Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $m,n$ lần lượt là số xe loại $A$ và loại $B$ ($m,n\in \mathbb{N}$). Theo kế hoạch, cửa hàng nhập tổng cộng 110 chiếc xe nên $$m+n=110,m=110-n.$$ Số tiền nhập xe là $30m+50n$ (triệu đồng) và không quá 4 tỉ đồng $=4000$ triệu đồng, nên $$30m+50n\le 4000⟺3m+5n\le 400.$$ Thay $m=110-n$: $$3(110-n)+5n\le 400⟺330+2n\le 400⟺n\le 35.$$ Điều kiện $n\le 35$, $n\in \mathbb{N}$ hoàn toàn khả thi (ví dụ $n=35$, $m=75$: chi phí $=30\cdot 75+50\cdot 35=2250+1750=4000$ triệu đồng $=4$ tỉ đồng, vừa đúng giới hạn). Vậy tổng số xe nhập theo kế hoạch là $m+n=110$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá mỗi ly 'Giọt lệ thiên thần': $600000:4=150000$ đồng. Giá mỗi ly 'Giọt lệ ác quỷ': $540000:3=180000$ đồng. Tổng chi phí hàng tháng: $6000000+8000000+3000000=17000000$ đồng. Doanh thu tháng là $150000x+180000y$ (đồng). Cửa hàng có lãi khi doanh thu lớn hơn chi phí: $150000x+180000y>17000000$. Chia hai vế cho $10000$: $15x+18y>1700$, tức điều kiện không có lãi (bù của nó) là $15x+18y\le 1700$. Vậy bất phương trình có dạng $ax+by\le 1700$ với $a=15$, $b=18$ (đề bài trình bày dưới dạng bù; hệ số đặc trưng là $a=15,b=18$). Suy ra $T=2a+b=2\cdot 15+18=48$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ (I): 3x+2y≥9; x−2y≤3; x+y≤6; x≥1.

Các đỉnh của miền nghiệm: giao của 3x+2y=9 với x=1 là (1;3); giao của x+y=6 với x=1 là (1;5); giao của 3x+2y=9 với x+y=6 là (3;3). Kiểm tra x−2y≤3 tại cả ba điểm đều thỏa (−5≤3, −9≤3, −3≤3). Vậy miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh (1;3), (1;5), (3;3).

a) Đúng: miền nghiệm là miền tam giác (kể cả biên) với các đỉnh nêu trên.

b) Thử (3;2): 3·3+2·2=13≥9; 3−4=−1≤3; 3+2=5≤6; 3≥1. Điểm thỏa mọi bất phương trình nên là nghiệm. Đúng.

c) F=3x−y trên tam giác: F(1;3)=0, F(1;5)=−2, F(3;3)=6. Giá trị lớn nhất là 6 tại (3;3), không phải tại (1;3) (F=0). Sai.

d) Giá trị nhỏ nhất của F=3x−y là −2 tại (1;5), tức x=1, y=5. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh (1;3), (1;5), (3;3) nên là miền tam giác.
b) (AI giải đề cho tôi)
(3;2) thỏa cả bốn bất phương trình: 13≥9, −1≤3, 5≤6, 3≥1.
c) (AI giải đề cho tôi)
F đạt max bằng 6 tại (3;3); tại (1;3) thì F=0, không phải max.
d) (AI giải đề cho tôi)
F(1;5)=−2 là giá trị nhỏ nhất trên tam giác (so với 0 tại (1;3) và 6 tại (3;3)).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$, $y$ là số gói thực phẩm $X$, $Y$ dùng mỗi ngày. Canxi: $20x+20y\ge 240\iff x+y\ge 12$; sắt: $20x+10y\ge 160\iff 2x+y\ge 16$; vitamin $B$: $10x+20y\ge 140\iff x+2y\ge 14$; cùng điều kiện $0\le x\le 12$, $0\le y\le 12$.
a) Hệ bất phương trình đúng như đề. Đúng.
b) Các đỉnh miền nghiệm: giao $x+y=12$ với $2x+y=16$ là $(4;8)$; giao $x+y=12$ với $x+2y=14$ là $(10;2)$; giao $2x+y=16$ với $x+2y=14$ là $(6;4)$ nhưng $x+y=10<12$ nên không thuộc miền; $x=12$ với $x+2y=14$ cho $(12;1)$; $y=12$ với $2x+y=16$ cho $(2;12)$; cùng đỉnh $(12;12)$. Vậy miền có 5 đỉnh: $(4;8)$, $(2;12)$, $(12;12)$, $(12;1)$, $(10;2)$ — là ngũ giác. Đúng.
c) Chi phí $F=20x+25y$ (nghìn đồng). Tại các đỉnh: $(4;8)$: 280; $(2;12)$: 340; $(12;12)$: 540; $(12;1)$: 265; $(10;2)$: 250. Giá trị nhỏ nhất 250 nghìn đồng tại $(10;2)$, tức 10 gói $X$ và 2 gói $Y$. Đúng.
d) Tại $(10;8)$: $x+y=18\ge 12$, $2x+y=28\ge 16$, $x+2y=26\ge 14$, $0\le 10\le 12$, $0\le 8\le 12$ — thỏa mọi bất phương trình, nên $(10;8)$ thuộc miền nghiệm. Khẳng định "$(10;8)$ không thuộc miền nghiệm" sai.
Tóm lại: a) Từ yêu cầu canxi, sắt, vitamin $B$ và giới hạn 12 gói mỗi loại ta được đúng hệ đã cho. b) Miền nghiệm có 5 đỉnh $(4;8)$, $(2;12)$, $(12;12)$, $(12;1)$, $(10;2)$ nên là ngũ giác. c) $F=20x+25y$ đạt min 250 nghìn đồng tại $(10;2)$. d) $(10;8)$ thỏa mọi bất phương trình của hệ nên thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao của các đường thẳng: $d_1:x-y=1$, $d_2:x+4y=-9$, $d_3:x-2y=-3$.
- $d_1\cap d_2$: $x=y+1\Rightarrow 5y+1=-9\Rightarrow y=-2,x=-1$, đỉnh $A(-1;-2)$.
- $d_1\cap d_3$: $x=y+1\Rightarrow -y+1=-3\Rightarrow y=4,x=5$, đỉnh $B(5;4)$.
- $d_2\cap d_3$: $x=-9-4y\Rightarrow -9-6y=-3\Rightarrow y=-1,x=-5$, đỉnh $C(-5;-1)$.

Miền nghiệm (với $y\ge x-1$, $y\ge \frac{-9-x}{4}$, $y\le \frac{x+3}{2}$) là tam giác $ABC$ có các đỉnh trên. Giá trị $T=3x-2y-4$ tại các đỉnh:
- $T(A)=3(-1)-2(-2)-4=-3$.
- $T(B)=3(5)-2(4)-4=3$.
- $T(C)=3(-5)-2(-1)-4=-17$.

Vậy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất $-17$ tại $(x_0;y_0)=(-5;-1)$. Do đó $x_0^2+y_0^2=25+1=26$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ (*) là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- $3x-y=-1$ và $2x+y=6$: cộng hai phương trình được $5x=5\Rightarrow x=1,y=4$, điểm $A(1;4)$, thỏa $x+3y=13\ge 3$.
- $2x+y=6$ và $x+3y=3$: từ $x=3-3y$ thay vào được $6-5y=6\Rightarrow y=0,x=3$, điểm $B(3;0)$, thỏa $3x-y=9\ge -1$.
- $3x-y=-1$ và $x+3y=3$: từ $y=3x+1$ thay vào được $10x+3=3\Rightarrow x=0,y=1$, điểm $C(0;1)$, thỏa $2x+y=1\le 6$.

Vì $f(x;y)=2x-3y+1$ là hàm tuyến tính nên giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đạt tại đỉnh của miền tam giác:
- $f(A)=f(1;4)=2-12+1=-9$.
- $f(B)=f(3;0)=6-0+1=7$.
- $f(C)=f(0;1)=0-3+1=-2$.

Vậy $\max f=f(3;0)=7$ và $\min f=f(1;4)=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số đơn vị vitamin $A$ và $B$ dùng mỗi ngày. Hệ ràng buộc:
$$400\le x+y\le 1000,0\le x\le 600,0\le y\le 500,\frac{x}{2}\le y\le 3x.$$
Chi phí $P=9x+7,5y$ cần nhỏ nhất.

Vì giá mỗi đơn vị $A$ (9 đồng) cao hơn $B$ (7,5 đồng), ta xét các đỉnh của miền nghiệm:
- Giao $y=3x$ với $x+y=400$: $x=100,y=300$ (thỏa mọi ràng buộc), $P=900+2250=3150$ đồng.
- Giao $y=\frac{x}{2}$ với $x+y=400$: $x=\frac{800}{3},y=\frac{400}{3}$, $P=2400+1000=3400$ đồng.
- Giao $y=500$ với $y=3x$: $x=\frac{500}{3}$, $P=1500+3750=5250$ đồng.
- Giao $y=500$ với $x+y=1000$: $x=500$, $P=8250$ đồng.
- Giao $x=600$ với $x+y=1000$: $x=600,y=400$, $P=8400$ đồng; với $y=\frac{x}{2}$: $x=600,y=300$, $P=7650$ đồng.

So sánh, chi phí nhỏ nhất là $3150$ đồng tại $x=100,y=300$. Vậy mỗi ngày nên dùng 100 đơn vị vitamin $A$ và 300 đơn vị vitamin $B$, chi phí rẻ nhất là 3150 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số máy hai chiều và một chiều ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc: $20x+10y\le 1200$ (triệu đồng), $x+y\le 100$. Lợi nhuận $P=3,5x+2y$ (triệu đồng).

Vì tổng số máy không quá 100 và vốn cho phép mua thêm máy hai chiều (đắt hơn nhưng lợi nhuận/máy cao hơn: $3,5>2$ triệu/máy), ta dùng hết chỉ tiêu số máy: $y=100-x$. Khi đó vốn: $20x+10(100-x)\le 1200\iff 10x\le 200\iff x\le 20$.

Lợi nhuận: $P=3,5x+2(100-x)=200+1,5x$, tăng theo $x$ nên lớn nhất tại $x=20$, khi đó $y=80$, $P=230$ triệu đồng (vốn dùng đúng $1200$ triệu).

Vậy $x+y=20+80=100$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ (I): 3x+2y≥9, x−2y≤3, x+y≤6, x≥1.

Các đỉnh của miền nghiệm: giao x=1 với x−2y=3 là (1;−1); giao 3x+2y=9 với x−2y=3 là (3;0); giao x−2y=3 với x+y=6 là (5;1); giao x=1 với x+y=6 là (1;5). Miền nghiệm là tứ giác (không phải tam giác) với 4 đỉnh (1;−1), (3;0), (5;1), (1;5).

(a) Sai: miền nghiệm là tứ giác, không phải tam giác.

(b) Đúng: tại (3;2): 3·3+2·2=13≥9; 3−4=−1≤3; 3+2=5≤6; x=3≥1 — thỏa mọi bất phương trình.

(c) Sai: F=3x−y tại các đỉnh: (1;−1): 4; (3;0): 9; (5;1): 14; (1;5): −2. Giá trị lớn nhất là 14 tại (5;1), không phải tại (1;3) (F=0).

(d) Đúng: giá trị nhỏ nhất của F=3x−y trên miền là −2, đạt tại đỉnh (1;5), và (1;5) thỏa mãn hệ: 3+10=13≥9; 1−10=−9≤3; 1+5=6≤6; x=1≥1.
a) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh (1;−1), (3;0), (5;1), (1;5), không phải miền tam giác.
b) (AI giải đề cho tôi)
(3;2) thỏa cả bốn bất phương trình: 13≥9, −1≤3, 5≤6, 3≥1.
c) (AI giải đề cho tôi)
F=3x−y đạt max bằng 14 tại (5;1). Tại (1;3) có F=0, không phải giá trị lớn nhất.
d) (AI giải đề cho tôi)
F=3x−y đạt min bằng −2 tại (1;5), điểm này thỏa mãn hệ (I).

(AI giải đề cho tôi)
Lượng protein: 26x + 22y phải nằm trong [56; 91] g; không ăn thịt nhiều hơn cá nên x ≤ y; x ≥ 0, y ≥ 0.
a) Đúng: hệ bất phương trình được viết đúng như đề.
b) Sai: miền nghiệm có 4 đỉnh: (0; 28/11) = (0; 56/22) (giao x = 0 với 26x + 22y = 56), (0; 91/22) (giao x = 0 với 26x + 22y = 91), (91/48; 91/48) (giao x = y với 26x + 22y = 91), (7/6; 7/6) (giao x = y với 26x + 22y = 56). Vậy miền nghiệm là tứ giác, không phải ngũ giác.
c) Đúng: tại (1; 2): 26·1 + 22·2 = 70 ∈ [56; 91] và 1 ≤ 2, thỏa mọi bất phương trình nên (1; 2) thuộc miền nghiệm.
d) Sai: trên miền nghiệm tồn tại các điểm với x = 0, ví dụ (0; 56/22) thỏa mọi bất phương trình (26·0 + 22·(56/22) = 56, 0 ≤ 56/22, y ≥ 0). Do đó hoành độ bé nhất trên miền nghiệm bằng 0, nhỏ hơn 91/48 ≈ 1,896. Vậy B(91/48; 91/48) không phải điểm có hoành độ bé nhất — mệnh đề Sai. (Lưu ý: (7/6; 7/6) chỉ là điểm có x bé nhất trên đường x = y, không phải trên toàn miền nghiệm.)
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) 26x + 22y ∈ [56; 91], x ≤ y (không ăn thịt nhiều hơn cá), x ≥ 0, y ≥ 0 — hệ viết đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Miền nghiệm có 4 đỉnh: (0; 56/22), (0; 91/22), (91/48; 91/48), (7/6; 7/6) — là tứ giác, không phải ngũ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) 26·1 + 22·2 = 70 thỏa 56 ≤ 70 ≤ 91 và 1 ≤ 2 nên (1; 2) thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên miền nghiệm có x = 0 (ví dụ điểm (0; 56/22) với 26·0 + 22·(56/22) = 56 thỏa mọi bất phương trình), nên hoành độ bé nhất trên miền nghiệm bằng 0, nhỏ hơn 91/48 ≈ 1,896. Vậy B không phải điểm có hoành độ bé nhất — mệnh đề Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại hệ: $x-y\ge -4$, $x+y\le 0$, $x\le 0$, $y\ge -2$. Xét các đường thẳng biên: $x-y+4=0$, $x+y=0$, $x=0$, $y=-2$.

Tìm các đỉnh của miền nghiệm:
- Giao $x=0$ và $y=-2$: điểm $(0;-2)$. Thử: $x+y=-2\le 0$, $x-y+4=6\ge 0$ — thỏa.
- Giao $x=0$ và $x+y=0$: điểm $(0;0)$. Thử: $x-y+4=4\ge 0$, $y+2=2\ge 0$ — thỏa.
- Giao $x+y=0$ và $x-y+4=0$: giải $x=-y$ và $x-y=-4$ $\Rightarrow y=2,x=-2$: điểm $(-2;2)$. Thử: $x\le 0$, $y+2=4\ge 0$ — thỏa.
- Giao $x-y+4=0$ và $y=-2$: $x+2+4=0\Rightarrow x=-2$: điểm $(-2;-2)$. Thử: $x+y=-4\le 0$, $x\le 0$ — thỏa.
- Giao $x=0$ và $x-y+4=0$: $(0;4)$ nhưng $x+y=4>0$ — không thỏa.
- Giao $x+y=0$ và $y=-2$: $(2;-2)$ nhưng $x>0$ — không thỏa.

Vậy miền nghiệm là tứ giác với 4 đỉnh $(-2;-2),(0;-2),(0;0),(-2;2)$, có 4 cạnh. Suy ra $n=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng: $x-y-1=0$, $x+4y+9=0$, $x-2y+3=0$.

- Giao của $x-y-1=0$ và $x+4y+9=0$: thay $x=y+1$ vào phương trình thứ hai: $y+1+4y+9=0\Rightarrow y=-2$, $x=-1$. Kiểm tra $x-2y+3=-1+4+3=6\ge 0$: thỏa. Đỉnh $A(-1;-2)$.
- Giao của $x-y-1=0$ và $x-2y+3=0$: thay $x=y+1$: $y+1-2y+3=0\Rightarrow y=4$, $x=5$. Kiểm tra $x+4y+9=5+16+9=30\ge 0$: thỏa. Đỉnh $B(5;4)$.
- Giao của $x+4y+9=0$ và $x-2y+3=0$: từ $x=-9-4y$, thay vào: $-9-4y-2y+3=0\Rightarrow y=-1$, $x=-5$. Kiểm tra $x-y-1=-5+1-1=-3\le 0$: thỏa. Đỉnh $C(-5;-1)$.

Vì $T=3x-2y-4$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất đạt tại một đỉnh của miền nghiệm:
- $T(A)=3(-1)-2(-2)-4=-3+4-4=-3$
- $T(B)=3(5)-2(4)-4=15-8-4=3$
- $T(C)=3(-5)-2(-1)-4=-15+2-4=-17$

Vậy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_0=-5$, $y_0=-1$, do đó $x_0^2+y_0^2=25+1=26$.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 9$ (nước lọc), $30x+10y\le 210\iff 3x+y\le 21$ (đường), $x+4y\le 24$ (hương liệu), $x,y\ge 0$. Hàm mục tiêu $P=6x+8y$. Các đỉnh của miền nghiệm: $(0;0)$, $(7;0)$, giao $x+y=9$ với $3x+y=21$ là $(6;3)$ (thỏa $x+4y=18\le 24$), giao $x+y=9$ với $x+4y=24$ là $(4;5)$ (thỏa $3x+y=17\le 21$), và $(0;6)$. Điểm giao $3x+y=21$ với $x+4y=24$ là $\left(\frac{60}{11};\frac{51}{11}\right)$ nhưng $x+y=\frac{111}{11}>9$ nên không thuộc miền nghiệm. Tính $P$: tại $(7;0)$: $42$; tại $(6;3)$: $60$; tại $(4;5)$: $64$; tại $(0;6)$: $48$. Vậy $P$ lớn nhất bằng $64$ tại $x=4,y=5$, do đó $x+y=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (trăm m²) là diện tích đậu, $y$ (trăm m²) là diện tích cà. Ràng buộc: $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 8$, $2x+3y\le 18$ (công làm). Hàm lợi nhuận $F=3x+4y$ (trăm nghìn đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0,0)$: $F=0$; $(8,0)$: $F=24$; $(0,6)$: $F=24$; giao của $x+y=8$ và $2x+3y=18$: $x=6$, $y=2$, $F=3\cdot 6+4\cdot 2=26$ (lớn nhất). Vậy trồng 600 m² đậu và 200 m² cà, thu được nhiều tiền nhất (26 triệu đồng), tổng công làm $=2\cdot 6+3\cdot 2=18$ công $\le 180$ công. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $800x+600y\ge 900\iff 8x+6y\ge 9$; $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$; $0\le x\le 1,6$; $0\le y\le 1,1$. Cần min $T=160x+110y$. Các đỉnh miền ràng buộc: giao của $8x+6y=9$ và $x+2y=2$: giải hệ được $x=0,6$, $y=0,7$, khi đó $T=160\cdot 0,6+110\cdot 0,7=96+77=173$. Kiểm tra các đỉnh khác: $(1,6;0,2)$ cho $T=278$; $(0,75;0,5)$ trên đường $8x+6y=9$ cho $T=175$. Vậy $T_{\min }=173$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: tổng đầu tư không quá 240 triệu nên $x+y\le 240$; dự án $II$ đầu tư ít nhất 40 triệu nên $y\ge 40$; dự án $I$ ít nhất gấp 3 lần dự án $II$ nên $x\ge 3y$ (kèm $x,y\ge 0$). b) Với $x=200,y=40$: $200+40=240\le 240$; $y=40\ge 40$; $200\ge 3\cdot 40=120$. Thỏa tất cả điều kiện → đúng. c) Miền nghiệm (với $x,y\ge 0$) có 3 đỉnh: giao của $x=3y$ và $y=40$ là $(120;40)$; giao của $x=3y$ và $x+y=240$ là $(180;60)$; giao của $y=40$ và $x+y=240$ là $(200;40)$. Miền là một tam giác, không phải tứ giác → sai. d) Từ $x\ge 3y$ và $y\ge 40$ ta có $x+y\ge 4y\ge 160$. Tổng nhỏ nhất là 160 triệu (khi $x=120,y=40$), không phải 220 triệu → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình mô tả đúng các điều kiện: $x+y\le 240$, $y\ge 40$, $x\ge 3y$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(200;40)$ thỏa cả ba bất phương trình: $240\le 240$, $40\ge 40$, $200\ge 120$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 3 đỉnh $(120;40)$, $(180;60)$, $(200;40)$ nên là tam giác, không phải tứ giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x+y\ge 4y\ge 160$, tổng nhỏ nhất bằng 160 triệu đồng tại $(120;40)$, không phải 220 triệu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các đường thẳng: $d_1:\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\iff 4x+3y=12$ (đi qua $(3,0),(0,4)$); $d_2:x-y+1=0$; $d_3:x+2y+3=0$; $d_4:y=-2$.

Tọa độ giao điểm và kiểm tra tính thỏa mãn cả bốn bất phương trình:
- $d_1\cap d_2$: giải $4x+3y=12$, $y=x+1$ $\Rightarrow 7x+3=12\Rightarrow x=\frac{9}{7},y=\frac{16}{7}$. Điểm $\left(\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_1\cap d_3$: $\left(\frac{33}{5};-\frac{24}{5}\right)$, nhưng $y=-\frac{24}{5}<-2$ nên bị loại.
- $d_1\cap d_4$: $y=-2\Rightarrow 4x-6=12\Rightarrow x=\frac{9}{2}$. Điểm $\left(\frac{9}{2};-2\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_2\cap d_3$: $y=x+1\Rightarrow x+2x+2+3=0\Rightarrow x=-\frac{5}{3},y=-\frac{2}{3}$. Điểm $\left(-\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_2\cap d_4$: $(-3;-2)$, nhưng $-3-4+3=-4<0$ vi phạm $x+2y+3\ge 0$, loại.
- $d_3\cap d_4$: $y=-2\Rightarrow x-4+3=0\Rightarrow x=1$. Điểm $(1;-2)$ thỏa mọi BPT.

Vậy miền nghiệm là tứ giác (kể cả biên) với các đỉnh $\left(\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$, $\left(\frac{9}{2};-2\right)$, $(1;-2)$, $\left(-\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$: phần nằm dưới hoặc trên đường thẳng $4x+3y=12$ (phía chứa gốc tọa độ vì $0\le 1$), phía dưới đường $x-y+1=0$ (phía chứa $(0,0)$ vì $1\ge 0$), phía trên đường $x+2y+3=0$ (phía chứa $(0,0)$ vì $3\ge 0$), và phía trên đường $y=-2$. Miền nghiệm là tập $\{(x,y):\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\le 1,x-y+1\ge 0,x+2y+3\ge 0,y\ge -2\}$, gồm cả biên.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng nha đam, $y$ (ha) là diện tích trồng măng tây, với $x\ge 0,y\ge 0$. Điều kiện: $x+y\le 10$ (diện tích) và $10x+30y\le 150\iff x+3y\le 15$ (số công). Số tiền thu được: $F=4x+6y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(10;0)$, $(0;5)$ và giao điểm của $x+y=10$ với $x+3y=15$: trừ hai phương trình ta được $2y=5\Rightarrow y=2,5$, $x=7,5$, tức đỉnh $(7,5;2,5)$. Tính $F$ tại các đỉnh: $F(0;0)=0$; $F(10;0)=40$; $F(0;5)=30$; $F(7,5;2,5)=4\cdot 7,5+6\cdot 2,5=30+15=45$. Vậy $F_{\max }=45$ triệu đồng, đạt khi trồng 7,5 ha nha đam và 2,5 ha măng tây (dùng đủ 10 ha và đúng 150 công).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a,b$ là số sản phẩm A và B. Bài toán: tối đa hóa $P=800a+500b$ với $2a+b\le 100$, $3a+4b\le 180$, $a,b\ge 0$ nguyên. Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;45)$: $P=22500$; $(50;0)$: $P=40000$; giao điểm hai đường thẳng: từ $b=100-2a$ thay vào $3a+4(100-2a)=180\Rightarrow -5a=-220\Rightarrow a=44$, $b=12$ (kiểm tra: nguyên vật liệu $88+12=100$, lao động $132+48=180$ đều vừa khít). Tại đây $P=800\cdot 44+500\cdot 12=41200$ nghìn đồng là lớn nhất. Vậy $a+b=44+12=56$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng nguyên liệu loại $I$ và loại $II$ cần dùng ($x,y\ge 0$, $x\le 10$, $y\le 9$).

Ràng buộc:
- Chất $A$: $20x+10y\ge 140$
- Chất $B$: $0,6x+1,5y\ge 9$

Hàm chi phí: $F=4x+3y$ (triệu đồng), cần tìm giá trị nhỏ nhất.

Miền nghiệm là tam giác (phần tam giác) với các đỉnh:
- Giao của $20x+10y=140$ và $0,6x+1,5y=9$: hệ $2x+y=14$ và $0,4x+y=6$, trừ theo vế được $1,6x=8\Rightarrow x=5$, $y=4$. Điểm $A(5;4)$, $F=20+12=32$.
- Giao $0,6x+1,5y=9$ với $x=10$: $6+1,5y=9\Rightarrow y=2$. Điểm $B(10;2)$, $F=40+6=46$.
- Giao $20x+10y=140$ với $y=9$: $20x+90=140\Rightarrow x=2,5$. Điểm $C(2,5;9)$, $F=10+27=37$.

So sánh: $F$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $A(5;4)$ với $F_{\min }=32$ triệu đồng.

Vậy cần dùng $5$ tấn nguyên liệu loại $I$ và $4$ tấn nguyên liệu loại $II$; chi phí ít nhất là $32$ triệu đồng. Kiểm tra: chất $A$: $20\cdot 5+10\cdot 4=140\ge 140$; chất $B$: $0,6\cdot 5+1,5\cdot 4=9\ge 9$; đều thỏa giới hạn cung cấp.