Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong các số 1 đến 16 có 8 số lẻ và 8 số chẵn. Tổng một hàng (cột) lẻ khi và chỉ khi hàng (cột) đó chứa một số lẻ các số lẻ (1 hoặc 3). Vậy cần đếm số cách chọn vị trí 8 số lẻ trong 16 ô sao cho mỗi hàng và mỗi cột đều có số lượng số lẻ lẻ. Tổng số cách chọn: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{8}\right)=12870$. Gọi $a$ là số hàng chứa 1 số lẻ, $b$ là số hàng chứa 3 số lẻ: $a+b=4$, $a+3b=8\Rightarrow a=2,b=2$. Chọn 2 hàng dạng 'một số lẻ': $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$. Với mỗi cách, gọi $s_j$ là số hàng đơn có số lẻ ở cột $j$, $t_j$ là số hàng ba có ô thiếu ở cột $j$; điều kiện cột có tổng lẻ là $s_j+t_j$ lẻ với mỗi $j$. Vì $\sum s_j=\sum t_j=2$ nên $\sum (s_j+t_j)=4$, mà mỗi $s_j+t_j$ lẻ dương nên mỗi cột có $s_j+t_j=1$: hai cột dạng $(1,0)$, hai cột dạng $(0,1)$. Chọn 2 cột dạng $(1,0)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$; phân phối 2 hàng đơn: $2!$; phân phối 2 hàng ba: $2!$. Số cách: $6\cdot 6\cdot 2\cdot 2=144$. Xác suất $=\frac{144}{12870}=\frac{8}{715}$ (đã tối giản). Khi đó $T=200\cdot 8+715=2315$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 9 học sinh là $C_9^3=84$. Xác suất biến cố 'không có học sinh nữ nào' (chọn cả 3 nam): $P(\overline{A})=\frac{C_5^3}{C_9^3}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}$. Vậy xác suất chọn được ít nhất 1 học sinh nữ là $P(A)=1-\frac{5}{42}=\frac{37}{42}$. Kết quả khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mô hình: xếp ngẫu nhiên 9 bạn vào 3 toa (mỗi toa ít nhất 1 người), mỗi cách xếp tương ứng với một hoán vị của 9 người rồi cắt thành 3 đoạn liên tiếp không rỗng (đoạn 1 là Toa 1, đoạn 2 là Toa 2, đoạn 3 là Toa 3).

Tổng số cách: $9!\cdot C_8^2=362880\cdot 28=10160640$.

Thuận lợi: Toa 1 chỉ có Trí và Lan, tức đoạn đầu gồm 2 người Trí, Lan theo thứ tự bất kỳ: $2!$ cách xếp trong toa; 7 người còn lại được xếp thành hoán vị $7!$ và cắt thành 2 đoạn không rỗng: $C_6^1=6$ cách. Số cách thuận lợi: $2\cdot 7!\cdot 6=60480$.

Vậy $p=\frac{60480}{10160640}=\frac{1}{168}$, suy ra $42p=\frac{42}{168}=0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A$ gồm 90000 số (từ 10000 đến 99999). Số cần tìm có dạng $n=17k$ và $n\equiv 3(\mathrm{mod}10)$. Vì $17\equiv 7(\mathrm{mod}10)$ nên $7k\equiv 3(\mathrm{mod}10)⟹k\equiv 9(\mathrm{mod}10)$. Miền giá trị: $10000\le 17k\le 99999⟹\mathrm{588.3...}\le k\le \mathrm{5882.3...}$, tức $589\le k\le 5882$. Các $k\equiv 9(\mathrm{mod}10)$ trong khoảng này: $k=589,599,\dots ,5889$? Kiểm tra: $k$ nhỏ nhất là $589$ ($589=58\cdot 10+9$), $k$ lớn nhất là $5879$ ($5879=587\cdot 10+9\le 5882$). Số lượng $=(5879-589)/10+1=530$. Vậy xác suất $P=530/90000=53/9000$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi ô có 2 kết quả nên không gian mẫu có $2^9=512$ phần tử. Ta đếm số ma trận $3\times 3$ gồm 0/1 sao cho tổng mỗi hàng và mỗi cột đều lẻ. Chọn tự do các giá trị ở 4 ô góc trên trái (hàng 1,2 × cột 1,2): $2^4=16$ cách. Khi đó ô (1,3) và (2,3) bị xác định để hàng 1,2 có tổng lẻ; ô (3,1),(3,2) bị xác định để cột 1,2 có tổng lẻ. Tổng ba số lẻ của hàng 1,2,3 là lẻ nên tổng hàng 3 lẻ, suy ra ô (3,3) cũng bị xác định duy nhất; tương tự tổng ba cột lẻ nên điều kiện cột 3 tự thỏa. Vậy số kết quả thuận lợi là $2^4=16$. Xác suất $=\frac{16}{512}=\frac{1}{32}$, do đó $a=32$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gieo hai con súc sắc có 36 kết quả đồng khả năng. Tổng bằng 11 xảy ra với các cặp (5;6), (6;5): 2 kết quả. Vậy xác suất $P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 4, mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt AB=1, hệ trục trên đường thẳng AB với A tại 0, B tại 1. Vì tam giác đều, góc giữa AC và AB bằng 60° nên hình chiếu của điểm trên AC cách A một đoạn s là s·cos60° = s/2. Tương tự, điểm trên BC cách B đoạn s có hình chiếu tại 1 − s/2.

- Điểm thứ k trên AC (k=1..44) có hình chiếu tại k/90. Đây là điểm đánh dấu i/60 khi 2k/3 nguyên, tức k chia hết cho 3: k ∈ {3,6,...,42} → 14 điểm.
- Điểm thứ j trên BC (j=1..39) có hình chiếu tại 1 − j/80. Đây là điểm đánh dấu khi 60 − 3j/4 nguyên, tức j chia hết cho 4: j ∈ {4,8,...,36} → 9 điểm.
- Hai tập hình chiếu này không giao nhau (k/90 = 1 − j/80 đòi hỏi k > 44).

Tổng số cách chọn 2 điểm phân biệt từ 83 điểm trên AC, BC là C(83,2) = 3403.
Số cách thuận lợi: cả hai từ AC: C(14,2)=91; cả hai từ BC: C(9,2)=36; mỗi cạnh một điểm: 14·9=126. Tổng = 91+36+126 = 253.

Vậy p = 253/3403, suy ra 3403p = 253, khớp với đáp án nguồn.

a) Mệnh đề sai. Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )={\mathrm{C}}_{25}^6=177100$.

b) Mệnh đề sai. Có 12 số chẵn thuộc đoạn $[1;25]$. Suy ra $n(A)={\mathrm{C}}_{12}^6=924$. Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{924}{177100}=\frac{3}{575}$.

c) Mệnh đề đúng. Có 8 số tự nhiên chia hết cho 3 thuộc đoạn $[1;25]$. Suy ra $n(B)={\mathrm{C}}_8^6$. Xác suất của biến cố $B$ là $P(B)=\frac{{\mathrm{C}}_8^6}{177100}=\frac{1}{6325}$.

d) Mệnh đề đúng. Nhận xét: Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc dư 1. Thật vậy, xét số chính phương $n^2$ $(n\in \mathbb{N})$, ta có 3 trường hợp: Trường hợp 1: $n=3k$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=9k^2⋮3$. Trường hợp 2: $n=3k+1$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=(3k+1{)}^2=9k^2+6k+1$ chia 3 dư 1. Trường hợp 3: $n=3k+2$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=(3k+2{)}^2=9k^2+12k+4=(9k^2+12k+3)+1$ chia 3 dư 1. Vậy số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1. Ta chia 25 số tự nhiên trong đoạn [1;25] thành 2 nhóm: Nhóm 1 gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 (có 8 số); Nhóm 2 gồm các số tự nhiên không chia hết cho 3 (có 17 số). Để chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3 thì chỉ có thể thực hiện 1 trong 3 cách chọn: Cách 1: Cả 6 số được chọn đều nằm trong nhóm 1. Cách 2: Cả 6 số được chọn đều nằm trong nhóm 2. Cách 3: Chọn 3 số trong nhóm 1 và 3 số trong nhóm 2. Xác suất của biến cố $C$ là $P(C)=\frac{C_8^6+C_{17}^6+C_8^3\cdot C_{17}^3}{177100}=\frac{1803}{6325}$.
a) Mệnh đề sai.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )={\mathrm{C}}_{25}^6=177100$.
b) Mệnh đề sai.

Có 12 số chẵn thuộc đoạn $[1;25]$. Suy ra $n(A)={\mathrm{C}}_{12}^6=924$.
Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{924}{177100}=\frac{3}{575}$.
c) Mệnh đề đúng.

Có 8 số tự nhiên chia hết cho 3 thuộc đoạn $[1;25]$. Suy ra $n(B)={\mathrm{C}}_8^6$.
Xác suất của biến cố $B$ là $P(B)=\frac{{\mathrm{C}}_8^6}{177100}=\frac{1}{6325}$.
d) Mệnh đề đúng.

Nhận xét: Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc dư 1.
Thật vậy, xét số chính phương $n^2$ $(n\in \mathbb{N})$, ta có 3 trường hợp:
Trường hợp 1: $n=3k$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=9k^2⋮3$.
Trường hợp 2: $n=3k+1$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=(3k+1{)}^2=9k^2+6k+1$ chia 3 dư 1.
Trường hợp 3: $n=3k+2$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=(3k+2{)}^2=9k^2+12k+4=(9k^2+12k+3)+1$ chia 3 dư 1.
Vậy số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1.
Ta chia 25 số tự nhiên trong đoạn [1;25] thành 2 nhóm
- Nhóm 1: Gồm các số tự nhiên chia hết cho 3. Có 8 số tự nhiên thuộc nhóm 1.
- Nhóm 2: Gồm các số tự nhiên không chia hết cho 3. Có 17 số tự nhiên thuộc nhóm 2.
Để chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3 thì chỉ có thể thực hiện 1 trong 3 cách chọn:
Cách 1: Cả 6 số tự nhiên được chọn đều nằm trong nhóm 1.
Cách 2: Cả 6 số tự nhiên được chọn đều nằm trong nhóm 2.
Cách 3: Chọn 3 số tự nhiên trong nhóm 1 và 3 số tự nhiên trong nhóm 2.
Xác suất của biến cố $C$ là $P(C)=\frac{C_8^6+C_{17}^6+C_8^3\cdot C_{17}^3}{177100}=\frac{1803}{6325}$.

Đáp án: 0,02

Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega |=A_{10}^8-A_9^7$.

Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho 45.

Gọi $B=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5. Do $0+1+2+...+9=45⋮9$ nên ta có các bộ số mà tổng chia hết cho 9 là: $B\setminus \{0,9\};B\setminus \{1,8\};B\setminus \{2,7\};B\setminus \{3,6\};B\setminus \{4,5\}$.

TH1: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{0,9\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên $a_8=5$, suy ra có $7!$ số

TH2: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{4,5\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên $a_8=0$, suy ra có $7!$ số

TH3: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{1,8\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên có 2 trường hợp:
* $a_8=0$ có $7!$ số.
* $a_8=5$ có $6.6!$ số.
Suy ra trong trường hợp này có $7!+6.6!$ số.

Tương tự các trường hợp $B\setminus \{2,7\},B\setminus \{3,6\}$ mỗi trường hợp có $7!+6.6!$ số.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $|{\Omega }_A|=2.7!+3.(7!+6.6!)=38160$.

Vậy xác suất biến cố $A$ là $p(A)=\frac{|{\Omega }_A|}{|\Omega |}=\frac{38160}{A_{10}^8-A_9^7}=\frac{53}{2268}\approx 0,02$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: n(Ω)=C(100,3)=161700.

a) Tổng ba số chẵn khi chọn 3 thẻ chẵn (từ 50 thẻ chẵn) hoặc 2 thẻ lẻ và 1 thẻ chẵn. Số cách = C(50,3)+C(50,2)·C(50,1)=19600+1225·50=80850. Vậy P(A)=80850/161700=1/2.

b) Ba số a, a+d, a+2d (d≥1, a+2d≤100) lập thành CSC. Với mỗi d từ 1 đến 49, có 100−2d bộ ba, tổng = Σ(100−2d)=4900−2450=2450. Vậy P(B)=2450/161700=1/66.

Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 15 sản phẩm từ 100 sản phẩm: $n(\Omega )=C_{100}^{15}$.
Biến cố đối $A$: 15 sản phẩm lấy ra chỉ có đúng 1 loại.
Số kết quả thuận lợi cho $A$ là:
- Chọn 15 sản phẩm từ 50 sản phẩm loại 1: $C_{50}^{15}$.
- Chọn 15 sản phẩm từ 30 sản phẩm loại 2: $C_{30}^{15}$.
- Chọn 15 sản phẩm từ 20 sản phẩm loại 3: $C_{20}^{15}$.
Vậy $n(A)=C_{50}^{15}+C_{30}^{15}+C_{20}^{15}$.
Xác suất để lấy ra có ít nhất 2 loại là:
$P=1-\frac{C_{50}^{15}+C_{30}^{15}+C_{20}^{15}}{C_{100}^{15}}\approx 1-8,89\times 10^{-6}\approx 0,999991$.

Số phần tử của tập hợp $A$:
Số có 9 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $\{0,1,\dots ,9\}$ có $9\cdot A_9^8=9\cdot 9!$ số.
Chọn 4 chữ số còn lại từ $\{5,6,7,8,9\}$: có $C_5^4=5$ cách.
Nhóm chữ số đã chọn gồm $\{0,1,2,3,4\}$ và 4 chữ số khác.
Số cách sắp xếp 9 chữ số sao cho 1, 2, 3, 4 theo thứ tự tăng dần:
- Nếu chữ số 0 ở vị trí tùy ý: có $C_9^4$ cách xếp các vị trí cho 1, 2, 3, 4 (thứ tự cố định), còn lại 5 vị trí cho 5 chữ số có $5!$ cách $⟹C_9^4\cdot 5!=\frac{9!}{4!}$.
- Trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu: khi đó 1, 2, 3, 4 chiếm 4 trong 8 vị trí còn lại có $C_8^4$ cách, 4 vị trí còn lại cho 4 chữ số có $4!$ cách $⟹C_8^4\cdot 4!=\frac{8!}{4!}$.
Số cách sắp xếp hợp lệ là: $\frac{9!-8!}{4!}=\frac{8\cdot 8!}{24}=\frac{8!}{3}$.
Tổng số kết quả thuận lợi là: $5\cdot \frac{8!}{3}$.
Xác suất cần tính là:
$P=\frac{5\cdot \frac{8!}{3}}{9\cdot 9!}=\frac{5\cdot 8!}{27\cdot 9\cdot 8!}=\frac{5}{243}$.

Ta có $n(\Omega )=C_{10}^2=45$. Số cách chọn $2$ bạn nữ từ $6$ bạn nữ là $C_6^2=15$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$. Chọn C.

Ta có $n(\Omega )=C_{10}^3=120$. Số cách chọn $3$ viên bi xanh từ $6$ viên bi xanh là $C_6^3=20$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$. Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{10}^3=120$. Số cách chọn $3$ bạn nam từ $4$ bạn nam là $C_4^3=4$. Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$. Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu:
$n(\Omega )=C_{11}^4=330$

Từ $1$ đến $11$ có $6$ số lẻ $\{1,3,5,7,9,11\}$ và $5$ số chẵn $\{2,4,6,8,10\}$.

Tổng của $4$ số là một số lẻ khi và chỉ khi có một số lẻ các số lẻ được chọn (tức là $1$ lẻ hoặc $3$ lẻ):
- Trường hợp 1: Chọn $1$ thẻ lẻ và $3$ thẻ chẵn: số cách chọn là $C_6^1\cdot C_5^3=6\cdot 10=60$.
- Trường hợp 2: Chọn $3$ thẻ lẻ và $1$ thẻ chẵn: số cách chọn là $C_6^3\cdot C_5^1=20\cdot 5=100$.

Số kết quả thuận lợi là $n(A)=60+100=160$.

Xác suất cần tìm là:
$P=\frac{160}{330}=\frac{16}{33}$

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{1000}^2$.
Gọi hai thẻ được chọn mang số $a$ và $b$ với $1\le a<b\le 1000$.
Ta cần tìm số cặp $(a;b)$ sao cho $a+b<700⟺a+b\le 699$.
Vì $b>a$ nên $a+a<a+b\le 699⟹2a<699⟹a\le 349$.
Với mỗi giá trị của $a\in \{1;2;\dots ;349\}$, số $b$ thỏa mãn $a<b\le 699-a$, tức là $b$ có $(699-a)-a=699-2a$ cách chọn.
Tổng số cặp thỏa mãn là:
$N={\sum }_{a=1}^{349}(699-2a)=699\cdot 349-2\frac{349\cdot 350}{2}=349\cdot (699-350)=349\cdot 349=121801$.
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{121801}{C_{1000}^2}$. Chọn C.

Mỗi lần gieo có 2 khả năng (S hoặc N). Gieo hai lần có $2\times 2=4$ phần tử: $\Omega =\{SS,SN,NS,NN\}$.

Không gian mẫu: $n(\Omega )=6\times 6=36$. Biến cố đối $A$: không lần nào xuất hiện mặt 3 chấm, $n(\overline{A})=5\times 5=25$. Suy ra $P(A)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$.