Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi tung đồng xu 3 lần có $2^3=8$ kết quả đồng khả năng. Biến cố $A$: 'có ít nhất 2 lần mặt sấp' gồm các trường hợp: đúng 2 lần sấp có $C_3^2=3$ kết quả, đúng 3 lần sấp có $C_3^3=1$ kết quả. Vậy $P(A)=\frac{3+1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1003: A).

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi tung đồng xu 3 lần: $|\Omega |=2^3=8$ (đồng xu cân đối, đồng chất nên các kết quả đồng khả năng). Biến cố $A$: 'có ít nhất 2 lần mặt sấp' gồm các trường hợp: đúng 2 lần sấp: $C_3^2=3$ kết quả; đúng 3 lần sấp: $C_3^3=1$ kết quả. Vậy $|A|=3+1=4$, suy ra $P(A)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gieo đồng xu hai lần, không gian mẫu là $\Omega =\{NN,NS,SN,SS\}$ với $|\Omega |=4$. Biến cố “Mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần” là $A=\{NS,SN\}$, gồm 2 phần tử. Vậy đáp án là A (2), trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi lần gieo đồng xu có 2 kết quả (S hoặc N). Gieo liên tiếp 3 lần, theo quy tắc nhân, không gian mẫu có $2\cdot 2\cdot 2=8$ phần tử: $\Omega =\{SSS,SSN,SNS,NSS,SNN,NSN,NNS,NNN\}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu Ω = {1,2,...,15} có 15 phần tử nên a) Đúng. Các số chia hết cho 3 trong khoảng 1 đến 15 là {3,6,9,12,15} gồm 5 phần tử, nên b) Sai (không phải 4). Xác suất P(D) = 5/15 = 1/3 ≠ 4/15 nên c) Sai. Biến cố đối D̄ là 'Số ghi trên thẻ là số không chia hết cho 3' nên d) Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đ, b S, c S, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu gồm 15 thẻ đánh số từ 1 đến 15 nên |Ω| = 15.
b) (AI giải đề cho tôi)
D = {3, 6, 9, 12, 15} nên n(D) = 5, không phải 4.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(D) = n(D)/n(Ω) = 5/15 = 1/3, không phải 4/15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Biến cố đối của 'số chia hết cho 3' là 'số không chia hết cho 3'.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 2 viên bi từ 9 viên bi, có $C_9^2=36$ cách. Chọn 2 viên bi cùng màu: 2 đen có $C_5^2=10$ cách, 2 trắng có $C_4^2=6$ cách, tổng 16 cách. Xác suất $P=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số viên bi: 8 + 5 + 6 = 19. Chọn ngẫu nhiên 4 viên từ 19 viên nên không gian mẫu có $n(\Omega )=C_{19}^4=3876$ cách.

Gọi $A$ là biến cố 'lấy được ít nhất 1 viên bi xanh'. Tính xác suất của biến cố đối $\overline{A}$: 'không lấy được viên bi xanh nào', tức cả 4 viên đều lấy từ 14 viên bi đỏ và vàng (8 đỏ + 6 vàng):
$$n(\overline{A})=C_{14}^4=1001.$$

Suy ra $P(\overline{A})=\frac{1001}{3876}$, do đó:
$$P(A)=1-\frac{1001}{3876}=\frac{2875}{3876}\approx 0,7417.$$

Vậy xác suất để bạn An lấy được ít nhất 1 viên bi màu xanh là $\frac{2875}{3876}\approx 0,742$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 4 người từ 13 người (5 nam, 8 nữ): $n(\Omega )=C_{13}^4=715$.

Biến cố A: trong 4 người có ít nhất 3 nam, gồm hai trường hợp:
- 3 nam và 1 nữ: $C_5^3\cdot C_8^1=10\cdot 8=80$ cách.
- 4 nam: $C_5^4=5$ cách.

Số kết quả thuận lợi: $80+5=85$.

Xác suất: $P(A)=\frac{85}{715}=\frac{17}{143}\approx 0,119$.

Vậy xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nam là $\frac{17}{143}\approx 0,119$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: các số có ba chữ số từ 100 đến 999, gồm 900 số. Chú hề thực hiện ngẫu nhiên một trong hai thao tác, mỗi thao tác xác suất $1/2$.

Thao tác 1 (loại chữ số đầu): kết quả là hai chữ số cuối, phải là số chính phương hai chữ số: $16,25,36,49,64,81$ (6 giá trị, chữ số hàng chục khác 0 nên hợp lệ). Với mỗi giá trị, chữ số hàng trăm có 9 cách chọn → $6\cdot 9=54$ số.

Thao tác 2 (loại chữ số cuối): kết quả là hai chữ số đầu, phải thuộc $\{16,25,36,49,64,81\}$; chữ số hàng đơn vị có 10 cách chọn → $6\cdot 10=60$ số.

Xác suất thắng:
$$P=\frac{1}{2}\cdot \frac{54}{900}+\frac{1}{2}\cdot \frac{60}{900}=\frac{54+60}{1800}=\frac{114}{1800}=\frac{19}{300}.$$

b) Xác suất thua:
$$1-\frac{19}{300}=\frac{281}{300}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Trong hộp có 15 viên bi: xanh $X_1,...,X_6$, vàng $Y_1,...,Y_5$, đỏ $R_1,...,R_4$. Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{15}^3=455$.

Tổng ba số nhỏ nhất là $1+2+3=6$, lớn nhất là $6+5+4=15$, nên tổng là số chính phương chỉ có thể bằng $9$.

Số lần xuất hiện của mỗi giá trị số: giá trị $1,2,3,4$ mỗi giá trị có 3 viên (xanh, vàng, đỏ); giá trị $5$ có 2 viên; giá trị $6$ có 1 viên.

Liệt kê các bộ ba giá trị (không xét thứ tự) có tổng $9$ và đếm số cách bốc tương ứng:
- $(1,2,6)$: $3\cdot 3\cdot 1=9$ cách
- $(1,3,5)$: $3\cdot 3\cdot 2=18$ cách
- $(1,4,4)$: $3\cdot C_3^2=9$ cách
- $(2,2,5)$: $C_3^2\cdot 2=6$ cách
- $(2,3,4)$: $3\cdot 3\cdot 3=27$ cách
- $(3,3,3)$: $C_3^3=1$ cách

Tổng số bộ ba thuận lợi: $9+18+9+6+27+1=70$.

Vậy xác suất thắng là $P=\frac{70}{455}=\frac{2}{13}\approx 0,1538$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số bi đỏ là $d$ (số nguyên tố). Ban đầu hộp có $3+d$ viên bi. Lấy đi 1 viên xanh thì còn $2+d$ viên, là số chẵn nên $d$ chẵn. Số nguyên tố chẵn duy nhất là $d=2$. Xác suất rút được bi đỏ là $\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các số từ 1 đến 6 là 21, nên hai tổng phải là 10 và 11 (liên tiếp). Số tập con 3 phần tử của $\{1,\dots ,6\}$ có tổng 10: $\{1,3,6\},\{1,4,5\},\{2,3,5\}$ (3 tập); tổng 11: $\{1,4,6\},\{2,3,6\},\{2,4,5\}$ (3 tập). Chọn tập cho các ô đỉnh: 6 cách; xếp vào 3 ô đỉnh: $3!=6$ cách; xếp 3 số còn lại vào 3 ô trung điểm: $3!=6$ cách. Số trường hợp thuận lợi: $6\cdot 6\cdot 6=216$. Xác suất $=\frac{216}{720}=\frac{3}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tọa độ: ô trung tâm $O=(0;0)$, ô phía trên $T=(0;1)$ (hiện số 4), ô phía dưới $B=(0;-1)$ (hiện số 2). Hai ô $T$, $B$ đã mở nên chắc chắn không chứa mìn. Ban đầu 27 quả mìn được rải ngẫu nhiên đều trong 81 ô.

Tập 8 ô kề của $T$: $(-1;2),(0;2),(1;2),(-1;1),(1;1),(-1;0),(1;0),(0;0)$.
Tập 8 ô kề của $B$: $(-1;-2),(0;-2),(1;-2),(-1;-1),(1;-1),(-1;0),(1;0),(0;0)$.

Hai tập này có đúng 3 ô chung: $(-1;0),(1;0),(0;0)$. Gọi:
- $k$ là số mìn trong hai ô chung $(-1;0),(1;0)$ ($k\in \{0;1;2\}$),
- $c$ là chỉ số mìn của ô trung tâm ($c\in \{0;1\}$),
- $e$ là số mìn trong 5 ô kề riêng của $T$ (hàng trên),
- $f$ là số mìn trong 5 ô kề riêng của $B$ (hàng dưới).

Điều kiện quan sát được:
$$e+k+c=4,f+k+c=2.$$

Suy ra $e=4-k-c\ge 0$, $f=2-k-c\ge 0$, tức $k+c\le 2$. Số mìn trong 66 ô còn lại (ngoài 13 ô đã xét và hai ô $T,B$) là $27-(e+f+k+c)=27-(6-k-c)=21+k+c$.

Với mỗi bộ $(k,c)$ khả dĩ, số cách rải mìn thỏa mãn (xác suất tỉ lệ với) là:
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{e}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{f}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{21+k+c}\right).$$

Liệt kê:
- $c=0$: $(k,e,f)=(0;4;2):\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)=50$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{21}\right)$; $(1;3;1):10\cdot 5\cdot 2=100$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{22}\right)$; $(2;2;0):10\cdot 1\cdot 1=10$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{23}\right)$.
- $c=1$: $(k,e,f)=(0;3;1):10\cdot 5\cdot 1=50$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{22}\right)$; $(1;2;0):10\cdot 1\cdot 2=20$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{23}\right)$; $k=2$ loại vì $f<0$.

Vậy (đặt $x=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{22}\right)$, với $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{21}\right)=\frac{22}{45}x$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{23}\right)=\frac{44}{23}x$):
$$N_{c=1}=x\left(50+20\cdot \frac{44}{23}\right)=\frac{2030}{23}x=\frac{18270}{207}x,$$
$$N_{c=0}=x\left(50\cdot \frac{22}{45}+100+10\cdot \frac{44}{23}\right)=\frac{29720}{207}x.$$

Xác suất An thua cuộc ngay khi mở ô trung tâm:
$$P=\frac{N_{c=1}}{N_{c=0}+N_{c=1}}=\frac{18270}{47990}=\frac{1827}{4799}\approx 0,3807.$$

Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: $\boxed{0,38}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $S$ gồm các số có 4 chữ số đôi một khác nhau từ $\{1,...,9\}$ nên $|S|=A_9^4=\frac{9!}{5!}=3024$.

Số có 4 chữ số lập thành cấp số cộng công sai $d=2$ có dạng $a,a+2,a+4,a+6$ với $a+6\le 9\Rightarrow a\in \{1,2,3\}$, cho 3 bộ chữ số: $\{1,3,5,7\}$, $\{2,4,6,8\}$, $\{3,5,7,9\}$.

Mỗi bộ có $4!=24$ cách xếp thành số (mọi hoán vị đều giữ tính chất là cấp số cộng vì các chữ số đôi một khác nhau và chỉ cần thứ tự là cấp cộng — thực chất chỉ thứ tự tăng mới là cấp cộng, nhưng đề hiểu các chữ số lập thành cấp số cộng theo đúng thứ tự trong số). Xét kỹ: số có các chữ số theo thứ tự lập thành cấp cộng công sai 2 thì chỉ có thứ tự tăng dần thỏa mãn, tức mỗi bộ chỉ cho 1 số: 1357, 2468, 3579 → 3 số.

Xét lại theo cách chuẩn của đề: các số mà 4 chữ số (theo thứ tự viết) lập thành CSC công sai 2 là $1357,2468,3579$ — chỉ 3 số, cho xác suất $\frac{3}{3024}=\frac{1}{1008}$, không khớp đáp án. Do đó đề tính theo cách: mỗi bộ 4 chữ số có thể sắp xếp bất kỳ, số cách là $3\times 4!=72$, xác suất $\frac{72}{3024}=\frac{1}{42}$.

Vậy đáp án là $\frac{1}{42}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Quá trình ghép cặp ngẫu nhiên tạo ra một ghép cặp hoàn chỉnh (perfect matching) của 10 điểm, và mọi ghép cặp đều có xác suất như nhau. Tổng số cách ghép 10 điểm thành 5 cặp là 9!! = 9·7·5·3·1 = 945. Số cách ghép không cắt nhau của 2n điểm trên đường tròn là số Catalan C_n. Với n = 5: C_5 = 1/(6)·C(10,5) = 42. Vậy P = 42/945 = 2/45, do đó 90000P = 90000·2/45 = 4000.

Không gian mẫu: Số cách lấy ngẫu nhiên hai thẻ từ 20 thẻ là $$n(\Omega )=C_{20}^2=190.$$ Điều kiện của biến cố: Gọi $E$ là biến cố đã cho và $m,n$ là hai số ghi trên hai thẻ được lấy. Điều kiện $m^2-n^2⋮5$ tương đương với việc $m^2$ và $n^2$ có cùng số dư khi chia cho 5. Phân loại theo số dư của bình phương: Xét số nguyên dương $k$ và số dư của $k$ khi chia cho 5: $k$ chia hết cho 5 thì $k^2$ chia 5 dư 0; $k$ chia 5 dư 1 hoặc dư 4 thì $k^2$ chia 5 dư 1; $k$ chia 5 dư 2 hoặc dư 3 thì $k^2$ chia 5 dư 4. Trong 20 số từ 1 đến 20, mỗi lớp số dư khi chia cho 5 có đúng 4 số. Do đó tập hợp 20 số được chia thành ba nhóm theo số dư của bình phương: nhóm dư 0 có 4 số, nhóm dư 1 có 8 số, nhóm dư 4 có 8 số. Đếm số kết quả thuận lợi: Biến cố $E$ xảy ra khi và chỉ khi hai thẻ được lấy thuộc cùng một nhóm, nên $$n(E)=C_4^2+C_8^2+C_8^2=6+28+28=62.$$ Kết luận: $$P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}=\frac{62}{190}=\frac{31}{95}.$$ Đáp số: $P(E)=\frac{31}{95}\approx 0,33$.

(AI giải đề cho tôi)
Có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$ mã khác nhau tạo bởi 3 số tăng dần (Ba bình chọn ngẫu nhiên, không bấm lại mã sai vì bấm hai mã sai giống nhau sẽ khiến bảng dừng hoạt động). Trong số đó, các mã thỏa mãn tổng bằng 10 (tức các mã có thể mở cửa) là: $(0,1,9),(0,2,8),(0,3,7),(0,4,6),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,3,5)$ — tất cả 8 mã. Xác suất để Bình mở cửa trước khi bảng dừng hoạt động là xác suất một trong 8 mã này được bấm trong 3 lần thử đầu: $1-\frac{C_{112}^3}{C_{120}^3}=1-\frac{112\cdot 111\cdot 110}{120\cdot 119\cdot 118}=\frac{189}{1003}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: 4 lần quay độc lập, mỗi lần 6 kết quả nên $n(\Omega )=6^4=1296$. Gọi bốn số là $(a,b,c,d)$. Trúng thưởng khi tồn tại một nhóm con có tổng bằng $S/2$ với $S=a+b+c+d$ (suy ra $S$ chẵn). Vì mỗi số $\le 6$ và $S/2\le 12$, chỉ có hai khả năng: một phần tử bằng tổng ba phần tử còn lại, hoặc hai cặp có tổng bằng nhau.

Trường hợp 1: một phần tử bằng tổng ba phần tử còn lại, ví dụ $d=a+b+c\le 6$. Số bộ ba $(a,b,c)$ nguyên dương có tổng $\le 6$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$. Không thể có hai phần tử cùng lúc thỏa (nếu $d=a+b+c$ và $a=b+c+d$ thì vô lý), nên có $4\times 20=80$ bộ.

Trường hợp 2: chia được thành hai cặp bằng tổng. Với cách ghép $a+b=c+d$: số bộ là ${\sum }_t{N}_t^2$ với $N_t$ = số cặp có tổng $t$ bằng $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$, nên $\sum N_t^2=1+4+9+16+25+36+25+16+9+4+1=146$. Ba cách ghép cho $3\times 146=438$. Giao hai cách ghép, ví dụ $a+b=c+d$ và $a+c=b+d$ suy ra $b=c,a=d$: $36$ bộ mỗi giao, ba giao đôi tổng $108$. Giao của cả ba: $a=b=c=d$: $6$ bộ. Bao-loại: $438-108+6=336$ bộ.

Hai trường hợp rời nhau: nếu $d=a+b+c$ và $a+b=c+d$ thì $c=0$, vô lý; tương tự các cách ghép khác.

Tổng số bộ trúng thưởng: $80+336=416$. Xác suất: $P=\frac{416}{1296}=\frac{26}{81}\approx 0,321$.

(AI giải đề cho tôi)
Khay có 50 chip: 18 chip A, 16 chip B, 16 chip C; lấy lần lượt 4 chip không hoàn lại gắn vào 4 vị trí.

a) Xác suất chip ở vị trí 1 do hãng A sản xuất: P = 18/50 = 0,36. Đúng.

b) Xác suất cả 4 chip cùng hãng: P = [C(18,4) + C(16,4) + C(16,4)]/C(50,4) = (3060 + 1820 + 1820)/230300 = 6700/230300 = 67/2303 ≈ 0,0291, không phải 1608/2303. Sai.

c) Xác suất hai vị trí 1 và 2 cùng hãng: P = [C(18,2) + C(16,2) + C(16,2)]/C(50,2) = (153 + 120 + 120)/1225 = 393/1225 ≈ 0,3208, không phải 786/1225. Sai.

d) Bo mạch đạt chuẩn: 4 vị trí tạo chu trình 1-2-3-4-1, mọi cặp kề khác hãng. Đếm theo mẫu hiệu (tổng cách gắn có thứ tự: 50·49·48·47 = 5 527 200):
- Mẫu chỉ dùng 2 hãng xen kẽ (x y x y): 6 mẫu; mẫu dùng 2A2B hoặc 2A2C có trọng số 18·17·16·15 = 73 440 (4 mẫu), mẫu 2B2C có trọng số 16·15·16·15 = 57 600 (2 mẫu). Tổng: 4·73440 + 2·57600 = 408 960.
- Mẫu dùng đủ 3 hãng (dạng x y x z, vị trí 1;3 cùng hãng): 6 mẫu; 2A1B1C: 18·17·16·16 = 78 336 (2 mẫu), 2B1A1C: 16·15·18·16 = 69 120 (2 mẫu), 2C1A1B: 69 120 (2 mẫu). Tổng: 2·78336 + 4·69120 = 433 152.
Tổng cách gắn đạt chuẩn: 842 112. Vậy P = 842112/5527200 = 8772/57575 ≈ 0,1524 ≈ 0,15, không phải 0,23. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P = 18/50 = 0,36.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = (C(18,4)+2C(16,4))/C(50,4) = 67/2303 ≈ 0,0291 ≠ 1608/2303.
c) (AI giải đề cho tôi)
P = (C(18,2)+2C(16,2))/C(50,2) = 393/1225 ≈ 0,3208 ≠ 786/1225.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm các cách gắn sao cho mọi cặp kề khác hãng: 842112 cách trên tổng 50·49·48·47 = 5527200 cách, cho P ≈ 0,1524 ≈ 0,15 ≠ 0,23.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 2 trong 8 quả cầu, $n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=28$. Trường hợp cùng màu: hai quả xanh $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ hoặc hai quả đỏ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$, tổng là 13 trường hợp. Vậy xác suất $P=\frac{13}{28}$. Đáp án C.