Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương cạnh 3: A(0;0;0), B(3;0;0), D(0;3;0), A'(0;0;3) nên C(3;3;0), B'(3;0;3), C'(3;3;3), P trung điểm B'C' là P(3; 3/2; 3).
a) Sai: C(3;3;0) chứ không phải (3;3;3).
b) Trọng tâm tam giác PCD: x=(3+3+0)/3=2, y=(3/2+3+3)/3=5/2, z=(3+0+0)/3=1, tức (2; 5/2; 1) → Đúng.
c) Với G trọng tâm tam giác PCD thì KP+KC+KD = 3·KG, nên |KP+KC+KD| = 3·KG. K thuộc (Oxz) nên min KG = khoảng cách từ G(2; 5/2; 1) đến mặt phẳng y=0 bằng 5/2. Vậy giá trị nhỏ nhất là 3·(5/2) = 15/2 ≠ 5/2 → Sai.
d) AP = (3; 3/2; 3), BC' = (0; 3; 3). cos(AP, BC') = (0 + 9/2 + 9)/(√(9+9/4+9)·√18) = (27/2)/((9/2)·3√2) = (27/2)/(27√2/2) = 1/√2, nên góc bằng 45° ≠ 60° → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(3;3;0) vì C nằm trong mặt phẳng z=0, không phải (3;3;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
P(3; 3/2; 3), C(3;3;0), D(0;3;0). Trọng tâm: x=(3+3+0)/3=2, y=(3/2+3+3)/3=5/2, z=(3+0+0)/3=1 → (2; 5/2; 1). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
KP+KC+KD = 3·KG với G(2; 5/2; 1) trọng tâm tam giác PCD. K thuộc (Oxz) nên min KG = khoảng cách từ G đến mặt phẳng y=0 bằng 5/2. Vậy min |KP+KC+KD| = 3·(5/2) = 15/2, không phải 5/2 → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(AP, BC') = 1/√2 nên góc bằng 45°, không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $B=(0,0,0)$, $C=(2,0,0)$, $D=(1,\sqrt{3},0)$, $A=(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3})$ (tứ diện đều cạnh 2). Tam giác $BCD$ đều nên trực tâm trùng trọng tâm: $G=(1,\frac{\sqrt{3}}{3},0)$. Trung điểm: $E=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{3})$, $F=(1,0,0)$, $M=(1,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3})$. Suy ra $\overrightarrow{GE}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{3})$, $\overrightarrow{MF}=(0,-\frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3})$. Tích vô hướng: $0+\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$. Độ dài: $|\overrightarrow{GE}{|}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{2}{3}=1$, $|\overrightarrow{MF}{|}^2=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=2$. Vậy $\cos (\overrightarrow{GE},\overrightarrow{MF})=\frac{-1/3}{1\cdot \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $O$ là gốc tọa độ, $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ đôi một vuông góc theo các góc đã cho: $A=(1;0;0)$, $B=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C=(0;0;1)$. Vì $AM=2MO$ nên $M$ chia $OA$ theo tỉ số $\frac{1}{3}$: $M=\left(\frac{1}{3};0;0\right)$. Trung điểm $N$ của $BC$: $N=\left(\frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{4};\frac{1}{2}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{1}{12};\frac{\sqrt{3}}{4};\frac{1}{2}\right)$, nên $M{N}^2=\frac{1}{144}+\frac{3}{16}+\frac{1}{4}=\frac{1+27+36}{144}=\frac{64}{144}=\frac{4}{9}$, do đó $MN=\frac{2}{3}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $C(2;0;0)$, $D(1;\sqrt{3};0)$, tam giác $BCD$ đều cạnh 2 nên trực tâm $G$ trùng trọng tâm $G(1;\frac{\sqrt{3}}{3};0)$. Đỉnh $A$ nằm trên đường thẳng qua trọng tâm vuông góc mặt phẳng $(BCD)$: $A(1;\frac{\sqrt{3}}{3};h)$ với $h^2=4-1-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$, tức $h=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Suy ra $E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3})$, $F(1;0;0)$, $M(1;\frac{2\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{6}}{3})$.

a) $\overrightarrow{GE}=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3})$, $\overrightarrow{MF}=(0;-\frac{2\sqrt{3}}{3};-\frac{\sqrt{6}}{3})$. Tích vô hướng: $0+\frac{2\cdot 3}{18}-\frac{6}{9}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}\ne -\frac{1}{4}$. Sai.

b) $MF=\sqrt{0+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}=\sqrt{2}$. Đúng.

c) Với gốc $A$: $\overrightarrow{GE}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}-\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD})$. Đúng.

d) $|GE|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{2}{3}}=1$, $|MF|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{GE}\cdot \overrightarrow{MF}|=\frac{1}{3}$, nên $\cos \alpha =\frac{1/3}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}\ne \frac{\sqrt{2}}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ được $\overrightarrow{GE}\cdot \overrightarrow{MF}=-\frac{1}{3}$, không bằng $-\frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MF=\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}=\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GE}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}-\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD})$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{GE}\cdot \overrightarrow{MF}|}{|GE||MF|}=\frac{1/3}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}\ne \frac{\sqrt{2}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: C(3;3;0), B'(3;0;3), C'(3;3;3), D'(0;3;3), P trung điểm B'C' nên P(3; 3/2; 3).
a) AP→ = (3; 3/2; 3), BC'→ = (0; 3; 3). cos = |0 + 9/2 + 9| / (√(81/4)·√18) = (27/2)/((9/2)·3√2) = 1/√2 ⇒ góc bằng 45°, không phải 60°. Sai.
b) Trọng tâm tam giác PCD: ((3+3+0)/3; (3/2+3+3)/3; (3+0+0)/3) = (2; 5/2; 1). Đúng.
c) KP→+KC→+KD→ = 3K→ − (P→+C→+D→) = (3x−6; −15/2; 3z−3) với K(x;0;z). Giá trị nhỏ nhất = 15/2 (khi x=2, z=1), không phải 5/2. Sai.
d) M trên BD: M(3−3t; 3t; 0); N trên AD': N(0; 3s; 3s). Điều kiện AN = DM ⇒ 3s√2 = 3t√2 ⇒ s = t. MN→ = (3−3t; 0; −3t), MN² = 9(1−t)² + 9t² = 9(2t²−2t+1), nhỏ nhất tại t = 1/2 với MN = 3√2/2, không phải √2. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos(AP→, BC'→) = 1/√2 nên góc bằng 45°, không phải 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác PCD với P(3;3/2;3), C(3;3;0), D(0;3;0) là (2; 5/2; 1).
c) (AI giải đề cho tôi)
KP→+KC→+KD→ = (3x−6; −15/2; 3z−3), giá trị nhỏ nhất bằng 15/2, không phải 5/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với s = t, MN² = 9(2t²−2t+1) đạt min 9/2 tại t = 1/2, nên MN min = 3√2/2, không phải √2.

(AI giải đề cho tôi)
IN vuông góc với OM (trục Oz) nên vecto IN có thành phần z bằng 0: (c-6)=0, suy ra c=6. Diện tích tam giác IMO: OM=(0;0;4), OI=(a;b;6), OM×OI=(-4b;4a;0), S=½·4√(a²+b²)=2√(a²+b²)=8 nên a²+b²=16, tức I nằm trên đường tròn tâm O bán kính 4 trong mặt phẳng z=6. IN²=(a-3/2)²+(b-2)², lớn nhất khi I nằm trên tia từ O qua tâm (3/2;2), kéo dài ra đường tròn: I=4·(3/2;2)/(5/2)=(12/5;16/5). Vậy a=12/5, b=16/5, c=6, khi đó 5a+5b+c=12+16+6=34.

(AI giải đề cho tôi)
Đèn cân bằng nên tổng 4 lực căng cân bằng trọng lực P = mg = 5·10 = 50 N. Gọi O là tâm ABCD, SO ⊥ (ABCD). Vì S.ABCD đều và ASC = 60° nên góc SAC = 30°, suy ra góc giữa SA và phương thẳng đứng SO là 90° − 30° = 60°. Thành phần thẳng đứng của mỗi lực căng T là T·cos60°. Cân bằng: 4T·cos60° = 50 ⟹ 4T·(1/2) = 50 ⟹ T = 25 N. a) Sai vì T = 25 N ≠ 25√3/2 N. b) Sai vì S không thuộc mặt phẳng (ABCD) nên 4 vectơ SA, SB, SC, SD không đồng phẳng. c) Đúng vì |P| = mg = 5·10 = 50 N. d) Đúng vì hình chóp tứ giác đều có SA = SB = SC = SD. Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 102 câu 14: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm ABCD. Vì ASC = 60° nên góc SAC = 30°, góc giữa SA và SO là 60°. Cân bằng thẳng đứng: 4T·cos60° = mg = 50 ⟹ T = 25 N, không bằng 25√3/2 N.
b) (AI giải đề cho tôi)
S không thuộc mặt phẳng chứa A, B, C, D nên bốn vectơ SA, SB, SC, SD không đồng phẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
|P| = m·g = 5·10 = 50 N.
d) (AI giải đề cho tôi)
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên các cạnh bên bằng nhau: |SA| = |SB| = |SC| = |SD|.

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 101, câu 13: SDSD)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai lực trong mặt phẳng là $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ với $|\overrightarrow{F_1}|=25$ N, $|\overrightarrow{F_2}|=12$ N, góc giữa chúng $100^{\circ }$. Hợp lực của hai lực này: $$|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=25^2+12^2+2\cdot 25\cdot 12\cos 100^{\circ }=625+144+600\cos 100^{\circ }\approx 769-104,19=664,81.$$ Lực thứ ba $|\overrightarrow{F_3}|=4$ N vuông góc với mặt phẳng chứa hai lực nên vuông góc với $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Do đó hợp lực ba lực: $$F=\sqrt{664,81+4^2}=\sqrt{680,81}\approx 26,09\approx 26,1\text{ N}.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn 26,1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: O(0;0;0), A(4;0;0), B(4;5;0), C(0;5;0), E(0;0;3), F(4;0;3), G(4;5;3), H(0;5;3), P(2;0;4). Hai mái nhà là hình chữ nhật nên đường đỉnh mái qua P song song với trục $Oy$; đỉnh mái Q nằm trên mặt phẳng $y=5$ (mặt sau nhà), cùng độ cao với P nên Q(2;5;4). Khi đó $\overrightarrow{FQ}=(2-4;5-0;4-3)=(-2;5;1)$ và $\overrightarrow{EQ}=(2-0;5-0;4-3)=(2;5;1)$. Tích vô hướng: $$\overrightarrow{FQ}\cdot \overrightarrow{EQ}=(-2)(2)+5\cdot 5+1\cdot 1=-4+25+1=22.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn (22).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$. Vì $AM=2BM$ nên $AM=\frac{2}{3}AB$, suy ra $M\left(\frac{2a}{3};0;0\right)$.

a) $\overrightarrow{D^{\prime }M}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }M}=\overrightarrow{DA}+(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AM})=-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ → đúng.

b) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0;-a;a)$. Tích vô hướng $=-a^2$, hai vecto cùng độ dài $a\sqrt{2}$ nên $\cos =-\frac{1}{\sqrt{2}}$, góc giữa hai vecto bằng $135^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → sai.

c) $\overrightarrow{D^{\prime }M}=\left(\frac{2a}{3};-a;-a\right)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(-a;0;a)$. Tích vô hướng $=0+0-a^2=-a^2\ne \frac{a^2}{3}$ → sai.

d) $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a;0;a)$, $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(0;a;a)-(a;a;0)=(-a;0;a)$. Hai vecto bằng nhau → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
D'M = D'A' + A'M = DA + (A'A + AM) = -AD - AA' + (2/3)AB, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
cos(AC, DA') = -1/√2 nên góc bằng 135°, không phải 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
D'M·AB' = -a², không bằng a²/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
BA' = CD' = (-a; 0; a).

(AI giải đề cho tôi)
$A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;6;0)$, $A^{\prime }(0;0;8)$, $C(2;6;0)$, $C^{\prime }(2;6;8)$, $D^{\prime }(0;6;8)$. a) $\overrightarrow{AB}=(2;0;0)$ đúng. b) Trọng tâm tam giác $D^{\prime }BC$: $G=\left(\frac{0+2+2}{3};\frac{6+0+6}{3};\frac{8+0+0}{3}\right)=\left(\frac{4}{3};4;\frac{8}{3}\right)\ne (2;-1;3)$ nên sai. c) $\overrightarrow{BC}=(0;6;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;6;-8)$, $\cos =\frac{36}{6\cdot 10}=\frac{3}{5}\ne \frac{6\sqrt{37}}{37}$ nên sai. d) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;6;8)$, $M=\left(\frac{2}{3};2;\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên $M$, $A$, $C^{\prime }$ thẳng hàng, đúng. Khớp đáp án DSSD của mã đề 311.
a) $B(2;0;0)$, $A(0;0;0)$ nên $\overrightarrow{AB}=(2;0;0)$.
b) $G=(D^{\prime }+B+C)/3=\left(\frac{4}{3};4;\frac{8}{3}\right)\ne (2;-1;3)$.
c) $\overrightarrow{BC}=(0;6;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;6;-8)$, $\cos =\frac{36}{6\cdot 10}=\frac{3}{5}$.
d) $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{2}{3};2;\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{3}(2;6;8)=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, nên thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(0;0;10)$ vì $AO=10m$ trên trục $Oz$. Điểm $B$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$ với $OB=15m$ và góc $\widehat{BOH}=30^{\circ }$ với $H$ trên trục $Oy$, nên $B=(15\sin 30^{\circ };15\cos 30^{\circ };0)=(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};0)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10)$, tức $a=7,5$, $c=-10$. Vậy $a+c=7,5-10=-2,5$, khớp đáp án nguồn $-2,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a√2;0), C(a;a√2;0), S(0;0;2a). I trung điểm SD nên I(0; a√2/2; a). Khi đó vector AI = (0; a√2/2; a), vector SC = (a; a√2; -2a). Tích vô hướng: AI·SC = 0 + (a√2/2)(a√2) + a(-2a) = a² - 2a² = -a². Độ dài: |AI| = √(a²/2 + a²) = a√(3/2), |SC| = √(a² + 2a² + 4a²) = a√7. Vậy cos(AI, SC) = -a²/(a√(3/2)·a√7) = -1/√(21/2) = -√(2/21) ≈ -0,309 ≈ -0,3, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a\sqrt{2};0)$, $C(a;a\sqrt{2};0)$, $S(0;0;2a)$. Trung điểm $I$ của $SD$: $I\left(0;\frac{a\sqrt{2}}{2};a\right)$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left(0;\frac{a\sqrt{2}}{2};a\right)$, $|\overrightarrow{AI}{|}^2=\frac{a^2}{2}+a^2=\frac{3a^2}{2}$.
$\overrightarrow{SC}=(a;a\sqrt{2};-2a)$, $|\overrightarrow{SC}{|}^2=a^2+2a^2+4a^2=7a^2$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{SC}=0+\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2}+a\cdot (-2a)=a^2-2a^2=-a^2$.
Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{SC}\right)=\frac{-a^2}{a^2\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 7}}=\frac{-1}{\sqrt{10,5}}\approx -0,3086\approx -0,3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB = AC = a, BC = a√2 nên vuông tại A. Đặt hệ tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;a;0). Vì SA = SB = SC = a nên S có hình chiếu là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức trung điểm M(a/2; a/2; 0) của BC, và SM = √(a² − a²/2) = a/√2, nên S(a/2; a/2; a/√2). Khi đó vec{SC} = (−a/2; a/2; −a/√2), vec{AB} = (a;0;0). Tích vô hướng: vec{SC}·vec{AB} = −a²/2. Vậy cos(vec{SC}, vec{AB}) = (−a²/2)/(a·a) = −1/2 = −0,5, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$. Vì $SA=a$ và chân đường cao là tâm $O(a/2;a/2;0)$ nên $SO=\sqrt{a^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$, suy ra $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{SA}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}+0=-a^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, $O$ là tâm hình vuông $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.
a) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{AC}{|}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=2a^2+0=2a^2\ne a^2$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, khác biểu thức đề cho → Sai.
d) $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=(-\overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AD}=-a^2$. Với $|\overrightarrow{D{A}^{\prime }}|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, $\cos (\overrightarrow{D{A}^{\prime }},\overrightarrow{AC})=\frac{-a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}$, góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai.
Kết quả khớp bảng hướng dẫn chấm (Đề 2, Câu 4: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{AC}{|}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=2a^2\ne a^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, khác biểu thức đề cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2$, $\cos =-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }\ne 45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a). a) BD=(a,a,0), B'C'=(0,a,0) nên BD·B'C'=a² ≠ a²√2 → Sai. b) AC'=AB+BC+CC'=AB+AD+BB' → Đúng. c) O là tâm BCC'B' nên O=(a,a/2,a/2); DO=(a,-a/2,a/2)=AB−½AD+½AA' → Đúng. d) DA'=(0,−a,a), AC=(a,a,0), tích vô hướng = −a², |DA'|=|AC|=a√2 nên cos=−1/2, góc = 120° ≠ 60° → Sai. Kết quả SĐĐS khớp bảng hướng dẫn chấm (Đề 1, Câu 4: SDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
BD·B'C' = a² ≠ a²√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC'=AB+BC+CC'=AB+AD+BB'.
c) (AI giải đề cho tôi)
DO=(a,−a/2,a/2)=AB−½AD+½AA'.
d) (AI giải đề cho tôi)
DA'·AC=−a², cos=−1/2, góc bằng 120°, không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm A nằm trên trần phòng nên có hoành độ $z=3,5m$. Dây treo AB thẳng đứng, $AB=1m$, nên bóng đèn B có $c=3,5-1=2,5$.

Khoảng cách từ H đến trục Oy là $HK=5m$, mà HK chính là khoảng cách từ $H(x_H,y_H,0)$ đến trục Oy nên $x_H=a=5$.

Vì $(\vec{j},\overrightarrow{OH})=45^{\circ }$ nên $\cos 45^{\circ }=\frac{\overrightarrow{OH}\cdot \vec{j}}{OH}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Suy ra $\frac{b}{\sqrt{25+b^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, tức $2b^2=25+b^2\Rightarrow b^2=25\Rightarrow b=5$ (vì H nằm trong phòng, $b>0$).

Vậy $B(5;5;2,5)$ và $S=a+b+2c=5+5+2\cdot 2,5=15$.