Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=8!=40320$. Xét hai trường hợp thuận lợi:
- TH1: Hoàng và Nhi ngồi đối diện nhau. Có $4\cdot 2=8$ cách xếp Hoàng và Nhi vào $1$ trong $4$ cặp ghế đối diện; $3$ cặp ghế đối diện còn lại mỗi cặp có $1$ nam và $1$ nữ nên có $2^3\cdot 3!\cdot 3!=288$ cách. Suy ra TH1 có $8\cdot 288=2304$ cách.
- TH2: Hoàng và Nhi ngồi cạnh nhau trên cùng một dãy. Có $2\cdot 3\cdot 2!=12$ cách xếp Hoàng và Nhi vào hai ghế kề nhau trên cùng một dãy; ghế đối diện Hoàng phải xếp nữ ($3$ cách), ghế đối diện Nhi phải xếp nam ($3$ cách), $2$ cặp ghế đối diện còn lại có $2^2\cdot 2!\cdot 2!=16$ cách. Suy ra TH2 có $12\cdot 3\cdot 3\cdot 16=1728$ cách.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{2304+1728}{40320}=\frac{4032}{40320}=\frac{1}{10}$.

Số điện thoại có dạng $\overline{8a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10^6$.
- Tập chữ số chẵn: $\{0,2,4,6,8\}$. Chữ số đầu tiên là 8, nên 3 chữ số chẵn $a_2,a_3,a_4$ phân biệt được chọn từ $\{0,2,4,6\}$: có $A_4^3=24$ cách.
- Tập chữ số lẻ: $\{1,3,5,7,9\}$. Ba chữ số lẻ $a_5,a_6,a_7$ được chọn tùy ý: có $5^3=125$ cách.
Do đó số các số điện thoại thỏa mãn điều kiện bốn chữ số đầu chẵn phân biệt và ba chữ số sau lẻ là $24\times 125=3000$.
- Xét trường hợp hai chữ số 0 và 9 đứng liền nhau: vì bốn số đầu chẵn và ba số sau lẻ nên chỉ có thể là $a_4=0$ và $a_5=9$.
Khi đó:
+ Chọn $a_2,a_3$ từ $\{2,4,6\}$: có $A_3^2=6$ cách.
+ Chọn $a_6,a_7$ từ $\{1,3,5,7,9\}$: có $5^2=25$ cách.
Số trường hợp 0 và 9 đứng liền nhau là $6\times 25=150$.
- Số số điện thoại may mắn là: $n(A)=3000-150=2850$.
Vậy xác suất là: $P(A)=\frac{2850}{10^6}=\frac{285}{10^5}$.

Số phần tử của $S$ là $n(S)={\mathrm{A}}_7^3=210$.
Gọi biến cố $A$: "Số được chọn là số chẵn". Số có dạng $\overline{abc}$. Chữ số $c\in \{2,4,6\}$ có 3 cách chọn. Chọn 2 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại có ${\mathrm{A}}_6^2$ cách.
Do đó $n(A)=3\cdot {\mathrm{A}}_6^2=3\cdot 30=90$.
Xác suất $P(A)=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}$.

Chọn A.
Bàn cờ vua gồm 9 đường ngang và 9 đường dọc.
Số hình chữ nhật tạo thành bằng cách chọn 2 đường ngang từ 9 đường và 2 đường dọc từ 9 đường:
$n(\Omega )=C_9^2\cdot C_9^2=36\cdot 36=1296$.
Gọi $A$ là biến cố hình chữ nhật được chọn là hình vuông có cạnh $k>4$.
Vì mỗi ô cạnh 1 đơn vị và bàn cờ kích thước $8\times 8$, độ dài cạnh hình vuông $k$ có thể nhận các giá trị $k\in \{5,6,7,8\}$:
- Số hình vuông cạnh 5 là: $(8-5+1{)}^2=4^2=16$.
- Số hình vuông cạnh 6 là: $(8-6+1{)}^2=3^2=9$.
- Số hình vuông cạnh 7 là: $(8-7+1{)}^2=2^2=4$.
- Số hình vuông cạnh 8 là: $(8-8+1{)}^2=1^2=1$.
Tổng số hình vuông có cạnh lớn hơn 4 là:
$n(A)=16+9+4+1=30$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{30}{1296}=\frac{5}{216}$.

Xác suất cần tìm là $P=\frac{C_3^2}{C_{10}^2}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=7\cdot A_7^3=1470$.

Gọi $A$ là biến cố số được chọn có đúng $2$ chữ số chẵn.

Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A)=C_4^2\cdot C_4^2\cdot 4!-C_4^2\cdot C_3^1\cdot 3!=756$.

Xác suất cần tìm là $\frac{756}{1470}=\frac{18}{35}$.

Mỗi người có $C_{15+8}^8=C_{23}^8=490314$ đường đi. Điểm $I$ cách cạnh trái $11$ ô, cạnh phải $4$ ô, cạnh trên $3$ ô và cạnh dưới $5$ ô. Số đường đi từ $A$ đến $B$ qua $I$ của người thứ nhất là $C_{11+3}^3\cdot C_{4+5}^5=C_{14}^3\cdot C_9^4=45864$. Số đường đi từ $E$ đến $F$ qua $I$ của người thứ hai là $C_{11+5}^5\cdot C_{4+3}^3=C_{16}^5\cdot C_7^3=152880$. Xác suất để cả hai người cùng đi qua $I$ là $P=\frac{45864}{490314}\cdot \frac{152880}{490314}\approx 0,03$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=5!=120$.
Gọi biến cố đối $\overline{X}$: "A và B ngồi cạnh nhau".
Coi A và B là một nhóm có $2!$ cách xếp nội bộ.
Xếp nhóm $(AB)$ cùng 3 bạn C, D, E có $4!$ cách.
Số cách để A và B ngồi cạnh nhau là $n(\overline{X})=2!\cdot 4!=2\cdot 24=48$.
Xác suất để A và B ngồi cạnh nhau là $P(\overline{X})=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$.
Vậy xác suất để A và B không ngồi cạnh nhau là $P(X)=1-P(\overline{X})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.

Chọn B.
Số phần tử của không gian mẫu (chia 16 học sinh thành 2 nhóm không phân biệt mỗi nhóm 8 học sinh) là:
$n(\Omega )=\frac{C_{16}^8}{2}=\frac{12870}{2}=6435$.
Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất.
Vì mỗi nhóm đều có học sinh lớp 12A nên một nhóm có 1 học sinh lớp 12A và nhóm còn lại có 2 học sinh lớp 12A.
Vì mỗi nhóm có ít nhất hai học sinh lớp 12B và tổng số học sinh 12B là 5, nên một nhóm có 2 học sinh 12B và nhóm còn lại có 3 học sinh 12B.
Ta xét việc chọn thành phần cho nhóm có 1 học sinh lớp 12A (nhóm còn lại tự động được xác định):
- Trường hợp 1: Nhóm này có 1 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B và $8-1-2=5$ học sinh lớp 12C.
Số cách chọn là: $C_3^1\cdot C_5^2\cdot C_8^5=3\cdot 10\cdot 56=1680$.
- Trường hợp 2: Nhóm này có 1 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và $8-1-3=4$ học sinh lớp 12C.
Số cách chọn là: $C_3^1\cdot C_5^3\cdot C_8^4=3\cdot 10\cdot 70=2100$.
Do nhóm có 1 học sinh 12A và nhóm có 2 học sinh 12A là phân biệt (khác số học sinh 12A), nên mỗi cách phân chia tương ứng duy nhất với một cách chọn trên.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:
$n(A)=1680+2100=3780$.
Xác suất của biến cố là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{3780}{6435}=\frac{84}{143}$.

Số phần tử của tập hợp $A$:
- Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn (khác 0).
- Chữ số hàng chục có 9 cách chọn.
- Chữ số hàng đơn vị có 8 cách chọn.
$\Rightarrow n(A)=9\times 9\times 8=648$.
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{648}^2=209.628$.

Gọi biến cố $E$: "Lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau".
- Trường hợp 1: Bộ 3 chữ số không chứa chữ số 0:
Có $C_9^3=84$ bộ 3 chữ số. Mỗi bộ lập được $3!=6$ số. Số cách chọn 2 số trong cùng một bộ là $C_6^2=15$.
Số cặp thỏa mãn: $84\times 15=1260$.
- Trường hợp 2: Bộ 3 chữ số có chứa chữ số 0:
Có $C_9^2=36$ bộ 3 chữ số gồm $\{0,a,b\}$. Mỗi bộ lập được $2\times 2!=4$ số (chữ số đầu khác 0). Số cách chọn 2 số trong cùng một bộ là $C_4^2=6$.
Số cặp thỏa mãn: $36\times 6=216$.

Tổng số cặp thuận lợi là $n(E)=1260+216=1476$.

Xác suất cần tìm là:
$P(E)=\frac{1476}{209628}=\frac{41}{5823}.$

Số phần tử của không gian mẫu khi lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng từ 6 quả bóng là $n(\Omega )=C_6^3=20$.
Trong 6 quả bóng có 3 quả bóng mang số lẻ $\{1;3;5\}$ và 3 quả bóng mang số chẵn $\{2;4;6\}$.
Biến cố đối $\overline{A}$: "Tích các số trên 3 quả bóng lấy ra là một số lẻ" xảy ra khi và chỉ khi cả 3 quả bóng lấy ra đều mang số lẻ.
Số cách chọn 3 quả bóng lẻ từ 3 quả bóng lẻ là $n(\overline{A})=C_3^3=1$.
Xác suất của biến cố đối là $P(\overline{A})=\frac{1}{20}$.
Vậy xác suất để tích là một số chẵn là $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{25}^4=12650$. Số cách chọn $4$ học sinh có cả nam và nữ là $C_{25}^4-C_{15}^4-C_{10}^4=12650-1365-210=11075$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{11075}{12650}=\frac{443}{506}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=2^8=256$. Để không có hai bạn liền kề trên bàn tròn $8$ người cùng đứng, số bạn đứng $k$ chỉ có thể là $0,1,2,3,4$ với số cách chọn trên vòng tròn $n=8$ là $\frac{n}{n-k}{C}_{n-k}^k$: với $k=0$ có $1$ cách; $k=1$ có $8$ cách; $k=2$ có $\frac{8}{6}{C}_6^2=20$ cách; $k=3$ có $\frac{8}{5}{C}_5^3=16$ cách; $k=4$ có $\frac{8}{4}{C}_4^4=2$ cách. Tổng số kết quả thuận lợi là $1+8+20+16+2=47$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{47}{256}\approx 0,18$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^3=455$.
Trong các số từ 1 đến 15 có 8 số lẻ (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) và 7 số chẵn (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14).
Tổng 3 số rút được là số lẻ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Rút được 3 thẻ mang số lẻ. Số cách chọn là $C_8^3=56$.
- Trường hợp 2: Rút được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn. Số cách chọn là $C_8^1\cdot C_7^2=8\cdot 21=168$.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố là:
$n(A)=56+168=224.$
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{224}{455}=\frac{32}{65}.$

Không gian mẫu có $n(\Omega )=C_{16}^2\cdot C_{14}^2=10920$. Số cách xếp hai chữ cái $a$ không cùng hàng và không cùng cột là $\frac{16\cdot 9}{2}=72$; ứng với mỗi cách đó có $55$ cách xếp hai chữ cái $b$ không cùng hàng và không cùng cột với nhau trong $14$ ô còn lại. Xác suất cần tìm là $\frac{72\cdot 55}{10920}=\frac{33}{91}$.

Không gian mẫu có $n(\Omega )=C_{10}^3\cdot C_{10}^3$. Số kết quả thuận lợi để hai thí sinh có ít nhất $2$ phong bì giống nhau là $C_{10}^3\cdot (1+C_3^2\cdot C_7^1)=22C_{10}^3$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{22}{C_{10}^3}=\frac{22}{120}=\frac{11}{60}$. Vậy $a=11,b=60⟹a^2+b^2=11^2+60^2=3721$.

Chọn C.
Số phần tử của tập $A$ là các số tự nhiên từ $1000000$ đến $9999999$: $n(A)=9\times 10^6$.
Số tự nhiên lẻ chia hết cho 9 là các số chia hết cho 18 cộng thêm 9, tức là các số có dạng $18k+9$.
Trong 18 số tự nhiên liên tiếp, luôn có đúng 1 số lẻ chia hết cho 9.
Vì tổng số phần tử $9\times 10^6$ chia hết cho 18 nên xác suất chọn được số lẻ chia hết cho 9 là:
$P=\frac{1}{18}.$

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 44 chọn đáp án A.

Cứ mỗi bộ 4 đỉnh của bát giác lồi xác định duy nhất 1 giao điểm của hai đường chéo nằm bên trong đa giác.
Số giao điểm của các đường chéo nằm bên trong bát giác là:
$n(S)=C_8^4=70.$
Số phần tử của không gian mẫu (chọn 3 điểm từ tập $S$) là:
$n(\Omega )=C_{70}^3=54740.$
Tam giác có các cạnh nằm trên đường chéo được tạo thành khi lấy 6 đỉnh của bát giác lồi, 3 đường chéo nối các cặp đỉnh đối diện trong lục giác đó cắt nhau đôi một tạo thành đúng 1 tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Do đó số tam giác thỏa mãn là:
$n(A)=C_8^6=28.$
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{28}{54740}=\frac{1}{1955}.$

Chọn đáp án A.

Chọn C.
Tổng số đội là $5+20=25$ đội.
Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega )=C_{25}^3=2300$.
Gọi biến cố $A$: "Có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn".
Các trường hợp thuận lợi:
- Trường hợp 1: Chọn 2 đội cơ sở và 1 đội dự phòng có $C_{20}^2\cdot C_5^1=190\times 5=950$ cách.
- Trường hợp 2: Chọn 3 đội cơ sở có $C_{20}^3=1140$ cách.
Suy ra $n(A)=950+1140=2090$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{2090}{2300}=\frac{209}{230}$.