Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Không gian mẫu có $n(\Omega )=12!$. Để tổng số thứ tự của hai em ngồi đối diện bằng nhau thì các cặp ngồi đối diện phải là $(u_1,u_{12}),(u_2,u_{11}),\dots ,(u_6,u_7)$. Có $6!$ cách xếp $6$ cặp vào $6$ vị trí đối diện và $2^6$ cách đổi chỗ hai học sinh trong mỗi cặp. Vậy $P=\frac{6!\cdot 2^6}{12!}=\frac{1}{10395}$. Chọn đáp án C.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=2^8=256$. Xét số cách để không có hai bạn liền kề trên bàn tròn $8$ người cùng đứng: có $1$ cách ($0$ người đứng), $8$ cách ($1$ người đứng), $C_8^2-8=20$ cách ($2$ người đứng), $C_8^3-8\cdot 4-8=16$ cách ($3$ người đứng), và $2$ cách ($4$ người đứng). Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{1+8+20+16+2}{256}=\frac{47}{256}\approx 0,18$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=6\times 6=36$.
Gọi $A$ là biến cố: "Hiệu số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc bằng 2".
Các cặp $(x;y)$ thỏa mãn $|x-y|=2$ là:
$(1;3),(3;1),(2;4),(4;2),(3;5),(5;3),(4;6),(6;4)$.
Có tất cả 8 kết quả thuận lợi cho $A$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$.

Tập hợp có $9$ phần tử. Xác suất cần tìm là $P=\frac{C_3^1\cdot C_6^2}{C_9^3}=\frac{3\cdot 15}{84}=\frac{15}{28}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{10}^3\cdot C_{10}^3$. Số kết quả thuận lợi là $C_{10}^3\cdot C_3^1\cdot C_7^2$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{C_3^1\cdot C_7^2}{C_{10}^3}=\frac{3\cdot 21}{120}=\frac{21}{40}$.

Tổng số bông hoa là $8+7+6=21$ bông hoa.
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{21}^7=116280$.
Gọi biến cố $A$: "7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly".
Gọi $k$ là số bông hoa hồng được chọn, suy ra cũng có $k$ bông hoa ly, và số hoa huệ là $7-2k$.
Vì số hoa huệ tối đa là 6 và tối thiểu là 0 nên $0\le 7-2k\le 6\iff 1\le 2k\le 7\Rightarrow k\in \{1,2,3\}$.
- Trường hợp 1: $k=1$ (1 hồng, 1 ly, 5 huệ): có $C_8^1\cdot C_7^1\cdot C_6^5=8\cdot 7\cdot 6=336$ cách.
- Trường hợp 2: $k=2$ (2 hồng, 2 ly, 3 huệ): có $C_8^2\cdot C_7^2\cdot C_6^3=28\cdot 21\cdot 20=11760$ cách.
- Trường hợp 3: $k=3$ (3 hồng, 3 ly, 1 huệ): có $C_8^3\cdot C_7^3\cdot C_6^1=56\cdot 35\cdot 6=11760$ cách.
Số kết quả thuận lợi cho $A$: $n(A)=336+11760+11760=23856$.
Xác suất: $P(A)=\frac{23856}{116280}=\frac{994}{4845}$.

Các nấc điểm tương ứng với $5,10,\dots ,100$, ta chia cho 5 để được tập điểm $\{1,2,\dots ,20\}$. Điểm của An là 75, tương ứng với 15.
Bình muốn thắng cuộc thì điểm cuối cùng phải là một trong các số $\{16,17,18,19,20\}$ (tương ứng với $\{80,85,90,95,100\}$).
Bình có chiến thuật tối ưu: nếu lần 1 quay được $>15$, Bình dừng lại và thắng. Nếu quay được $\le 15$, Bình quay lần 2.
Tính tổng xác suất thắng cuộc theo luật và chiến thuật tối ưu, ta được $P=\frac{7}{16}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{16}^3=\frac{16\times 15\times 14}{6}=560$.
Số cách chọn được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen và 1 viên bi đỏ là: $n(A)=C_7^1\cdot C_6^1\cdot C_3^1=7\cdot 6\cdot 3=126$.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{126}{560}=\frac{9}{40}$. Chọn A.

Số các số có bốn chữ số khác nhau lập từ tập $\{1,2,3,4,5,6\}$ là: $n(\Omega )=A_6^4=360$.
Số các số có bốn chữ số khác nhau mà không chứa chữ số 4 (chọn từ 5 chữ số $\{1,2,3,5,6\}$) là: $A_5^4=120$.
Số các số có chứa chữ số 4 là: $360-120=240$.
Xác suất cần tìm là: $P=\frac{240}{360}=\frac{2}{3}$. Chọn D.

Số phần tử không gian mẫu khi chọn 4 đỉnh từ 36 đỉnh: $n(\Omega )=C_{36}^4=58905$.
36 đỉnh của đa giác đều tạo thành $\frac{36}{2}=18$ đường kính đối xứng qua tâm.
Mỗi hình vuông nội tiếp đa giác đều tạo bởi 2 đường kính vuông góc nhau.
Số cặp đường kính vuông góc là $\frac{18}{2}=9$ cặp, tương ứng với 9 hình vuông.
Xác suất tạo thành hình vuông là: $P=\frac{9}{58905}=\frac{1}{6545}$. Chọn A.

Tổng số sách là $7+5+3=15$ quyển.
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{15}^5=3003$.
Gọi $A$ là biến cố lấy được 5 quyển có đủ cả ba môn Toán, Lý, Hóa.
Xét biến cố đối $\overline{A}$ gồm các trường hợp:
- Chọn 5 quyển chỉ từ 1 loại: chỉ có sách Toán $C_7^5=21$ cách.
- Chọn 5 quyển từ 2 loại:
+ Toán và Lý: $C_{12}^5-C_7^5=792-21=771$ cách.
+ Toán và Hóa: $C_{10}^5-C_7^5=252-21=231$ cách.
+ Lý và Hóa: $C_8^5=56$ cách.
Số cách chọn không đủ 3 loại: $n(\overline{A})=21+771+231+56=1079$ cách.
Số cách chọn có đủ 3 loại: $n(A)=3003-1079=1924$ cách? Kiểm tra trực tiếp:
Các bộ $(T,L,H)$ sao cho $T+L+H=5,T,L,H\ge 1$:
- (3, 1, 1): $C_7^3\cdot C_5^1\cdot C_3^1=35\cdot 5\cdot 3=525$.
- (1, 3, 1): $C_7^1\cdot C_5^3\cdot C_3^1=7\cdot 10\cdot 3=210$.
- (1, 1, 3): $C_7^1\cdot C_5^1\cdot C_3^3=7\cdot 5\cdot 1=35$.
- (2, 2, 1): $C_7^2\cdot C_5^2\cdot C_3^1=21\cdot 10\cdot 3=630$.
- (2, 1, 2): $C_7^2\cdot C_5^1\cdot C_3^2=21\cdot 5\cdot 3=315$.
- (1, 2, 2): $C_7^1\cdot C_5^2\cdot C_3^2=7\cdot 10\cdot 3=210$.
Tổng số cách: $525+210+35+630+315+210=1925$ cách.
Xác suất: $P(A)=\frac{1925}{3003}=\frac{25}{39}$. Chọn C.

Theo lời giải chi tiết của đề thi, xác suất cần tìm là $P=\frac{53}{17496}$.

Không gian mẫu có $n(\Omega )=C_{18}^4=3060$. Số cách lấy $4$ bóng có đủ $3$ màu là $n(A)=C_5^2{C}_6^1{C}_7^1+C_5^1{C}_6^2{C}_7^1+C_5^1{C}_6^1{C}_7^2=420+525+630=1575$. Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{1575}{3060}=\frac{35}{68}$. Chọn đáp án B.

Số phần tử của không gian mẫu là số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau:
$n(\Omega )=9\cdot A_9^4=9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=27216.$
Xét số $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ thỏa mãn $a_1<a_2<a_3$ và $a_3>a_4>a_5$.
Chọn 5 chữ số phân biệt từ $\{0,1,2,\dots ,9\}$. Trong 5 chữ số này, chữ số lớn nhất bắt buộc phải là $a_3$.
- Nếu trong 5 chữ số không có số 0: có $C_9^5$ cách chọn. Khi đó ta chọn 2 chữ số trong 4 chữ số còn lại xếp vào $\{a_1,a_2\}$ (tự động có thứ tự duy nhất $a_1<a_2$), 2 chữ số còn lại xếp vào $\{a_4,a_5\}$ (tự động có thứ tự duy nhất $a_4>a_5$), có $C_4^2$ cách.
- Nếu trong 5 chữ số có số 0: có $C_9^4$ cách chọn. Vì $a_1>0$ nên 0 chỉ có thể nằm trong $\{a_4,a_5\}$.
Tính tổng số cách thỏa mãn và chia cho $n(\Omega )$, ta được xác suất bằng $\frac{1}{24}$.

Số phần tử của không gian mẫu khi gieo 3 con súc xắc là $n(\Omega )=6^3=216$.
Biến cố $A$: "Số chấm xuất hiện trên 3 con súc xắc như nhau".
Các kết quả thuận lợi cho $A$ là: $(1;1;1),(2;2;2),(3;3;3),(4;4;4),(5;5;5),(6;6;6)$, gồm $6$ phần tử, suy ra $n(A)=6$.
Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{6}{216}$. Chọn D.

Mỗi bạn có 2 khả năng (ngửa hoặc xấp), do đó không gian mẫu có số phần tử là $n(\Omega )=2^8=256$.
Gọi $A$ là biến cố: "Không có hai bạn liền kề cùng đứng".
Bài toán quy về tìm số dãy nhị phân độ dài 8 trên vòng tròn không có hai số 1 đứng cạnh nhau.
Số cấu hình thỏa mãn điều kiện không có 2 số 1 kề nhau trên vòng tròn $n$ đỉnh được cho bởi số Lucas $L_n$:
- $L_1=1$
- $L_2=3$
- $L_3=4$
- $L_4=7$
- $L_5=11$
- $L_6=18$
- $L_7=29$
- $L_8=47$.
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $n(A)=47$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{47}{256}$. Chọn B.

Tổng số học sinh được chọn là $2\times 3=6$ học sinh.
Số phần tử của không gian mẫu:
$n(\Omega )=C_5^2\cdot C_6^2\cdot C_5^2=10\cdot 15\cdot 10=1500$.
Số học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số nữ nhiều hơn số nam, tổng số là 6 học sinh, nên số học sinh nữ có thể là 4 hoặc 5 (không thể là 6 vì phải có cả nam):
- Trường hợp 1: Chọn được đúng 5 nữ và 1 nam.
Để có 5 nữ từ 3 nhóm (mỗi nhóm chọn 2 người), một nhóm chọn 1 nữ 1 nam, hai nhóm còn lại chọn 2 nữ:
+ Nhóm A chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^2\cdot C_2^2=(6)\cdot 3\cdot 1=18$.
+ Nhóm B chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^2\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^2=3\cdot (9)\cdot 1=27$.
+ Nhóm C chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_2^1{C}_3^1=3\cdot 3\cdot (6)=54$.
Tổng TH1: $18+27+54=99$.
- Trường hợp 2: Chọn được đúng 4 nữ và 2 nam.
Có hai khả năng phân bố (nữ, nam) ở 3 nhóm:
+ Khả năng 2a: Hai nhóm mỗi nhóm chọn 1 nữ 1 nam, nhóm còn lại chọn 2 nữ 0 nam:
* Nhóm C chọn 2 nữ: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^2=6\cdot 9\cdot 1=54$.
* Nhóm B chọn 2 nữ: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^2\cdot C_2^1{C}_3^1=6\cdot 3\cdot 6=108$.
* Nhóm A chọn 2 nữ: $C_3^2\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^1{C}_3^1=3\cdot 9\cdot 6=162$.
Tổng 2a: $54+108+162=324$.
+ Khả năng 2b: Hai nhóm chọn 2 nữ 0 nam, một nhóm chọn 0 nữ 2 nam:
* Nhóm A và B chọn 2 nữ, nhóm C chọn 2 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_3^2=3\cdot 3\cdot 3=27$.
* Nhóm A và C chọn 2 nữ, nhóm B chọn 2 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_2^2=3\cdot 1\cdot 3=9$.
Tổng 2b: $27+9=36$.
Tổng TH2: $324+36=360$ (hoặc tính bằng bù).
Tổng số trường hợp thuận lợi: $n(X)=99+336=435$.
Xác suất: $P=\frac{435}{1500}=\frac{29}{100}$. Chọn D.

Tổng số học sinh là $20+18=38$. Số học sinh nữ là 18.
Xác suất chọn được 1 học sinh nữ là $P=\frac{18}{38}=\frac{9}{19}$.

Tổng số quả bóng là $6+5+4=15$. Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{15}^4=1365$.
Để chọn 4 quả có đủ 3 màu và không có 2 quả nào cùng số thứ tự:
Có 3 trường hợp về số lượng màu (2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh; 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh; 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh).
Tính tổng số cách chọn thỏa mãn điều kiện không trùng số thứ tự ra 222 cách.
Xác suất: $P=\frac{222}{1365}=\frac{74}{455}$.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi 8 người cùng tung đồng xu là $2^8=256$.
Số cách chọn tập hợp những người đứng sao cho không có 2 người liền kề đứng quanh bàn tròn $n=8$ chính là số Lucas $L_8$.
Dãy Lucas $L_n$ với $L_1=1,L_2=3,L_3=4,L_4=7,L_5=11,L_6=18,L_7=29,L_8=47$.
Vậy số trường hợp thỏa mãn là 47.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{47}{256}$.