380;10) (so sánh A với B(-150;-200;70)), AB² = 160000+144400+100 = 304500, AB ≈ 551,8 m. Đúng.
d) D nằm trên trục Ox: D(d;0;0). DA² = DB'²: (d-250)²+180²+60² = (d+150)²+200²+100² ⟹ -500d+98500 = 300d+72500 ⟹ d = 32,5. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
250 m về nam → x=250; 180 m về đông → y=180; cao 60 m → z=60. A(250;180;60).
b) (AI giải đề cho tôi)
Bắc → x=-150, tây → y=-200, cao 70+30=100 → B'(-150;-200;100).
c) (AI giải đề cho tôi)
AB² = 400²+380²+(-10)² = 304500, AB ≈ 551,8 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
D(d;0;0), giải DA²=DB'² được d=32,5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm hình vuông là trung điểm BD: $I=\left(\frac{3-5}{2};\frac{0-4}{2};\frac{8+0}{2}\right)=(-1;-2;4)$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $I$ cũng là trung điểm $AC$ và hai đường chéo vuông góc: $AC\perp BD$, đồng thời $IA=IB=\frac{BD}{2}$.

$\overrightarrow{BD}=(-8;-4;-8)$ nên $BD=\sqrt{64+16+64}=12\Rightarrow IA=6$.

Vì $I$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{IA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$... cụ thể $A=2I-C$, do đó $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IC}$ và $\overrightarrow{IA}\perp \overrightarrow{BD}$.

Gọi $\overrightarrow{IA}=(a+1;b+2;-4)$ (vì $A_z=0$, $I_z=4$). Điều kiện:
- $|\overrightarrow{IA}|=6$: $(a+1{)}^2+(b+2{)}^2+16=36\Rightarrow (a+1{)}^2+(b+2{)}^2=20$.
- $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$: $-8(a+1)-4(b+2)+32=0\Rightarrow 2a+b=4$.

Thay $b=4-2a$: $(a+1{)}^2+(6-2a{)}^2=20\Rightarrow 5a^2-22a+17=0\Rightarrow a=1$ hoặc $a=\frac{17}{5}$. Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a=1$, suy ra $b=2$.

Kiểm tra: $A(1;2;0)$, $\overrightarrow{IA}=(2;4;-4)$, $|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{4+16+16}=6$ ✓, $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{BD}=-16-16+32=0$ ✓. Khi đó $C=2I-A=(-3;-6;8)$ và $ABCD$ là hình vuông.

Vậy $a+b=1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ: $B(0;0;0)$, $C(2;0;0)$, $A(1;\sqrt{3};0)$, $C^{\prime }(2;0;h)$. Khi đó $M(1;0;0)$ nên $\overrightarrow{AM}=(0;-\sqrt{3};0)$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(2;0;h)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=0\cdot 2+(-\sqrt{3})\cdot 0+0\cdot h=0$, nên hai vectơ vuông góc, góc giữa chúng bằng $90^0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: $G=\left(\frac{17}{4};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, $G^{\prime }=\left(4;0;\frac{5}{3}\right)$. a) Sai: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=4\overrightarrow{AG}$, không bằng $4\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$ (vì $4\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=4\overrightarrow{G^{\prime }}-4\overrightarrow{G}=\overrightarrow{G^{\prime }}-\overrightarrow{A}$ chỉ khi $3\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=\overrightarrow{A{G}^{\prime }}$, vô lý). b) Đúng: với $G$ trọng tâm tứ diện, $4\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$. c) Sai: $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\overrightarrow{G^{\prime }}-\overrightarrow{G}=\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, thành phần $y$ là $-\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{1}{2}$. d) Sai: $M\in (Oyz)$, $|MA-MB|=|MA-M{B}^{\prime }|$ với $B^{\prime }$ đối xứng $B$ qua $(Oyz)$: $B^{\prime }(-9;-2;3)$. Giá trị lớn nhất bằng $A{B}^{\prime }$ khi $M$ là giao điểm của $A{B}^{\prime }$ với $(Oyz)$. Đường thẳng $A{B}^{\prime }$: $(5-14t;2-4t;1+2t)$, $x=0\Rightarrow t=\frac{5}{14}$, suy ra $M=\left(0;\frac{4}{7};\frac{12}{7}\right)\ne \left(0;7;-\frac{3}{2}\right)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=4\overrightarrow{AG}$, không bằng $4\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $G$ trọng tâm tứ diện: $4\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, khác đề bài ở thành phần $y$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lấy $B^{\prime }(-9;-2;3)$ đối xứng $B$ qua $(Oyz)$, max đạt tại giao $A{B}^{\prime }$ với $(Oyz)$: $M=\left(0;\frac{4}{7};\frac{12}{7}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng Nam, Oy hướng Đông, Oz hướng lên. a) Flycam thứ nhất: 3 m Nam, 2 m Đông, cao 5 m nên A(3;2;5); flycam thứ hai: 6 m Bắc (x=-6), 6 m Tây (y=-6), cao 5 m nên B(-6;-6;5). Đúng. b) Đối xứng qua (Oxy) đổi dấu z: A'(3;2;-5). Đúng. c) M thuộc (Oxy) nên phải có z=0, nhưng M(-9;-8;10) có z=10, mâu thuẫn. Thực tế đường thẳng A'B có phương trình (x;y;z)=(3;2;-5)+t(-9;-8;10); z=0 khi t=1/2, khi đó M(-3/2;-2;0). Sai. d) Gọi M(x;y;0) trên mặt đất, MA+MB nhỏ nhất khi M là giao của A'B' với (Oxy) với B'(-6;-6;-5) đối xứng của B qua (Oxy); giá trị nhỏ nhất bằng AB' = √(9²+8²+10²)=√245=7√5. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
A(3;2;5) và B(-6;-6;5) theo cách chọn trục đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua (Oxy): A'(3;2;-5).
c) (AI giải đề cho tôi)
M thuộc (Oxy) nên z=0; điểm đúng là M(-3/2;-2;0), không phải M(-9;-8;10).
d) (AI giải đề cho tôi)
MA+MB min = AB' với B'(-6;-6;-5) là đối xứng của B qua (Oxy): √(81+64+100)=7√5.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{v}$, nên $B^{\prime }=B+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $D^{\prime }=D+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }}=\vec{B}+\vec{D}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{B}+\vec{D}=\vec{A}+\vec{C}$, do đó $\overrightarrow{B^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }}=\vec{A}+\vec{C}+2(\overrightarrow{A^{\prime }}-\vec{A})=\vec{C}-\vec{A}+2\overrightarrow{A^{\prime }}$, tức $\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{B^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }}-\vec{C}+\vec{A}}{2}$. Thay tọa độ: $a=\frac{-2+4-5+(-3)}{2}=-3$, $b=\frac{1+5-2+2}{2}=3$, $c=\frac{1+5-1+1}{2}=3$. Vậy $a^2+b^2+c^2=9+9+9=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $G=\left(\frac{17}{4};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, $G^{\prime }=(4;0;\frac{5}{3})$. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}-3\vec{A}=(-3;-6;2)$. a) $4\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=4(G^{\prime }-G)=(-1;-2;\frac{2}{3})\ne (-3;-6;2)$ nên sai. b) $4\overrightarrow{AG}=4(G-A)=(-3;-6;2)$ nên đúng. c) $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=G^{\prime }-G=\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, đề ghi $\frac{1}{2}$ ở tung độ nên sai. d) Lấy $B^{\prime }$ đối xứng $B$ qua $(Oyz)$: $B^{\prime }=(-9;-2;3)$; $|MA-MB|\le A{B}^{\prime }=\sqrt{14^2+4^2+(-2{)}^2}=6\sqrt{6}$, dấu bằng khi $M$ là giao điểm của $A{B}^{\prime }$ với $(Oyz)$. Đường thẳng: $(5-14t;2-4t;1+2t)$, $x=0\Rightarrow t=\frac{5}{14}\Rightarrow M=\left(0;\frac{4}{7};\frac{12}{7}\right)\ne \left(0;7;-\frac{3}{2}\right)$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$4\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=(-1;-2;\frac{2}{3})\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(-3;-6;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{17}{4};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, $4\overrightarrow{AG}=(-3;-6;2)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, tung độ phải là $-\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cần tìm là giao của $A{B}^{\prime }$ ($B^{\prime }=(-9;-2;3)$ đối xứng $B$ qua $(Oyz)$) với $(Oyz)$: $M=\left(0;\frac{4}{7};\frac{12}{7}\right)$, giá trị lớn nhất $6\sqrt{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{DA}=(-1;5;2)$, $\overrightarrow{DB}=(-1;6;1)$. Tích vô hướng $=1+30+2=33$, $|DA|=\sqrt{30}$, $|DB|=\sqrt{38}$, nên $\cos \widehat{ADB}=\frac{33}{\sqrt{1140}}\approx 0,9774\Rightarrow \widehat{ADB}\approx 12,2^{\circ }\ne 78^{\circ }$. Sai.

b) $AC=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{6}\approx 2,45km\ne 4km$. Sai.

c) $\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-1;-2)$, $\overrightarrow{AD}=(1;-5;-2)$. Hỗn tạp $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=0\cdot (2-10)-1\cdot (-2+2)+(-1)\cdot (-5+1)=4\ne 0$, ba vectơ không đồng phẳng nên bốn vệ tinh không cùng nằm trên một mặt phẳng. Sai.

d) Với $c=1$, $M(a;b;1)$: $A{M}^2=a^2+(b-4{)}^2+16=25\Rightarrow a^2+(b-4{)}^2=9$; $B{M}^2=a^2+(b-5{)}^2+9=25\Rightarrow a^2+(b-5{)}^2=16$. Trừ: $(b-5{)}^2-(b-4{)}^2=7\Rightarrow -(2b-9)=7\Rightarrow b=1$, suy ra $a^2+9=9\Rightarrow a=0$, tức $M(0;1;1)$. Kiểm tra: $C{M}^2=1+4+4=9\Rightarrow CM=3km$; $D{M}^2=1+4+4=9\Rightarrow DM=3km$. Thỏa mãn. Đúng.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{DA}=(-1;5;2)$, $\overrightarrow{DB}=(-1;6;1)$, $\cos \widehat{ADB}=\frac{33}{\sqrt{1140}}\approx 0,9774\Rightarrow \widehat{ADB}\approx 12,2^{\circ }\ne 78^{\circ }$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AC=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\approx 2,45km\ne 4km$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hỗn tạp $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=4\ne 0$ nên ba vectơ không đồng phẳng, bốn vệ tinh không cùng nằm trên một mặt phẳng. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $c=1$, giải $AM=BM=5$ được $M(0;1;1)$; kiểm tra $CM=DM=3km$ thỏa mãn. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sum \overrightarrow{M{A}_i}=4\overrightarrow{MG}$ với $G$ là trọng tâm của $A,B,C,D$. Tọa độ $G$: $x_G=(2+0+3+3)/4=2$, $y_G=(-3+4+0+3)/4=1$, $z_G=(7+1+5+3)/4=4$, tức $G(2;1;4)$. Biểu thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=4MG$ nhỏ nhất khi $MG$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên mặt phẳng $(Oyz)$: $M(0;1;4)$. Vậy $a+b+c=0+1+4=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{AB}=(1;1;1)$, $\overrightarrow{AD}=(0;-1;0)$, nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(1;0;1)$. Đỉnh $C=B+D-A=(2;0;2)$. Vì $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=(3;5;-6)-(1;0;1)=(2;5;-7)$. Suy ra $A^{\prime }=A+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(1;0;1)+(2;5;-7)=(3;5;-6)$. Kiểm tra: $C^{\prime }=C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;0;2)+(2;5;-7)=(4;5;-5)$ đúng với đề bài. Vậy $(a;b;c)=(3;5;-6)$ và $abc=3\cdot 5\cdot (-6)=-90$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh tứ diện đều là $a$. Đặt hệ tọa độ: $C(0;0;0)$, $D(a;0;0)$, $M(a/2;0;0)$, $A(a/2;a\sqrt{3}/2;0)$ (tam giác $ACD$ đều), và $B(a/2;a/(2\sqrt{3});a\sqrt{2/3})$ (vì $AB=BC=BD=a$). Khi đó $\overrightarrow{MA}=(0;a\sqrt{3}/2;0)$ nên $|\overrightarrow{MA}|=a\sqrt{3}/2$ (đường trung tuyến tam giác đều), $\overrightarrow{BC}=(-a/2;-a/(2\sqrt{3});-a\sqrt{2/3})$ nên $|\overrightarrow{BC}|=a$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{BC}=0+\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)+0=-\frac{a^2}{4}$. Vậy $\cos (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{BC})=\frac{-a^2/4}{a\cdot a\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$. Đáp án A.