Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Tổng số cách sắp xếp 9 quyển sách là $n(\Omega )=9!=362880$.
Để các quyển cùng một môn nằm cạnh nhau, ta coi 5 quyển Toán là một khối và 4 quyển Văn là một khối.
Số cách hoán vị 2 khối: $2!=2$.
Số cách xếp các quyển sách Toán nội bộ: $5!$, các quyển Văn nội bộ: $4!$.
Số kết quả thuận lợi: $n(A)=2!\cdot 5!\cdot 4!=2\cdot 120\cdot 24=5760$.
Xác suất $P(A)=\frac{5760}{9!}=\frac{2\cdot 5!\cdot 4!}{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}=\frac{48}{3024}=\frac{1}{63}$.

Ba chữ số phân biệt có tổng bằng $5$ thuộc một trong hai bộ $\{0;1;4\}$ hoặc $\{0;2;3\}$, mỗi bộ lập được $3!=6$ bộ ba chữ số cuối. Vậy có $12$ số thỏa mãn, xác suất bấm đúng ngay lần đầu là $\frac{1}{12}$.

Chọn A.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{25}^3=2300$.
Sinh viên học kỹ 20 câu và chưa học 5 câu.
Biến cố $A$: "Rút được ít nhất 2 câu đã học kỹ":
- Trường hợp 1: Rút được đúng 2 câu đã học và 1 câu chưa học: $C_{20}^2\cdot C_5^1=190\cdot 5=950$.
- Trường hợp 2: Rút được cả 3 câu đã học: $C_{20}^3=1140$.
Số kết quả thuận lợi là $n(A)=950+1140=2090$.
Xác suất là $P(A)=\frac{2090}{2300}=\frac{209}{253}$.

Số bộ có thứ tự $(a,b,c)$ các số nguyên dương có tổng bằng $2019$ là $C_{2018}^2$. Trong đó có $1$ bộ ba số bằng nhau $(673,673,673)$ và $1008\times 3=3024$ bộ có đúng hai số bằng nhau. Do đó số tập con $3$ phần tử phân biệt có tổng bằng $2019$ là $\frac{C_{2018}^2-3025}{3!}$, và xác suất cần tìm là $\frac{C_{2018}^2-3025}{3!\cdot C_{2021}^3}$. Chọn đáp án C.

Số phần tử của không gian mẫu (chọn 5 đội vào bảng A từ 10 đội, 5 đội còn lại vào bảng B) là:
$n(\Omega )=C_{10}^5=252$
Gọi $E$ là biến cố: "hai đội 10A1 và 10A2 thuộc hai bảng đấu khác nhau".
- Trường hợp 1: 10A1 thuộc bảng A và 10A2 thuộc bảng B. Cần chọn thêm 4 đội từ 8 đội còn lại vào bảng A: có $C_8^4=70$ cách.
- Trường hợp 2: 10A2 thuộc bảng A và 10A1 thuộc bảng B. Cần chọn thêm 4 đội từ 8 đội còn lại vào bảng A: có $C_8^4=70$ cách.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là:
$n(E)=C_8^4+C_8^4=70+70=140$
Xác suất cần tính là:
$P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}=\frac{140}{252}=\frac{5}{9}$
Chọn A.

Chọn A.
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 em học sinh từ 25 em là $n(\Omega )=C_{25}^3=2300$.
Gọi $A$ là biến cố "Ít nhất hai trong ba em học sinh được chọn ngồi cạnh nhau".
- Trường hợp 1: Cả 3 em ngồi cạnh nhau. Ta coi 3 em ngồi cạnh nhau thành một bộ 3 liên tiếp trên vòng tròn. Có 25 cách chọn.
- Trường hợp 2: Đúng 2 em ngồi cạnh nhau và em thứ 3 không ngồi cạnh 2 em đó.
Chọn một cặp gồm 2 em ngồi cạnh nhau: có 25 cách chọn cặp.
Khi đã chọn cặp này, có 2 vị trí ngồi ngay sát hai bên cặp đó không được chọn, và chính cặp đó cũng không được chọn lại, do đó còn $25-4=21$ em để chọn người thứ 3.
Số cách chọn là $25\times 21=525$ cách.
Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $n(A)=25+525=550$ cách.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{550}{2300}=\frac{55}{230}=\frac{11}{46}$.

Không gian mẫu: $n(\Omega )=6\times 6=36$.
Phương trình $x^2+bx+c=0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\Delta =b^2-4c<0\iff b^2<4c$.
- Với $b=1$: $1<4c\Rightarrow c\in \{1,2,3,4,5,6\}$ (6 cặp)
- Với $b=2$: $4<4c\Rightarrow c>1\Rightarrow c\in \{2,3,4,5,6\}$ (5 cặp)
- Với $b=3$: $9<4c\Rightarrow c\ge 3\Rightarrow c\in \{3,4,5,6\}$ (4 cặp)
- Với $b=4$: $16<4c\Rightarrow c>4\Rightarrow c\in \{5,6\}$ (2 cặp)
- Với $b=5,6$: không có cặp nào thỏa mãn.
Tổng số cặp thuận lợi: $6+5+4+2=17$.
Xác suất: $P=\frac{17}{36}$.

Số các số tự nhiên có $7$ chữ số chia hết cho $9$ là $|S|=10^6=1000000$. Trong các số có $7$ chữ số đôi một khác nhau ($9\cdot A_9^6$ số), đúng $\frac{1}{9}$ số chia hết cho $9$, tức là có $A_9^6=60480$ số? Kiểm tra lại: $\frac{63360}{1000000}=\frac{198}{3125}$. Chọn B.

Có $9\cdot 9=81$ số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt, nên $n(\Omega )=81^2$. Xét biến cố đối $\overline{A}$: hai số không có chữ số nào chung. Nếu Công chọn số có chữ số $0$ ($9$ cách) thì Thành có $8\cdot 7=56$ cách; nếu Công chọn số không có chữ số $0$ ($72$ cách) thì Thành có $7\cdot 7=49$ cách. Suy ra $n(\overline{A})=9\cdot 56+72\cdot 49=4032\Rightarrow P(A)=1-\frac{4032}{81^2}=\frac{281}{729}$. Chọn đáp án D.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_5^3=10$.
Ba số $a<b<c$ lập thành 3 cạnh của tam giác khi và chỉ khi $a+b>c$.
Liệt kê các bộ 3 số thỏa mãn:
- $(3,5,7)$ (vì $3+5=8>7$)
- $(3,11,13)$ (vì $3+11=14>13$)
- $(5,7,11)$ (vì $5+7=12>11$)
- $(5,11,13)$ (vì $5+11=16>13$)
- $(7,11,13)$ (vì $7+11=18>13$)
Tổng cộng có 5 bộ thỏa mãn.
Xác suất là $P=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

Mỗi cách xếp 10 học sinh vào 10 chiếc ghế là một hoán vị của 10 phần tử, vì vậy số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$.
Gọi các số thứ tự của 10 học sinh theo thứ tự tăng dần là $u_1,u_2,\dots ,u_{10}$, lập thành một cấp số cộng có công sai $d>0$.
Ta có tính chất của cấp số cộng: $u_1+u_{10}=u_2+u_9=u_3+u_8=u_4+u_7=u_5+u_6=S$.
Vì dãy số tăng nghiêm ngặt nên đây là cách phân chia duy nhất 10 số đã cho thành 5 cặp có tổng bằng nhau.
Do đó, 5 cặp đối diện bắt buộc phải là: $(u_1,u_{10}),(u_2,u_9),(u_3,u_8),(u_4,u_7),(u_5,u_6)$.
Số cách xếp 5 cặp vào 5 vị trí đối diện:
- Có $5!$ cách phân phối 5 cặp vào 5 cặp ghế đối diện.
- Mỗi cặp học sinh có $2!$ cách hoán đổi vị trí hai ghế đối diện nhau.
Suy ra số kết quả thuận lợi là $n(A)=5!\cdot 2^5$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{5!\cdot 2^5}{10!}=\frac{120\cdot 32}{3628800}=\frac{3840}{3628800}=\frac{1}{945}$. Chọn C.

Chọn B.
Bảng có $11$ đường thẳng ngang và $10$ đường thẳng dọc.
Số hình chữ nhật là $C_{11}^2\cdot C_{10}^2=55\cdot 45=2475$.
Số hình vuông kích thước $k\times k$ ($1\le k\le 9$) là $(10-k+1)(9-k+1)=(11-k)(10-k)$.
Tổng số hình vuông là ${\sum }_{k=1}^9(11-k)(10-k)=10\cdot 9+9\cdot 8+\cdots +2\cdot 1=330$.
Xác suất chọn được hình vuông là $P=\frac{330}{2475}=\frac{2}{15}$.

Xác suất cần tìm là $P=\frac{C_4^2\cdot C_6^3}{C_{10}^5}=\frac{6\cdot 20}{252}=\frac{10}{21}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$. Chia 10 ghế thành 5 cặp ghế đối diện nhau. Để các học sinh cùng giới tính ngồi đối diện nhau thì phải có 2 cặp ghế dành cho 4 học sinh nữ và 3 cặp ghế dành cho 6 học sinh nam. Số cách chọn 2 cặp ghế trong 5 cặp để xếp 4 học sinh nữ là $C_5^2=10$. Xếp 4 học sinh nữ vào 4 ghế của 2 cặp này có $4!$ cách. Xếp 6 học sinh nam vào 6 ghế của 3 cặp ghế còn lại có $6!$ cách. Số kết quả thuận lợi là $n(A)=C_5^2\cdot 4!\cdot 6!=10\cdot 24\cdot 720=172800$. Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{C_5^2\cdot 4!\cdot 6!}{10!}=\frac{10}{\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{24}}=\frac{10}{210}=\frac{1}{21}$. Chọn C.

Sau khi lấy ra $1$ viên bi màu đỏ ở lần đầu, trong bình còn lại $15$ viên bi gồm $9$ viên bi xanh và $6$ viên bi đỏ. Xác suất lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ $2$ là $\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$.

Phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố: $121500=1215\times 100=5\times 243\times 4\times 25=2^2\cdot 3^5\cdot 5^3$.
Số ước số nguyên dương của $121500$ là $n(S)=(2+1)(5+1)(3+1)=3\cdot 6\cdot 4=72$.
Một ước số không chia hết cho 5 khi và chỉ khi trong phân tích của nó lũy thừa của 5 có số mũ bằng 0 (tức là ước của $2^2\cdot 3^5$).
Số các ước không chia hết cho 5 là $(2+1)(5+1)=3\cdot 6=18$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{18}{72}=\frac{1}{4}$. Chọn D.

Biến cố $A$: 'Trò chơi dừng lại sau không quá 3 lần rút'.
Biến cố đối $\bar{A}$: 'Cả 3 lần rút đầu tiên đều rút được thẻ ghi số 1'.
Xác suất của biến cố đối là $P(\bar{A})=\frac{C_6^3}{C_{10}^3}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$.
Do đó xác suất cần tìm là $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. Chọn D.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=11!$. Xếp $6$ học sinh nam có $6!$ cách, tạo ra $7$ khoảng trống (gồm $5$ khoảng giữa và $2$ đầu). Xếp $5$ học sinh nữ vào $5$ trong $7$ khoảng trống đó có $A_7^5$ cách. Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{6!\cdot A_7^5}{11!}=\frac{1}{22}$.

Chọn D.
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 2 bạn bất kì từ 10 bạn:
$n(\Omega )=C_{10}^2=45$.
Số cách chọn 1 bạn nam và 1 bạn nữ là:
$n(A)=C_6^1\cdot C_4^1=6\cdot 4=24$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$.

Số phần tử không gian mẫu là $C_{30}^4=27405$. Số cách chọn có ít nhất $2$ nam ($2$ nam $2$ nữ, $3$ nam $1$ nữ, hoặc $4$ nam) là $C_{18}^2{C}_{12}^2+C_{18}^3{C}_{12}^1+C_{18}^4=10098+9792+3060=22950$. Xác suất bằng $\frac{22950}{27405}=\frac{170}{203}$. Chọn A.