Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 10 học sinh là $C_{10}^4=210$ (chọn không kể thứ tự).

a) Để có đủ cả ba lớp, học sinh lớp 12A7 (chỉ 1 em) phải được chọn. Còn chọn 3 em từ 9 em còn lại (4 em 12A1, 5 em 12A9) sao cho có ít nhất 1 em mỗi lớp: $C_9^3-C_5^3-C_4^3=84-10-4=70$. Xác suất $=\frac{70}{210}=\frac{1}{3}$. Đúng.

b) Chọn 4 học sinh bất kỳ là tổ hợp, không phải chỉnh hợp: $C_{10}^4=210$, không phải $A_{10}^4$. Sai.

c) Không có học sinh lớp 12A1: chọn 4 từ 6 em còn lại, $C_6^4=15$. Xác suất $=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$. Đúng.

d) Cả 4 em đều lớp 12A9: $C_5^4=5$. Xác suất $=\frac{5}{210}=\frac{1}{42}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Học sinh 12A7 phải được chọn; chọn 3 em từ 9 em còn lại có đủ 12A1 và 12A9: $C_9^3-C_5^3-C_4^3=70$. Xác suất $=70/210=1/3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn không kể thứ tự nên số cách là $C_{10}^4=210$, không phải $A_{10}^4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 từ 6 em không thuộc 12A1: $C_6^4=15$; xác suất $=15/210=1/14$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn cả 4 từ 5 em lớp 12A9: $C_5^4=5$; xác suất $=5/210=1/42$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 viên từ 18 viên: $C_{18}^3=816$. Số cách lấy 3 viên khác màu (mỗi màu 1 viên) và khác số: đếm bộ $(r,b,y)$ với $r\in \{\mathrm{1..5}\},b\in \{\mathrm{1..6}\},y\in \{\mathrm{1..7}\}$ đôi một khác nhau. Tổng: $5\cdot 6\cdot 7=210$. Trừ các trường hợp trùng số theo cặp: $r=b$: 5; $r=y$: 5; $b=y$: 6, cộng lại 16. Cộng lại trường hợp cả ba cùng số: 5. Vậy số cách thuận lợi: $210-16+5=199$. Do đó $p=\frac{199}{816}$ và $816p=199$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 số khác nhau từ 20 số nguyên dương đầu tiên: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$. Tổng chẵn khi cả hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ: 10 số lẻ và 10 số chẵn, nên số kết quả thuận lợi là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45+45=90$. Xác suất $P=\frac{90}{190}=\frac{9}{19}$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có $6\times 6=36$ kết quả. Xác suất không lần nào ra mặt sáu chấm là ${\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{25}{36}$. Vậy xác suất ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là $1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 10 học sinh là $C_{10}^4=210$ (chọn không kể thứ tự). a) Để có đủ cả ba lớp (4A1, 1A7, 5A9) với 4 người: trường hợp 2 từ 12A1, 1 từ 12A7, 1 từ 12A9: $C_4^2\cdot C_1^1\cdot C_5^1=6\cdot 1\cdot 5=30$; trường hợp 1 từ 12A1, 1 từ 12A7, 2 từ 12A9: $C_4^1\cdot C_1^1\cdot C_5^2=4\cdot 1\cdot 10=40$. Tổng $70$, xác suất $70/210=1/3$ → đúng. b) Chọn 4 học sinh bất kỳ là tổ hợp $C_{10}^4=210$, không phải chỉnh hợp $A_{10}^4$ → sai. c) Không có học sinh lớp 12A1: chọn 4 từ 6 học sinh còn lại: $C_6^4=15$, xác suất $15/210=1/14$ → đúng. d) Cả 4 đều ở lớp 12A9: $C_5^4=5$, xác suất $5/210=1/42$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn đủ cả ba lớp: $C_4^2{C}_1^1{C}_5^1+C_4^1{C}_1^1{C}_5^2=30+40=70$; xác suất $70/C_{10}^4=70/210=1/3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh bất kỳ từ 10 là tổ hợp $C_{10}^4=210$, không phải $A_{10}^4$ vì không kể thứ tự.
c) (AI giải đề cho tôi)
Không có học sinh 12A1: chọn 4 từ 6 học sinh còn lại, $C_6^4=15$; xác suất $15/210=1/14$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả 4 ở lớp 12A9: $C_5^4=5$; xác suất $5/210=1/42$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 bi từ 18 bi là $C_{18}^3=816$. Số cách lấy 3 bi khác màu (1 đỏ, 1 xanh, 1 vàng) và khác số: chọn bi đỏ $a\in \{1,...,5\}$, bi xanh $b\in \{1,...,6\}$, bi vàng $c\in \{1,...,7\}$ với $a,b,c$ đôi một khác nhau. Dùng bù - trừ: tổng $5\cdot 6\cdot 7=210$; trừ $a=b$: $5\cdot 7=35$; trừ $a=c$: $5\cdot 6=30$; trừ $b=c$: $5\cdot 6=30$; cộng lại $a=b=c$: $5$. Kết quả $210-35-30-30+5=120$. Vậy $p=\frac{120}{816}$ và $816p=120$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 số khác nhau từ 20 số nguyên dương đầu tiên: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$. Tổng chẵn khi cả hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45+45=90$. Vậy $P=\frac{90}{190}=\frac{9}{19}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi gieo một con xúc xắc là $\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$ nên $n(\Omega )=6$. Biến cố $E$: 'mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ' gồm các kết quả thuận lợi $\{1;3;5\}$ nên $n(E)=3$. Xác suất $P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Kết quả này trùng với đáp án D trong đề và với đáp án D của mã đề 0102 trong bảng hướng dẫn chấm.

(AI giải đề cho tôi)
Gieo đồng xu cân đối 3 lần: không gian mẫu có $2^3=8$ kết quả đồng khả năng. Biến cố A: 'có hai lần sấp và một lần ngửa' gồm các kết quả SSN, SNS, NSS, tức $n(A)=C_3^2=3$ kết quả. Vậy $P(A)=\frac{3}{8}=0,375\approx 0,38$ (làm tròn đến hàng phần trăm). Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,38.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=9.10^3=9000$. (0,25 điểm)

Gọi $A$ là biến cố “số được chọn có dạng $\overline{abcd}$, trong đó $1\le a\le b\le c\le d\le 9$”.

Số dạng $\overline{aaaa}$ có 9 số.

Số dạng $\overline{abcd}$ ($a<b<c<d$) có $C_9^4$ số.

Số dạng $\overline{aaab}$ có $C_9^2$ số.

Số dạng $\overline{aabb}$ có $C_9^2$ số.

Số dạng $\overline{abbb}$ có $C_9^2$ số.

Số dạng $\overline{abbc}$ có $C_9^3$ số.

Số dạng $\overline{abbc}$ có $C_9^3$ số.

Số dạng $\overline{abcc}$ có $C_9^3$ số.

$n(A)=9+C_9^4+3.C_9^2+3.C_9^3=495$.

Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{495}{9000}=0.055$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Gieo đồng xu cân đối 3 lần, không gian mẫu có $2^3=8$ kết quả đồng khả năng. Biến cố A: có đúng 2 lần sấp và 1 lần ngửa, số kết quả thuận lợi là $C_3^2=3$ (SSN, SNS, NSS). Vậy $P(A)=\frac{3}{8}=0,375\approx 0,38$, khớp với đáp án nguồn 0,38.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=9.10^3=9000$. (0,25 điểm)

Gọi $A$ là biến cố “số được chọn có dạng $\overline{abcd}$, trong đó $1\le a\le b\le c\le d\le 9$”.

Số dạng $\overline{aaaa}$ có 9 số.

Số dạng $\overline{abcd}$ ($a<b<c<d$) có $C_9^4$ số.

Số dạng $\overline{aaab}$ có $C_9^2$ số.

Số dạng $\overline{aabb}$ có $C_9^2$ số.

Số dạng $\overline{abbb}$ có $C_9^2$ số.

Số dạng $\overline{abbc}$ có $C_9^3$ số.

Số dạng $\overline{abbc}$ có $C_9^3$ số.

Số dạng $\overline{abcc}$ có $C_9^3$ số.

$n(A)=9+C_9^4+3.C_9^2+3.C_9^3=495$.

Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{495}{9000}=0.055$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi gieo một con xúc xắc là $\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$ nên $n(\Omega )=6$. Biến cố $E$: 'mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ' gồm các kết quả thuận lợi $\{1;3;5\}$ nên $n(E)=3$. Xác suất của biến cố $E$ là $P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: lấy đồng thời 2 viên từ 9 viên, $n(\Omega )=C_9^2=36$. Biến cố 'cùng màu': 2 xanh hoặc 2 đỏ, số kết quả thuận lợi $C_5^2+C_4^2=10+6=16$. Xác suất $P=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 1102: D).

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: lấy đồng thời 2 viên từ 9 viên nên $n(\Omega )=C_9^2=36$. Biến cố 'cùng màu' gồm 2 xanh hoặc 2 đỏ: $C_5^2+C_4^2=10+6=16$. Vậy $P=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông cạnh 5, chia mỗi cạnh thành 5 đoạn bằng nhau. $S$ gồm 16 điểm chia cạnh và 4 đỉnh, tức là đúng 20 điểm nằm trên biên hình vuông (không có điểm nào bên trong — các điểm như $(3,4)$, $(4,3)$ không thuộc $S$). Gọi các đỉnh là $(0,0),(5,0),(5,5),(0,5)$; các điểm của $S$ là các điểm có toạ độ nguyên trên biên hình vuông $[0,5{]}^2$.

a) Đếm các cặp điểm có khoảng cách đúng bằng 5, tức $\Delta x^2+\Delta y^2=25$:
- Cùng một cạnh: mỗi cạnh có 6 điểm, duy nhất một cặp cách đúng 5 (hai đầu cạnh): $4$ cặp.
- Hai điểm trên hai cạnh kề nhau (không tính cặp cùng thuộc một cạnh): với $a,b\in \{1,2,3,4\}$, cần $a^2+b^2=25$, chỉ có $(a,b)=(3,4)$ và $(4,3)$. Mỗi đỉnh cho $2$ cặp, có $4$ đỉnh: $8$ cặp. (Chú ý các cặp kiểu $(3,0)-(0,4)$ chính là trường hợp này; còn $(0,0)-(3,4)$, $(0,0)-(4,3)$ không được tính vì $(3,4),(4,3)$ là điểm trong, không thuộc $S$.)
- Hai điểm trên hai cạnh đối diện: khoảng cách $\sqrt{(a-b{)}^2+25}=5$ khi $a=b$, với $a=b\in \{1,2,3,4\}$ (trường hợp $a=b=0$ hoặc $a=b=5$ là các cặp đỉnh đã tính ở cùng cạnh): mỗi cặp cạnh đối diện cho $4$ cặp, có $2$ cặp cạnh đối diện: $8$ cặp.
Vậy tổng số cách chọn là $4+8+8=20$ cách.

b) Tổng số cách chọn 2 điểm: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$. Đếm số cặp có khoảng cách lớn hơn 5:
- Hai đỉnh đối nhau $(0,0)-(5,5)$, $(0,5)-(5,0)$: khoảng cách $5\sqrt{2}>5$: $2$ cặp.
- Cặp đỉnh – điểm chia không thuộc hai cạnh chứa đỉnh đó: với mỗi đỉnh có $8$ điểm như vậy (4 điểm trên cạnh đối diện song song và 4 điểm trên cạnh đối diện kia), khoảng cách dạng $\sqrt{a^2+25}>5$: $4\cdot 8=32$ cặp.
- Hai điểm chia trên hai cạnh kề: $a^2+b^2>25$ với $a,b\in \{1,2,3,4\}$ chỉ xảy ra tại $(a,b)=(4,4)$: mỗi đỉnh có $1$ cặp, $4$ đỉnh: $4$ cặp.
- Hai điểm chia trên hai cạnh đối diện: khoảng cách $\sqrt{(a-b{)}^2+25}>5$ luôn đúng với mọi $a,b\in \{1,2,3,4\}$: $16\cdot 2=32$ cặp.
Tổng số cặp có khoảng cách $>5$: $2+32+4+32=70$.
Số cặp có khoảng cách không lớn hơn 5: $190-70=120$.
Xác suất $P=\frac{120}{190}=\frac{12}{19}\approx 0,63$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số có ba chữ số đôi một khác nhau từ tập A (chữ số đầu khác 0): 5·5·4 = 120. Số chia hết cho 5 có tận cùng là 0 hoặc 5. Trường hợp tận cùng 0: 5·4 = 20 số. Trường hợp tận cùng 5: chữ số hàng trăm khác 0 và khác 5 nên có 4 cách, chữ số hàng chục có 4 cách (khác hai chữ số đã dùng, gồm cả 0) → 16 số. Xác suất = (20+16)/120 = 36/120 = 3/10. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Chỉ cần xét vị trí 5 số lẻ (1,3,5,7,9) trong 9 ô; các số chẵn tự điền vào phần còn lại. Không gian mẫu: C(9,5)=126 cách chọn vị trí cho các số lẻ. Biến cố A: mỗi hàng, mỗi cột đều có ít nhất một số lẻ. Dùng bù: gọi R_i là biến cố hàng i không có số lẻ, C_j là biến cố cột j không có số lẻ. Ta có |R_i|=C(6,5)=6, |C_j|=C(6,5)=6, và mọi giao (hai hàng, hai cột, một hàng và một cột) đều rỗng vì số ô còn lại nhỏ hơn 5 (C(3,5)=C(4,5)=0). Vậy số cách xấu = 3·6+3·6=36, số cách thuận lợi = 126−36=90. Xác suất P(A)=90/126=5/7≈0,71.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S=A+B+C+D$. Cộng bốn đẳng thức cạnh: $(E+F+G+H)+2S=60$, mà $E+F+G+H=36-S$ nên $36-S+2S=60\Rightarrow S=24$, do đó $E+F+G+H=12$.

Bốn số ở giữa có tổng 12 chỉ có thể là tập $\{1,2,3,6\}$ hoặc $\{1,2,4,5\}$; các số ở góc tương ứng là $\{4,5,7,8\}$ hoặc $\{3,6,7,8\}$.

Trường hợp 1: góc $\{4,5,7,8\}$, giữa $\{1,2,3,6\}$. Khi đó $15-\text{(tổng hai đỉnh keˆˋ)}\in \{1,2,3,6\}$, tức tổng hai đỉnh kề thuộc $\{9,12,13,14\}$. Nhưng cặp $4+7=11$ và $7+8=15$ đều bị cấm, nghĩa là đỉnh 7 chỉ được kề với 5 — không thể vì 7 có hai đỉnh kề. Trường hợp này vô nghiệm.

Trường hợp 2: góc $\{3,6,7,8\}$, giữa $\{1,2,4,5\}$. Các cặp kề hợp lệ: $3+7=10\to 5$, $3+8=11\to 4$, $6+7=13\to 2$, $6+8=14\to 1$; các cặp kề cấm là $(3,6)$ và $(7,8)$. Chu trình hợp lệ duy nhất quanh hình vuông là $3-7-6-8-3$ (chiều ngược lại $3-8-6-7-3$ là cùng một chu trình, không đếm riêng). Chu trình này cho $4\cdot 2=8$ cách gán lên $(A,B,C,D)$; với mỗi cách, các số giữa được xác định duy nhất và đôi một khác nhau thuộc $\{1,2,4,5\}$.

Tổng số cách điền 8 số từ 1 đến 8 là $8!=40320$. Xác suất $=\frac{8}{40320}=\frac{1}{5040}$, nên $a+b=1+5040=5041$.

Đáp án chính thức (DSDS): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.