Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Khi biết con gà bắt từ lồng I sang lồng II là gà nâu thì lồng II có $6$ con gà trắng và $5$ con gà nâu (tổng $11$ con). Xác suất bắt được gà trắng từ lồng II khi đó là $\frac{6}{11}=\frac{a}{b}⟹a=6,b=11⟹a-b=-5$.

Số phần tử của không gian mẫu chia 12 đội thành 3 bảng (mỗi bảng 4 đội) là $n(\Omega )=C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4=C_{12}^4{C}_8^4$.
Để 3 đội Việt Nam ở 3 bảng đấu khác nhau:
- Xếp 3 đội VN vào 3 bảng A, B, C có $3!=6$ cách.
- Chọn 3 đội nước ngoài vào bảng A trong 9 đội: $C_9^3$ cách.
- Chọn 3 đội nước ngoài vào bảng B trong 6 đội còn lại: $C_6^3$ cách.
- 3 đội nước ngoài còn lại vào bảng C: 1 cách.
Số cách thuận lợi là $6C_9^3{C}_6^3$. Xác suất $P=\frac{6C_9^3{C}_6^3}{C_{12}^4{C}_8^4}$. Chọn B.

Số phần tử không gian mẫu là $8!$. Xếp $5$ nam có $5!$ cách, tạo ra $6$ khoảng trống; xếp $3$ nữ vào $6$ khoảng trống có $A_6^3$ cách. Xác suất bằng $\frac{5!\cdot A_6^3}{8!}=\frac{5}{14}$. Chọn B.

Ta có $\frac{3\cdot 2\cdot n}{C_{n+5}^3}=\frac{9}{28}\iff \frac{36n}{(n+5)(n+4)(n+3)}=\frac{9}{28}\iff n=3$. Hộp có $8$ viên bi (trong đó có $2$ bi xanh và $6$ bi khác màu xanh). Xác suất lấy được ít nhất một viên bi xanh là $P=1-\frac{C_6^3}{C_8^3}=1-\frac{20}{56}=\frac{9}{14}$.

Xác suất để cả $2$ bài được chọn cuối cùng đều là hình học: $P(\overline{A})=\frac{C_2^2}{C_5^2}\cdot \frac{C_3^2}{C_{10}^2}+\frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{4}{10}+\frac{C_3^2}{C_5^2}\cdot \frac{C_4^2}{C_{10}^2}=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{15}+\frac{6}{10}\cdot \frac{12}{100}+\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{15}=\frac{89}{750}$. Do đó xác suất có ít nhất một bài đại số là $P(A)=1-\frac{89}{750}=\frac{661}{750}\approx 0,88$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^3=455$.
Để chọn 3 người sao cho không có 2 người nào ngồi kề nhau, ta xem 12 người còn lại tạo ra 13 khe trống (bao gồm 2 đầu). Ta chọn 3 trong 13 khe trống này để xếp 3 người vào: số cách là $C_{13}^3=286$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{286}{455}=\frac{22}{35}$. Chọn C.

Số cách chọn 2 ghế bất kỳ cho Yên và Phong là $C_{12}^2=66$. Số cặp ghế kề nhau trong cùng một dãy là $2\times 5=10$. Số cặp ghế đối diện nhau qua hai dãy là $6$. Vì hai biến cố này xung khắc nhau nên số cặp ghế thuận lợi là $10+6=16$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{16}{66}=\frac{8}{33}$. Chọn D.

Chọn A.
Tính số phần tử của không gian mẫu và số các số chia hết cho 3 trong tập $S$, áp dụng biến cố đối để tính xác suất lấy được ít nhất một số chia hết cho 3, thu được $\frac{809}{1455}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{13}^2=78$. Chọn $1$ bi xanh (có $6$ cách) và $1$ bi đỏ khác số với bi xanh vừa chọn (có $7-1=6$ cách), nên số kết quả thuận lợi là $6\times 6=36$. Xác suất bằng $\frac{36}{78}=\frac{6}{13}$. Chọn B.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{60}^2=1770$.
Để tích hai số chia hết cho 10, tích phải chia hết cho cả 2 và 5.
Trong các số từ 1 đến 60 có:
- 30 số chẵn ($A$) và 30 số lẻ ($B$).
- 12 số chia hết cho 5, gồm 6 số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 (bội của 10) và 6 số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 (tận cùng bằng 5).
Biến cố đối $\overline{E}$: tích hai số không chia hết cho 10. Điều này xảy ra khi:
1) Cả hai quả cầu đều mang số lẻ: có $C_{30}^2=435$ cách. Trong đó, tích chia hết cho 10 là không thể xảy ra (vì không có thừa số 2).
2) Một quả chẵn và một quả lẻ, hoặc cả hai quả chẵn, nhưng không có số nào chia hết cho 5. Có $60-12=48$ số không chia hết cho 5 (gồm 24 số chẵn không chia hết cho 5 và 24 số lẻ không chia hết cho 5). Số cách chọn 2 quả sao cho có ít nhất một quả chẵn và không quả nào chia hết cho 5 là $C_{48}^2-C_{24}^2=1128-276=852$ cách.
Tổng số kết quả không chia hết cho 10 là $435+852=1287$ cách.
Do đó số kết quả thuận lợi là $n(E)=1770-1287=483$ cách.
Xác suất là $P(E)=\frac{483}{1770}=\frac{161}{590}$. Chọn B.

Số các số tự nhiên có $4$ chữ số là $n(\Omega )=9000$. Số các bộ $(a,b,c,d)$ thỏa mãn $1\le a\le b\le c\le d\le 9$ tương ứng với số tổ hợp lặp chập $4$ của $9$ phần tử: $C_{9+4-1}^4=C_{12}^4=495$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{495}{9000}=0,055$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$. Để mỗi bạn nam đối diện 1 bạn nữ: có 5 cặp ghế đối diện. Xếp 5 bạn nam vào 5 cặp ghế có $5!$ cách chọn cặp, trong mỗi cặp có 2 cách chọn ghế (nam dãy này hoặc dãy kia), nên có $2^5$ cách. Sau đó xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí còn lại có $5!$ cách. Số kết quả thuận lợi là $n(A)=5!\cdot 2^5\cdot 5!$. Xác suất là $P(A)=\frac{5!\cdot 2^5\cdot 5!}{10!}=\frac{32\cdot 120}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\frac{8}{63}$. Chọn C.

Tính toán số cách chọn 4 viên bi từ 15 viên bi sao cho thỏa mãn điều kiện bài toán, xác suất thu được là $\frac{74}{455}$. Chọn A.

Ta có $n(\Omega )=9\cdot A_9^7$.

Gọi $a$ là số tự nhiên thuộc tập $A$.

Ta có $a=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$.

Do đó, $a⋮25\iff (10a_7+a_8)⋮25$ trong đó $a_8=5$ hoặc $a_8=0$. Suy ra $\overline{a_7{a}_8}$ là một trong các số sau: $50;25;75$.

TH1: Nếu $\overline{a_7{a}_8}=50$ thì có $A_8^6$ cách chọn các chữ số còn lại.

TH2: Nếu $\overline{a_7{a}_8}=25$ hoặc $\overline{a_7{a}_8}=75$ thì có $7\cdot A_7^5$ cách chọn các chữ số còn lại cho mỗi trường hợp.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{A_8^6+2\cdot 7\cdot A_7^5}{9\cdot A_9^7}=\frac{11}{324}$.

Không gian mẫu $n(\Omega )=6\times 6=36$. Các cặp có tổng số chấm bằng 6 là: $(1;5),(2;4),(3;3),(4;2),(5;1)$, gồm 5 kết quả thuận lợi. Xác suất là $P=\frac{5}{36}$. Chọn B.

Số tam giác tạo thành từ 20 đỉnh là $C_{20}^3=1140$. Số đường chéo đi qua tâm (đường kính) là 10. Mỗi đường kính kết hợp với 1 đỉnh trong 18 đỉnh còn lại tạo thành 1 tam giác vuông. Số tam giác vuông là $10\times 18=180$. Xác suất là $\frac{180}{1140}=\frac{3}{19}$. Chọn D.

Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega )=9\cdot 10^5\cdot 5=4500000$. Số biến cố thuận lợi chia làm hai trường hợp theo vị trí chữ số 0, tính được xác suất bằng $\frac{2375}{58320}$ hoặc tương đương theo rút gọn. Chọn A.

Số cách chọn bộ 3 chữ số của mỗi bạn là ${\mathrm{C}}_{10}^3=120$.
Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega )=120\times 120=14400$.
Số cách chọn đúng một chữ số giống nhau:
- Chọn 1 chữ số chung: ${\mathrm{C}}_{10}^1=10$ cách.
- An chọn thêm 2 chữ số từ 9 số còn lại: ${\mathrm{C}}_9^2=36$ cách.
- Bình chọn thêm 2 chữ số từ 7 số còn lại: ${\mathrm{C}}_7^2=21$ cách.
Số kết quả thuận lợi: $10\times 36\times 21=7560$.
Xác suất: $P=\frac{7560}{14400}=\frac{21}{40}$.

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử rút ngẫu nhiên $3$ thẻ.

Ta có: $n(\Omega )=C_{50}^3=19600$.

Gọi $A$ là biến cố “tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$”.

$50$ thẻ được chia thành $3$ loại gồm:

+ $16$ thẻ có số chia hết cho $3$ là $\{3;6;\dots ;48\}$.

+ $17$ thẻ có số chia cho $3$ dư $1$ là $\{1;4;7;\dots ;49\}$.

+ $17$ thẻ có số chia cho $3$ dư $2$ là $\{2;5;8;\dots ;50\}$.

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: $3$ thẻ được chọn cùng một loại có $(C_{16}^3+C_{17}^3+C_{17}^3)$ cách.

TH2: $3$ thẻ được chọn mỗi loại $1$ thẻ có $C_{16}^1\cdot C_{17}^1\cdot C_{17}^1$ cách.

Do đó $n(A)=(C_{16}^3+C_{17}^3+C_{17}^3)+C_{16}^1\cdot C_{17}^1\cdot C_{17}^1=6544$.

Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$ bằng: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{6544}{19600}=\frac{409}{1225}$.

Chọn D.
Số phần tử của không gian mẫu (chọn 3 số tùy ý từ 10 số) là $n(\Omega )=C_{10}^3=120$.
Số cách chọn 3 số từ tập $\{1,2,\dots ,10\}$ sao cho không có hai số nào liên tiếp tương đương với bài toán xếp 3 số vào 7 vị trí giữa và hai đầu của 7 số còn lại (bài toán chia kẹo Euler hay bổ đề chọn phần tử không liên tiếp):
Số cách chọn là $C_{10-3+1}^3=C_8^3=56$.
Xác suất cần tìm là: $P=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$.