Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$, $ax+by+c<0$, $ax+by+c\ge 0$ hoặc $ax+by+c\le 0$ với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án:
- A: $x^2+y\ge 1$ chứa $x^2$ (bậc hai) nên không phải.
- B: $3x-2y+1=0$ là phương trình (dấu bằng), không phải bất phương trình.
- C: $xy+3y>5$ chứa $xy$ (bậc hai) nên không phải.
- D: $5x-y<0$ có dạng $ax+by+c<0$ với $a=5,b=-1$, là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ x+y\le 2\end{array}$: Điểm $(0;3)$: $y=3\ge 0$ đúng nhưng $0+3=3>2$ sai. Điểm $(-1;0)$: $y=0\ge 0$ đúng và $-1+0=-1\le 2$ đúng, nên điểm này thuộc miền nghiệm. Điểm $(-1;4)$: $-1+4=3>2$ sai. Điểm $(1;3)$: $1+3=4>2$ sai. Vậy miền nghiệm chứa điểm $(-1;0)$, khớp với đáp án B của đề.

Xác định được 02 miền nghiệm trong 4 miền nghiệm (0,25 điểm).

[Hình cần kiểm tra lại: p13_f1]

Tìm giao điểm A(0;2), B(0;0), C(5;0), D(3;3). Kết luận miền nghiệm (0,25 điểm).

Gọi $x$ là diện tích trồng dứa (ha) và $y$ là diện tích trồng củ đậu (ha). Điều kiện: $x\ge 0,y\ge 0$.

Dựa vào các dữ kiện đề bài, ta có hệ bất phương trình sau:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\end{array}$$

Hàm số doanh thu: $F(x,y)=3x+4y$ (triệu đồng). [Điểm: 0,25]

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC:

[Hình cần kiểm tra lại: p14_f1]

[Điểm: 0,25]

Giá trị lớn nhất của doanh thu $F(x,y)=3x+4y$ sẽ nằm tại một trong các đỉnh của miền nghiệm:



[Điểm: 0,25]

Để thu được nhiều tiền nhất (26 triệu đồng), hộ nông dân cần trồng: 6 ha dứa, 2 ha củ đậu. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $3x-2y\le 1$:
- $P(2;3)$: $3\cdot 2-2\cdot 3=0\le 1$ → thỏa mãn.
- $M(1;-1)$: $3\cdot 1-2\cdot (-1)=5>1$ → không thỏa.
- $N(0;-1)$: $3\cdot 0-2\cdot (-1)=2>1$ → không thỏa.
- $Q(1;0)$: $3\cdot 1-2\cdot 0=3>1$ → không thỏa.
Vậy chỉ có điểm $P(2;3)$ thuộc miền nghiệm, khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}x-2y>0\\ x+y\le 1\end{array}$: A(1;1): $1-2=-1>0$ sai. B(-1;1): $-1-2=-3>0$ sai. C(0;0): $0>0$ sai. D(1;0): $1-0=1>0$ đúng và $1+0=1\le 1$ đúng. Vậy D(1;0) là nghiệm, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác OABC với các đỉnh: O(0;0), A(0;50) (giao Oy với x+2y=100), B(20;40) (giao hai đường thẳng x+2y=100 và 2x+y=80: giải hệ được x=20, y=40), C(40;0) (giao Ox với 2x+y=80). Tính F=4x+3y tại các đỉnh: F(O)=0; F(A)=150; F(B)=4·20+3·40=200; F(C)=160. Vậy max F = 200, đạt tại B(20;40), trùng đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 102: 200).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $-2x+3y\le 4$:
- A $(-3;0)$: $-2(-3)+3(0)=6>4$ → không thuộc.
- B $(0;-3)$: $-2(0)+3(-3)=-9\le 4$ → thuộc miền nghiệm.
- C $(-2;4)$: $-2(-2)+3(4)=16>4$ → không thuộc.
- D $(2;4)$: $-2(2)+3(4)=8>4$ → không thuộc.
Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $(0;-3)$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $C(40;0)$ (giao $2x+y=80$ với $Ox$), $B(20;40)$ (giao $x+2y=100$ và $2x+y=80$), $A(0;50)$ (giao $x+2y=100$ với $Oy$). Tính $F=4x+3y$ tại các đỉnh: $F(O)=0$, $F(C)=4\cdot 40=160$, $F(B)=4\cdot 20+3\cdot 40=80+120=200$, $F(A)=3\cdot 50=150$. Vậy giá trị lớn nhất của $F$ là $200$, đạt tại $B(20;40)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 101: 200).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $-2x+3y\le 4$:
- A $(0;-3)$: $-2\cdot 0+3\cdot (-3)=-9\le 4$ — thỏa mãn.
- B $(-2;4)$: $-2\cdot (-2)+3\cdot 4=4+12=16>4$ — không thỏa.
- C $(2;4)$: $-2\cdot 2+3\cdot 4=-4+12=8>4$ — không thỏa.
- D $(-3;0)$: $-2\cdot (-3)+3\cdot 0=6>4$ — không thảa.
Vậy chỉ điểm $(0;-3)$ thuộc miền nghiệm, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng cặp vào hệ $\{\begin{array}{l}x-y<1\\ 2x+y\ge 3\end{array}$: A $(1;0)$: $1-0=1$ không nhỏ hơn 1, loại. B $(-1;1)$: $-1-1=-2<1$ đúng nhưng $2(-1)+1=-1<3$, loại. C $(2;0)$: $2-0=2$ không nhỏ hơn 1, loại. D $(0;3)$: $0-3=-3<1$ đúng và $2\cdot 0+3=3\ge 3$ đúng, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c<0$ (hoặc $\le ,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A. $2x+3y<5$ có dạng $2x+3y-5<0$ với hai ẩn $x,y$ bậc nhất, thỏa mãn. B. $\frac{1}{x}+2y-4>0$ có chứa $\frac{1}{x}$ nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. C. $2x-5y+3z\le 0$ có ba ẩn nên không phải. D. $2x+5y=3$ là phương trình (dấu bằng), không phải bất phương trình. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn.

Chọn A.

Gọi $x,y$ lần lượt là diện tích trồng dưa lê và dưa vàng $\left(ha\right)$. Ta có hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 20x+30y\le 180\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$ và tiền lãi $T=30x+40y$. Dựa vào hình vẽ ta có miền nghiệm là tứ OBCD . $B(0;6)\Rightarrow T_B=240$ triệu. $C(6;2)\Rightarrow T_C=260$ triệu. $D(8;0)\Rightarrow T_D=240$ triệu. Kết quả: 260

Chọn D. Số người xe A có thể chở tối đa là $20x$; số người xe B có thể chở tối đa là $10y$. Nên ta có bất phương trình $20x+10y\ge 150$

(AI giải đề cho tôi)
Thay $(x,y)=(2,3)$ vào từng bất phương trình:
- A: $2x-3y-1=4-9-1=-6>0$ sai, nên $(2,3)$ không là nghiệm của A.
- B: $x-y=2-3=-1<0$ đúng, là nghiệm.
- C: $4x=8<3y=9$ đúng, là nghiệm.
- D: $x-3y+7=2-9+7=0\ge 0$ đúng, là nghiệm.
Vậy cặp $(2,3)$ không là nghiệm của bất phương trình ở phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x, y là số gói thực phẩm X, Y dùng mỗi ngày (0≤x≤12, 0≤y≤12).
- Canxi: 20x+20y≥240 ⇔ x+y≥12.
- Sắt: 20x+10y≥160 ⇔ 2x+y≥16.
- Vitamin B: 10x+20y≥140 ⇔ x+2y≥14.
Vậy hệ bất phương trình ở câu a) đúng.

b) Miền nghiệm là phần giao các nửa mặt phẳng trong hình vuông [0;12]². Các đỉnh: giao của 2x+y=16 và x+2y=14 là (2;12); giao của 2x+y=16 và x+y=12 là (4;8); giao của x+y=12 và x+2y=14 là (10;2); giao của x+2y=14 với x=12 là (12;1); và đỉnh (12;12). Kiểm tra các đỉnh đều thỏa mọi ràng buộc. Miền nghiệm là ngũ giác với 5 đỉnh (2;12), (4;8), (10;2), (12;1), (12;12) → đúng.

c) Chi phí P = 20000x + 25000y (đồng). Tại các đỉnh: P(2;12)=340000; P(4;8)=280000; P(10;2)=250000; P(12;1)=265000; P(12;12)=540000. Chi phí nhỏ nhất 250000 đồng tại (10;2), tức 10 gói X và 2 gói Y → đúng.

d) Tại (10;8): x+y=18≥12; 2x+y=28≥16; x+2y=26≥14; 0≤10≤12; 0≤8≤12. Điểm (10;8) thuộc miền nghiệm nên mệnh đề 'không thuộc miền nghiệm' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Canxi: 20x+20y≥240 ⇔ x+y≥12; sắt: 20x+10y≥160 ⇔ 2x+y≥16; vitamin B: 10x+20y≥140 ⇔ x+2y≥14; cùng 0≤x≤12, 0≤y≤12. Hệ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 5 đỉnh: (2;12), (4;8), (10;2), (12;1), (12;12) nên là một ngũ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
P=20000x+25000y. Giá trị tại các đỉnh: P(2;12)=340000; P(4;8)=280000; P(10;2)=250000; P(12;1)=265000; P(12;12)=540000 (đồng). Min tại (10;2) với 250000 đồng, tức 10 gói X và 2 gói Y.
d) (AI giải đề cho tôi)
(10;8) thỏa mọi bất phương trình: 10+8=18≥12, 2·10+8=28≥16, 10+2·8=26≥14, và 0≤10,8≤12. Vậy (10;8) thuộc miền nghiệm, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bờ đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(0;-2)$ nên có phương trình $y=x-2$, tức $x-y=2$. Miền không tô đậm (kể cả bờ) nằm phía trên đường thẳng; thử điểm $O(0;0)$ thuộc miền này: $0-0=0\le 2$ thỏa mãn. Vậy miền nghiệm là $x-y\le 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm.

a) $2x-5y\ge 7$. Vẽ đường thẳng $2x-5y=7$ đi qua hai điểm $(3,5;0)$ và $(0;-1,4)$. Kiểm tra điểm $O(0;0)$: $2(0)-5(0)=0<7$ nên $O$ không thuộc miền nghiệm. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O$, bao gồm cả đường thẳng biên (nét liền). Ví dụ điểm $(7;0)$: $2(7)-0=14\ge 7$ nên thuộc miền nghiệm.

b) Hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 5x-4y\le 10\\ 4x+5y\le 10\end{array}$.
- $x\ge 0$: nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$).
- $5x-4y=10$ đi qua $(2;0)$ và $(0;-2,5)$; tại $O$: $0\le 10$ đúng nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$.
- $4x+5y=10$ đi qua $(2,5;0)$ và $(0;2)$; tại $O$: $0\le 10$ đúng nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$.
Giao của $5x-4y=10$ và $4x+5y=10$: nhân phương trình thứ nhất với 5, thứ hai với 4 rồi cộng: $25x-20y+16x+20y=50+40\Rightarrow 41x=90\Rightarrow x=\frac{90}{41}$; suy ra $y=\frac{5\cdot \frac{90}{41}-10}{4}=\frac{\frac{450}{41}-\frac{410}{41}}{4}=\frac{10}{41}$. Kiểm tra: $5\cdot \frac{90}{41}-4\cdot \frac{10}{41}=\frac{450-40}{41}=\frac{410}{41}=10$ đúng; $4\cdot \frac{90}{41}+5\cdot \frac{10}{41}=\frac{360+50}{41}=\frac{410}{41}=10$ đúng. Vậy giao điểm là $\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$.
Miền nghiệm của hệ là tam giác với ba đỉnh $(0;-2,5)$, $(0;2)$, $\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$, kể cả ba cạnh (các đường biên vẽ nét liền).

c) Hệ $\{\begin{array}{l}y\ge -2\\ x\ge 2\\ 2x+y\le 8\end{array}$.
- $y=-2$: đường thẳng song song $Ox$; miền nghiệm phía trên (kể cả đường thẳng).
- $x=2$: đường thẳng song song $Oy$; miền nghiệm bên phải (kể cả đường thẳng).
- $2x+y=8$ đi qua $(4;0)$ và $(0;8)$; tại $O$: $0\le 8$ đúng nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$ (phía dưới đường thẳng).
Ba đỉnh: giao $x=2$ và $y=-2$: $(2;-2)$; giao $x=2$ và $2x+y=8$: $(2;4)$; giao $y=-2$ và $2x+y=8$: $(5;-2)$. Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(2;-2)$, $(2;4)$, $(5;-2)$, kể cả ba cạnh.

Khi vẽ: các đường biên vẽ nét liền vì các bất phương trình đều là $\ge$ hoặc $\le$ (kể cả biên); gạch chéo phần giao của các nửa mặt phẳng tương ứng. Lưu ý: kết quả giao điểm ở câu b) là $\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$, đã kiểm tra lại bằng cách thay vào cả hai phương trình đều thỏa mãn; nhận xét cho rằng đỉnh phải là $\left(\frac{20}{9};\frac{2}{9}\right)$ là sai vì điểm đó không thỏa $5x-4y=10$ ($5\cdot \frac{20}{9}-4\cdot \frac{2}{9}=\frac{92}{9}\ne 10$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sào dâu và số sào cà ($x,y\ge 0$). Điều kiện: tổng đất $x+y\le 8$; tổng công $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$. Hàm mục tiêu: $P=3x+4y$ (triệu đồng) cần lớn nhất.

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $(0;0)$, $(8;0)$, $(0;6)$ và giao điểm của $x+y=8$ với $2x+3y=18$: giải hệ được $x=6,y=2$, tức $(6;2)$.

Tính $P$ tại các đỉnh:
- $(0;0)$: $P=0$
- $(8;0)$: $P=24$
- $(6;2)$: $P=18+8=26$? Kiểm tra lại ràng buộc công: $20\cdot 6+30\cdot 2=180$ ✓, đất $6+2=8$ ✓, $P=3\cdot 6+4\cdot 2=26$.
- $(0;6)$: $P=24$

Vậy lãi cao nhất tại $(x;y)=(6;2)$ với lãi 26 triệu đồng. Khi đó $F=2x+3y=2\cdot 6+3\cdot 2=18$.

Lưu ý: $F=2x+3y$ chính là nửa vế ràng buộc số công, và tại điểm tối ưu $(6;2)$ ta có $2x+3y=18$.