Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Lượng canxi từ $x$ lạng đậu nành là $277x$ mg, từ $y$ lạng thịt bò là $18y$ mg. Nhu cầu tối thiểu 1000 mg nên bất phương trình là $277x+18y\ge 1000$, tức $b=277$, $a=1000$. Suy ra $T=\frac{a}{2}-b=\frac{1000}{2}-277=500-277=223$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(1;0)$ và $(0;3)$ nên có phương trình: $\frac{x}{1}+\frac{y}{3}=1\iff 3x+y=3$. Miền không bị gạch nằm về phía bên phải của $d$ (phía không chứa gốc tọa độ $O$). Thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0+0=0<3$, mà $O$ thuộc miền bị gạch, vậy miền không bị gạch (không kể $d$) là miền thỏa $3x+y>3$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1003, Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn. b) Sai: thay $(-1;2)$ vào $x\ge 0$ ta được $-1\ge 0$ sai, nên $(-1;2)$ không là nghiệm của hệ. c) Đúng: thay $O(0;0)$ vào $2x+3y\le 6$ được $0\le 6$ đúng, nên nửa mặt phẳng bờ $d_1:2x+3y=6$ chứa $O$ (kể cả $d_1$) là miền nghiệm của $2x+3y\le 6$. d) Đúng: miền nghiệm của hệ là phần chung của ba miền: phía dưới $d_1$, phía trên $d_2:2x-3y=1$ và nửa mặt phẳng $x\ge 0$; đây là tam giác với ba đỉnh $(0;2)$, $(0;-\frac{1}{2})$ và giao điểm của $d_1,d_2$ là $\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$, đúng như hình (phần không bị gạch). Khớp đáp án nguồn: a Đ, b S, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ (I) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1,y=2$: bất phương trình $2x+3y\le 6$ thỏa ($4\le 6$) nhưng $x\ge 0$ không thỏa vì $-1<0$. Vậy $(-1;2)$ không là nghiệm của hệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $2\cdot 0+3\cdot 0=0\le 6$, điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của $2x+3y\le 6$, tức nửa mặt phẳng bờ $d_1$ chứa $O$ (kể cả $d_1$ do dấu $\le$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ là giao của: nửa mặt phẳng dưới $d_1:2x+3y=6$, nửa mặt phẳng trên $d_2:2x-3y=1$ và nửa mặt phẳng $x\ge 0$. Đây là miền tam giác với các đỉnh $(0;2)$, $(0;-\frac{1}{2})$, $\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$, đúng như phần không bị gạch trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Lượng canxi từ $x$ lạng đậu nành là $277x$ mg, từ $y$ lạng thịt bò là $18y$ mg. Nhu cầu tối thiểu 1000 mg nên bất phương trình là $277x+18y\ge 1000$, tức $a=1000$, $b=277$. Suy ra $T=\frac{a}{2}-b=\frac{1000}{2}-277=500-277=223$.

Đường thẳng d đi qua hai điểm (0; 3) và (1; 0) nên có phương trình: $\frac{x}{1}+\frac{y}{3}=1\iff 3x+y=3$. Miền bị gạch là nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng d (chứa điểm có tọa độ âm), còn nửa mặt phẳng không bị gạch là phần bên phải đường thẳng d. Lấy điểm đại diện thuộc miền không bị gạch, ví dụ (2; 0): $3\cdot 2+0=6>3$. Vậy miền không bị gạch (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình $3x+y>3$. (Lời giải do AI solution agent cung cấp; đáp án A khớp bảng đáp án chính thức mã đề 1001, Câu 7, trang 9.)

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 1002, trang 7.)

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Lan mua 10 cây bút, mỗi cây 6000 đồng nên số tiền mua bút là $10\times 6000=60000$ đồng. Số tiền còn lại để mua tập là $150000-60000=90000$ đồng. Giá mỗi quyển tập là 8000 đồng nên số quyển tập tối đa là $\lfloor \frac{90000}{8000}\rfloor =\lfloor 11,25\rfloor =11$ quyển (vì 12 quyển cần $12\times 8000=96000>90000$ đồng). Vậy đáp án là 11, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, Phần III câu 2 = 11).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Lan mua 10 cây bút với giá 6000 đồng/cây, số tiền còn lại là $150000-10\cdot 6000=90000$ đồng. Số quyển tập tối đa là $\lfloor \frac{90000}{8000}\rfloor =\lfloor 11,25\rfloor =11$ quyển (vì 12 quyển cần 96000 đồng > 90000 đồng). Kết quả trùng với đáp án nguồn: 11.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ: $2x+y\le 3$, $x-y\ge 0$, $y\ge 0$.

a) $(1;2)$: $2\cdot 1+2=4>3$ vi phạm bất phương trình đầu nên $(1;2)$ không là nghiệm → Sai.

b) $(m;1)$: $2m+1\le 3\iff m\le 1$; $m-1\ge 0\iff m\ge 1$; $y=1\ge 0$. Vậy $m=1$ là giá trị duy nhất, không phải 2 giá trị → Sai.

c) Miền nghiệm là tam giác $O(0;0)$, $A(1;1)$ (giao $2x+y=3$ và $x=y$), $B(3/2;0)$ (giao $2x+y=3$ và $y=0$). $F=2x+3y$: $F(O)=0$, $F(A)=5$, $F(B)=3$. Vậy $\max F=5$ → Đúng.

d) Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(1;1)$, $B(3/2;0)$ như hình → Đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S - b) S - c) Đ - d) Đ.

a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(1;2)$: $2\cdot 1+2=4>3$, vi phạm $2x+y\le 3$ nên không là nghiệm.

b) (AI giải đề cho tôi)
$(m;1)$ là nghiệm khi $2m+1\le 3$ và $m-1\ge 0$, tức $m\le 1$ và $m\ge 1$, suy ra $m=1$. Chỉ có 1 giá trị nguyên, không phải 2.

c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có đỉnh $O(0;0)$, $A(1;1)$, $B(3/2;0)$. $F=2x+3y$ đạt giá trị tại đỉnh: $0$, $5$, $3$. Vậy $\max F=5$.

d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác tô đậm với đỉnh $O(0;0)$, $A(1;1)$, $B(3/2;0)$ đúng như hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên: $3x+y=3$ đi qua hai điểm $(1;0)$ và $(0;3)$ (cắt trục $Ox$ tại $x=1$, cắt trục $Oy$ tại $y=3$). Thử điểm gốc $O(0;0)$: $3\cdot 0+0=0<3$, nên gốc tọa độ không thuộc miền nghiệm. Do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3x+y=3$ (bao gồm bờ vì dấu $\ge$) không chứa gốc tọa độ. Trong các hình, chỉ có phương án A vẽ đường thẳng qua $(1;0)$ và $(0;3)$ với phần gạch chéo nằm phía không chứa gốc $O$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}3x+y\ge 6\\ x\ge y-3\end{array}$. Điểm $(0;0)$: $3\cdot 0+0=0<6$ → loại A. Điểm $(2;1)$: $3\cdot 2+1=7\ge 6$ và $2\ge 1-3=-2$ → thỏa cả hai bất phương trình. Điểm $(1;1)$: $3\cdot 1+1=4<6$ → loại C. Điểm $(1;2025)$: $3\cdot 1+2025=2028\ge 6$ nhưng $1\ge 2025-3=2022$ sai → loại D. Vậy miền nghiệm chứa điểm $(2;1)$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bất phương trình $3x+y\ge 3$. Đường thẳng bờ là $3x+y=3$, tức $y=-3x+3$, đi qua hai điểm $(1;0)$ và $(0;3)$. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng này (kể cả bờ) không chứa gốc tọa độ $O(0;0)$ vì $3\cdot 0+0=0<3$, tức là phía trên-trái đường thẳng (thử điểm $(0;4)$: $3\cdot 0+4=4\ge 3$ đúng).
- Hình A: đường thẳng qua $(-1;0)$ và $(0;3)$, tức $y=3x+3$ (bất phương trình $-3x+y\ge 3$) → sai.
- Hình B: đường thẳng qua $(-1;0)$ và $(0;-3)$ → sai.
- Hình C: đường thẳng qua $(-1;0)$ và $(0;3)$, miền gạch ở phía dưới-phải → sai.
- Hình D: đường thẳng qua $(1;0)$ và $(0;3)$, tức $y=-3x+3$, phần gạch chéo phía trên-trái đường thẳng (không chứa $O$) → đúng là miền nghiệm của $3x+y\ge 3$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Miền ràng buộc là tam giác với các đỉnh: giao của $y=0$ và $x+y=1$ là $(1;0)$; giao của $y=0$ và $-3x+y=9$ là $(-3;0)$; giao của $x+y=1$ và $-3x+y=9$: trừ hai phương trình được $-4x=8\Rightarrow x=-2$, $y=3$, tức $(-2;3)$. Tính $F=4x+3y$ tại các đỉnh: $F(1;0)=4$, $F(-3;0)=-12$, $F(-2;3)=1$. Vậy $\min F=-12$ đạt tại $(-3;0)$, khớp với đáp án nguồn.

Giải. Gọi $x,y$ lần lượt là số bút bi và bút chì bạn Lan có thể mua ($x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Theo bài ra ta có: $4x+5y\le 20$. Ta lấy gốc tọa độ $O(0;0)$ và tính $4.0+5.0-20\le 0$. Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $d$ (miền nghiệm là miền không bị gạch sọc).
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]
Vì $x,y\ge 1$ nên các cặp $(x,y)$ thoả mãn là $(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(3,1)$. Vậy bạn Lan có thể mua được nhiều nhất 4 bút cả hai loại. (Điểm: 0.25; 0.25)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường biên trong hình là: đường thẳng $x+y=0$ (đi qua gốc $O$) và đường thẳng $y=3x-2$ (tức $3x-y=2$, đi qua $(0;-2)$), cắt nhau tại $(0,5;-0,5)$. Phần không tô đậm (không chứa biên) là góc phía trên nằm giữa hai đường, tức phần nằm phía trên cả hai đường biên. Thử điểm trong miền, ví dụ $(0;2)$: $3\cdot 0-2=-2<2$ và $0+2=2>0$, thỏa mãn cả hai bất phương trình của hệ ở phương án B. Kiểm tra với các phương án khác: A yêu cầu $x+y<0$ (sai vì miền có $x+y>0$); C yêu cầu $3x+y>-2$ (tại $(0;2)$: $2>-2$ đúng nhưng miền thực chất bị chặn bởi $3x-y=2$, không phải $3x+y=-2$); D yêu cầu $3x-y>2$ (sai vì tại $(0;2)$ có $3x-y=-2<2$). Vậy miền nghiệm là $\{\begin{array}{l}3x-y<2\\ x+y>0\end{array}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 5): B.

Giải. Gọi $x,y$ lần lượt là số vở và bút bạn An có thể mua ($x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Theo bài ra ta có: $6x+8y\le 30$. Ta lấy gốc tọa độ $O(0;0)$ và tính $6.0+8.0-30\le 0$. Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $d$ (miền nghiệm là miền không tô màu).
[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
Vì $x,y\ge 1$ nên các cặp $(x,y)$ thỏa mãn là $(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(3,1)$. Vậy bạn Lan có thể mua được nhiều nhất 3 chiếc bút sao cho có cả hai loại. (Điểm: 0.25; 0.25)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường biên là $2x+y=3$ (đi qua $(0;3)$ và $(1,5;0)$) và $x-y=-1$ tức $y=x+1$ (đi qua $(0;1)$ và $(1;2)$). Miền không tô đậm là góc giữa hai đường nằm về phía phải giao điểm $(\frac{2}{3};\frac{5}{3})$. Lấy điểm thử $(1;1,5)$ thuộc miền này: $2(1)+1,5=3,5>3$ và $1-1,5=-0,5>-1$. Vậy miền nghiệm là $\{\begin{array}{l}2x+y>3\\ x-y>-1\end{array}$, khớp đáp án A đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên trong hình đi qua hai điểm $(0;-2)$ và $\left(\frac{2}{3};0\right)$, nên có phương trình: $\frac{x}{2/3}+\frac{y}{-2}=1\iff 3x-6=y\iff -3x+y=-2$. Loại ngay các phương án A, C vì biên $2x+y=1$ không khớp hình vẽ. Nửa mặt phẳng bị gạch là phần bên trái đường thẳng, chứa gốc tọa độ $O(0;0)$ (vì $-3\cdot 0+0=0>-2$). Theo đề, miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng không bị gạch, tức phần bên phải đường thẳng (không chứa $O$). Thử điểm không bị gạch, ví dụ $(1;0)$: $-3\cdot 1+0=-3\le -2$; còn điểm bị gạch $O(0;0)$ cho $0>-2$ nên không thỏa. Đường biên vẽ nét liền nên bất phương trình lấy dấu $\le$. Vậy miền nghiệm không bị gạch là $-3x+y\le -2$, tương ứng phương án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 424, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vẽ đường thẳng $2x+y=-2$: đi qua hai điểm $(-1,0)$ và $(0,-2)$. Vì $2(0)+0=0>-2$ nên gốc tọa độ $O(0;0)$ không thỏa bất phương trình, do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, tức nửa mặt phẳng nằm phía dưới (về phía trái) đường thẳng $2x+y=-2$, phần gạch chéo gồm cả bờ (vì dấu là $\le$, bờ vẽ nét liền). Miền nghiệm: $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:2x+y\le -2\}$ — nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $2x+y=-2$ (nét liền), chứa các điểm như $(-2,0)$, $(0,-3)$, không chứa $O(0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên trong hình đi qua hai điểm $(\frac{2}{3};0)$ và $(0;-2)$, nên có phương trình $y=3x-2$, tức $-3x+y=-2$.

Kiểm tra miền: tại gốc tọa độ $O(0;0)$ ta có $-3\cdot 0+0=0>-2$, và phần bị gạch là phần bên trái đường thẳng chứa gốc tọa độ, tức miền $-3x+y>-2$. Do đó nửa mặt phẳng KHÔNG bị gạch là phần bên phải đường thẳng, ứng với $-3x+y\le -2$ (ví dụ điểm $(1;0)$: $-3\cdot 1+0=-3\le -2$).

Đường thẳng biên được vẽ nét liền nên miền nghiệm lấy cả các điểm thuộc đường thẳng (dấu $\le$). Vậy miền không bị gạch biểu diễn miền nghiệm của $-3x+y\le -2$, khớp với đáp án nguồn D.