Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 2 số khác nhau từ 20 số nguyên dương đầu tiên, nên $n(\Omega )=C_{20}^2=190$. Trong 20 số này có 10 số chẵn và 10 số lẻ. Hai số có tổng chẵn khi và chỉ khi chúng cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Số cách chọn hai số cùng chẵn: $C_{10}^2=45$; số cách chọn hai số cùng lẻ: $C_{10}^2=45$. Vậy số kết quả thuận lợi là $45+45=90$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{90}{190}=\frac{9}{19}\approx 0,474$.

Ta có $n(\Omega )=C_6^2\cdot C_4^2\cdot C_2^2=90$. Xét các biến cố
$A$ : “Có ít nhất một hộp chứa hai thẻ cùng màu”;
$X$ : “Có một hộp chứa hai thẻ màu xanh”;
$Y$ : “Có một hộp chứa hai thẻ màu đỏ”.
Khi đó $A=X\cup Y$.
Nhận thấy $n(X)=n(Y)=C_3^1\cdot C_4^2\cdot C_2^2=18$; $n(XY)=C_3^1\cdot C_2^1\cdot C_2^2=6$. (0,25 điểm)
Do đó $P(A)=P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(XY)$
$$=\frac{n(X)}{n(\Omega )}+\frac{n(Y)}{n(\Omega )}-\frac{n(XY)}{n(\Omega )}=\frac{18+18-6}{90}=\frac{1}{3}.$$ (0,25 điểm)
Vậy, xác suất để không có hộp nào chứa hai thẻ cùng màu là
$$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Ta có $n(\Omega )=C_6^2\cdot C_4^2\cdot C_2^2=90$. Xét các biến cố
$A$ : “Có ít nhất một hộp chứa hai thẻ cùng màu”;
$X$ : “Có một hộp chứa hai thẻ màu xanh”;
$Y$ : “Có một hộp chứa hai thẻ màu đỏ”.
Khi đó $A=X\cup Y$.
Nhận thấy $n(X)=n(Y)=C_3^1\cdot C_4^2\cdot C_2^2=18$; $n(XY)=C_3^1\cdot C_2^1\cdot C_2^2=6$. (0,25 điểm)
Do đó $P(A)=P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(XY)$
$$=\frac{n(X)}{n(\Omega )}+\frac{n(Y)}{n(\Omega )}-\frac{n(XY)}{n(\Omega )}=\frac{18+18-6}{90}=\frac{1}{3}.$$ (0,25 điểm)
Vậy, xác suất để không có hộp nào chứa hai thẻ cùng màu là
$$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Số phần tử không gian mẫu (chia 12 đội thành 3 bảng 4 đội): $n(\Omega )=C_{12}^4\cdot C_8^4\cdot C_4^4=34650$.
Biến cố thuận lợi X: “Ba đội khách mời nằm ở ba bảng đấu khác nhau”
Xếp 3 đội khách mời vào 3 bảng A, B, C: Có $3!=6$ cách.
Xếp 9 đội còn lại vào 3 bảng, mỗi bảng 3 đội: $C_9^3\cdot C_6^3\cdot C_3^3=1680$ cách.
Số kết quả thuận lợi: $n(X)=6\cdot 1680=10080$.
Xác suất: $P=\frac{n(X)}{n(\Omega )}=\frac{10080}{34650}=\frac{16}{55}\approx 0,29$.
Kết quả làm tròn đến hàng phần chục là 0,3.

$n(\Omega )=6\cdot 6=36$. (lần thứ nhất có 6 khả năng xảy ra, lần thứ hai có 6 khả năng xảy ra).
Chọn đáp án (A)

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=6\cdot 6=36$. Gọi $A$ là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chẵn”. Khả năng xuất hiện mặt chẵn (2, 4, 6) ở mỗi lần gieo là 3. Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $n(A)=3\cdot 3=9$. Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$.
Chọn đáp án (A)

Tổng số học sinh là $4+3+2=9$.
a) Đúng. $n(\Omega )=C_9^3=84$.
b) Đúng. Chọn 3 em cùng lớp: $C_4^3$ (lớp B) $+C_3^3$ (lớp C) $=4+1=5$. Xác suất $P=\frac{5}{84}$.
c) Sai. Chọn 1 em lớp D ($C_2^1$) và 2 em lớp khác ($C_7^2$): $2\cdot 21=42$. Xác suất $P=\frac{42}{84}=\frac{1}{2}$.
d) Đúng. Chọn mỗi lớp 1 học sinh: $C_4^1\cdot C_3^1\cdot C_2^1=4\cdot 3\cdot 2=24$. Xác suất $P=\frac{24}{84}=\frac{2}{7}$.
Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c sai | d đúng]
a) Đúng. $n(\Omega )=C_9^3=84$.
b) Đúng. Chọn 3 em cùng lớp: $C_4^3$ (lớp B) $+C_3^3$ (lớp C) $=4+1=5$. Xác suất $P=\frac{5}{84}$.
c) Sai. Chọn 1 em lớp D ($C_2^1$) và 2 em lớp khác ($C_7^2$): $2\cdot 21=42$. Xác suất $P=\frac{42}{84}=\frac{1}{2}$.
d) Đúng. Chọn mỗi lớp 1 học sinh: $C_4^1\cdot C_3^1\cdot C_2^1=4\cdot 3\cdot 2=24$. Xác suất $P=\frac{24}{84}=\frac{2}{7}$.

- Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_7^3=35$.
- Gọi $A$ là biến cố chọn được nhóm có đúng 2 nữ và 1 nam.
- Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: $n(A)=C_3^2\cdot C_4^1=3\cdot 4=12$.
- Xác suất của biến cố A: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{12}{35}$.
- Vì $\frac{12}{35}$ là phân số tối giản nên $a=12,b=35$.
- Vậy $S=a+b=12+35=47$.

- Số cách lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ 15 viên là: $n(\Omega )=C_{15}^6=5005$.
- Gọi $A$ là biến cố: "Các viên bi còn lại trong hộp có đủ ba màu".
- Biến cố đối $\bar{A}$: "Các viên bi còn lại trong hộp thiếu ít nhất một màu". Vì chỉ lấy ra 6 viên bi, nên:
- Để còn lại thiếu màu xanh: Ta phải lấy ra toàn bộ 3 viên bi xanh. Số cách lấy là: $C_3^3\cdot C_{12}^3=220$ (cách).
- Để còn lại thiếu màu đỏ: Ta phải lấy ra toàn bộ 4 viên bi đỏ. Số cách lấy là: $C_4^4\cdot C_{11}^2=55$ (cách).
- Để còn lại thiếu màu vàng: Ta phải lấy ra toàn bộ 8 viên bi vàng. Trường hợp này không thể xảy ra vì chỉ lấy ra tối đa 6 viên.
- Do không thể lấy đồng thời toàn bộ bi xanh và toàn bộ bi đỏ (tổng cộng $3+4=7>6$), nên số kết quả thuận lợi cho biến cố $\bar{A}$ là:
$$n(\bar{A})=220+55=275.$$
- Xác suất của biến cố đối là: $P(\bar{A})=\frac{275}{5005}=\frac{5}{91}$.
Vậy xác suất để các viên bi còn lại có đủ ba màu là:
$$P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{5}{91}=\frac{86}{91}.$$

(AI giải đề cho tôi)
a) Tập $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ có $n(S)=8$ phần tử. Mật mã gồm 7 chữ số đôi một khác nhau, không bắt đầu bằng 0: chữ số đầu có 7 cách (khác 0); 6 vị trí còn lại chọn và sắp từ 7 chữ số còn lại: $A_7^6=5040$ cách. Vậy không gian mẫu có $|\Omega |=7\cdot 5040=35280$ mật mã hợp lệ.

b) Gọi $A$ là biến cố 'mật mã thỏa mãn cả hai điều kiện'.
- Ba chữ số đầu là ba chữ số lẻ, thuộc $\{1,3,5,7\}$ (4 số lẻ).
- Ba chữ số cuối là ba chữ số chẵn, thuộc $\{0,2,4,6\}$ (4 số chẵn).
- Chữ số chính giữa (vị trí 4) là chữ số duy nhất còn lại chưa dùng, phải thuộc $\{4,5,6,7\}$.

Trường hợp 1: chữ số giữa là số lẻ $\in \{5,7\}$: 2 cách chọn; sắp 3 số lẻ còn lại vào 3 vị trí đầu: $3!=6$ cách; sắp 3 số chẵn chọn từ 4 số vào 3 vị trí cuối: $A_4^3=24$ cách. Số cách: $2\cdot 6\cdot 24=288$.

Trường hợp 2: chữ số giữa là số chẵn $\in \{4,6\}$: 2 cách chọn; sắp 3 số lẻ chọn từ 4 số vào 3 vị trí đầu: $A_4^3=24$ cách; sắp 3 số chẵn còn lại vào 3 vị trí cuối: $3!=6$ cách. Số cách: $2\cdot 24\cdot 6=288$.

Vậy $|A|=288+288=576$. Xác suất:
$$P(A)=\frac{576}{35280}=\frac{2}{122,5}\cdot \frac{1}{1}=\frac{576}{35280}\approx 0,\mathrm{016326...}$$
Làm tròn đến hàng phần trăm: $P(A)\approx 1,63\%$.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$ (thương bị đảo). B sai vì $P(A)=0$ khi và chỉ khi $A$ là biến cố không thể (không phải chắc chắn). C đúng theo tính chất của xác suất: $0\le P(A)\le 1$. D sai vì $P(\overline{A})=1-P(A)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 25 nam + 21 nữ = 46 học sinh. Số cách chọn 3 bạn từ 46 bạn: $C_{46}^3=\frac{46\cdot 45\cdot 44}{6}=15180$. Số cách chọn 3 bạn đều nữ: $C_{21}^3=\frac{21\cdot 20\cdot 19}{6}=1330$. Xác suất của biến cố $B$: $P(B)=\frac{C_{21}^3}{C_{46}^3}=\frac{1330}{15180}\approx 0,0876\approx 0,09$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Không gian mẫu.** Tập $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ có $n(S)=8$ phần tử. Mật mã là hoán vị 7 chữ số đôi một khác nhau từ 8 chữ số, không bắt đầu bằng 0: chữ số đầu có 7 cách (chọn từ 1 đến 7), 6 vị trí còn lại chọn và xếp từ 7 chữ số còn lại: $A_7^6=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5040$ cách. Vậy $n(\Omega )=7\times 5040=35280$ mật mã.

**b) Xác suất.** Gọi $A$ là biến cố "mật mã thỏa mãn hai điều kiện".

Mật mã thỏa mãn có dạng: 3 chữ số lẻ (vị trí 1,2,3) — 1 chữ số nhỏ hơn 4 (vị trí 4) — 3 chữ số chẵn (vị trí 5,6,7), tất cả đôi một khác nhau.

- Ba chữ số lẻ được chọn từ $\{1,3,5,7\}$: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ bộ.
- Ba chữ số chẵn được chọn từ $\{0,2,4,6\}$: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ bộ.
- Chữ số ở giữa phải thuộc $\{0,1,2,3\}$ và không trùng với 6 chữ số đã chọn. Chú ý chỉ các chữ số 1, 3 (trong nhóm lẻ) và 0, 2 (trong nhóm chẵn) ảnh hưởng đến lựa chọn này.

Đếm theo bộ (chưa xếp thứ tự):
- Bộ lẻ chứa cả 1 và 3 (có 2 bộ: $\{1,3,5\},\{1,3,7\}$) hoặc chứa đúng một trong hai số 1, 3 (có 2 bộ: $\{1,5,7\},\{3,5,7\}$).
- Bộ chẵn chứa cả 0 và 2 (có 2 bộ: $\{0,2,4\},\{0,2,6\}$) hoặc chứa đúng một trong hai số 0, 2 (có 2 bộ: $\{0,4,6\},\{2,4,6\}$).

Số chữ số nhỏ hơn 4 còn khả dụng cho vị trí giữa của một cặp bộ là $2-u_o-u_e$, với $u_o$ là số chữ số trong $\{1,3\}$ đã dùng bởi bộ lẻ, $u_e$ là số chữ số trong $\{0,2\}$ đã dùng bởi bộ chẵn. Tổng trên tất cả $4\times 4=16$ cặp bộ:
$$\sum (2-u_o-u_e)=16\cdot 2-\sum u_o-\sum u_e=32-(2\cdot 2+2\cdot 1)-(2\cdot 2+2\cdot 1)=32-6-6=20.$$

Vậy có 20 cách chọn (bộ lẻ, chữ số giữa, bộ chẵn). Với mỗi cách chọn, 3 chữ số lẻ xếp vào 3 vị trí đầu có $3!=6$ cách và 3 chữ số chẵn xếp vào 3 vị trí cuối có $3!=6$ cách.
$$n(A)=20\times 3!\times 3!=20\times 36=720.$$

Xác suất:
$$P(A)=\frac{720}{35280}=\frac{1}{49}\approx 0.0204=2.04\%.$$

**Kết luận:** a) $n(S)=8$, không gian mẫu có $35280$ mật mã; b) $P(A)=\frac{1}{49}\approx 2.04\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi tìm phát biểu sai. A đúng (định nghĩa xác suất cổ điển). C đúng vì $0\le P(A)\le 1$. D đúng vì $P(\overline{A})=1-P(A)$. B sai vì $P(A)=0$ khi và chỉ khi $A$ là biến cố không thể (không phải chắc chắn); biến cố chắc chắn có $P(A)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 25 nam + 21 nữ = 46 bạn. Số cách chọn 3 bạn từ 46 bạn: $C_{46}^3=15180$. Số cách chọn 3 bạn đều nam: $C_{25}^3=\frac{25\cdot 24\cdot 23}{6}=2300$. Xác suất của biến cố A: $P(A)=\frac{C_{25}^3}{C_{46}^3}=\frac{2300}{15180}\approx 0,1515\approx 0,15$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số quả cầu: 14 + 9 = 23. Số cách lấy 2 quả từ 23 quả: $C_{23}^2=\frac{23\cdot 22}{2}=253$. Số cách lấy 2 quả đều màu cam: $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$. Xác suất: $P=\frac{36}{253}\approx 0.1423\approx 0.14$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,14).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là tập bạn biết chơi Guitar (20 bạn), $B$ là tập bạn biết hát Bolero (17 bạn), $A\cap B$ có 8 bạn. Số bạn có ít nhất một trong hai kỹ năng là $n(A\cup B)=20+17-8=29$. Xác suất chọn được bạn có ít nhất một kỹ năng là $P=\frac{29}{45}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: lấy ngẫu nhiên 2 quả từ 20 quả, $n(\Omega )=C(20,2)=190$. Biến cố $A$: '2 quả đều màu xanh', $n(A)=C(8,2)=28$. Vậy $P(A)=\frac{28}{190}=\frac{14}{95}\approx 0,1474\approx 0,15$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,15.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi gieo xúc xắc: $\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$. Gọi $B$ là biến cố 'số chấm xuất hiện là số nguyên tố': $B=\{2;3;5\}$, nên $P(B)=\frac{3}{6}$. Gọi $A$ là biến cố 'số chấm xuất hiện là số lẻ': $A=\{1;3;5\}$. Xác suất cần tính là $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{|\{3;5\}|}{|\{2;3;5\}|}=\frac{2}{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 36 kết quả. Xác suất không có lần nào ra mặt 6 là $(5/6{)}^2=25/36$. Vậy xác suất ít nhất một lần ra mặt 6 là $1-25/36=11/36$. Đáp án C.