Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

Ta có
$u_{12}=u_1.q^{11}=354294$
$u_{10}=u_1.q^9=39366$
Suy ra: $q^2=\frac{u_1.q^7}{u_1.q^5}=\frac{8748}{972}=9$
Vì CSN có các số hạng đều dương nên $q>0$.
Do đó: $q=\sqrt{9}=3$.
Khi đó $u_1=\frac{u_{10}}{q^9}=\frac{39366}{3^9}=4$
Vậy $u_{26}=2.3^{25}$

Thang điểm: + Thay đúng: 0,25 đ; + Tìm đúng q: 0,25 đ; + Tính đúng $u_{26}$: 0,25 đ.

Số lượt xem hàng ngày là 1 cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3$ và công bội $q=2$.

a) Số lượt xem vào ngày thứ 7 là: $u_7=u_1\cdot q^6=3\cdot 2^6=192$.

b) Tổng số lượt xem sau 1 tuần đầu là: $S_7=\frac{u_1\left(1-q^7\right)}{1-q}=\frac{3\left(1-2^7\right)}{1-2}=381$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Dân số năm 2022 là $u_1=97,6$ triệu người, tỉ lệ tăng $r=1,14\%$ nên đây là cấp số nhân với công bội $q=1+0,0114=1,0114$.

1) Dân số sau một năm:
$$u_2=97,6\cdot 1,0114=98,71264\approx 98,7\text{ triệu người}.$$

2) Công thức tính số dân sau $n$ năm kể từ năm 2022 (cấp số nhân):
$$u_{n+1}=97,6\cdot (1,0114{)}^n\text{ (triệu người)},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

3) Năm 2030 cách năm 2022 là $n=8$ năm:
$$u_9=97,6\cdot (1,0114{)}^8\approx 97,6\cdot 1,0954\approx 106,9\text{ triệu người}.$$

Vậy dân số Việt Nam năm 2030 khoảng $106,9$ triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_4=u_2{q}^2\Rightarrow q^2=\frac{9}{4}$. Vì $q<0$ nên $q=-\frac{3}{2}$ (b đúng). Suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{4}{-3/2}=-\frac{8}{3}$ (a đúng). $u_5=u_{4}q=9\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}\ne \frac{27}{2}$ (c sai). $u_8=u_1{q}^7=\left(-\frac{8}{3}\right){\left(-\frac{3}{2}\right)}^7=\frac{729}{16}>0$, nên $-\frac{2187}{32}$ không phải số hàng thứ 8 (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{4}{-3/2}=-\frac{8}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$q^2=\frac{u_4}{u_2}=\frac{9}{4}$, vì $q<0$ nên $q=-\frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=u_{4}q=9\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}$, không phải $\frac{27}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1{q}^7=\left(-\frac{8}{3}\right){\left(-\frac{3}{2}\right)}^7=\frac{729}{16}$, khác $-\frac{2187}{32}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Dân số năm 2022 là 97,6 triệu người, tỉ lệ tăng hằng năm 1,14% nên mỗi năm dân số nhân với hệ số $q=1+0,0114=1,0114$ (cấp số nhân).

1) Dân số sau một năm:
$$u_1=97,6\cdot 1,0114=98,71264\approx 98,7\text{ triệu người}.$$

2) Dân số sau $n$ năm là số hạng thứ $n+1$ của cấp số nhân với $u_0=97,6$, công bội $q=1,0114$:
$$u_n=97,6\cdot (1,0114{)}^n\text{ (triệu người)},n\in \mathbb{N}.$$

3) Năm 2030 cách năm 2022 là $n=8$ năm:
$$u_8=97,6\cdot (1,0114{)}^8.$$
Tính $(1,0114{)}^8\approx 1,09493$, nên:
$$u_8\approx 97,6\cdot 1,09493\approx 106,9\text{ triệu người}.$$
Vậy số dân Việt Nam năm 2030 khoảng 106,9 triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số năm 2022: $u_1=97,6$ triệu người, tỉ lệ tăng $q=1+1,14\%=1,0114$, nên dân số qua các năm lập thành cấp số nhân.

1) Dân số sau một năm: $u_2=97,6\cdot 1,0114=98,71264\approx 98,7$ triệu người.

2) Công thức tính số dân sau $n$ năm kể từ năm 2022: $u_{n+1}=97,6\cdot (1,0114{)}^n$ (triệu người), với $n$ nguyên dương.

3) Năm 2030 cách năm 2022 là 8 năm: $u_9=97,6\cdot (1,0114{)}^8\approx 97,6\cdot 1,0953\approx 106,9$ triệu người.

Vậy dân số Việt Nam năm 2030 khoảng $106,9$ triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Cấp số nhân (u_n) với u_1+u_2+u_3=7 và u_5−u_2=14.

1) Ta có u_2=u_1 q, u_3=u_1 q^2, u_5=u_1 q^4.
• Phương trình thứ nhất: u_1(1+q+q^2)=7.
• Phương trình thứ hai: u_1(q^4−q)=14, tức u_1 q(q^3−1)=u_1 q(q−1)(q^2+q+1)=14.

Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất (chú ý 1+q+q^2>0 nên u_1≠0):
$$\frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2+q+1}=\frac{14}{7}=2\Rightarrow q(q-1)=2\Rightarrow q^2-q-2=0\Rightarrow q=2\text{ hoặc }q=-1.$$

Với q=2: u_1(1+2+4)=7 ⟹ u_1=1. Kiểm tra: u_5−u_2=16−2=14 ✓.
Với q=−1: u_1(1−1+1)=7 ⟹ u_1=7. Kiểm tra: u_5−u_2=7−(−7)=14 ✓.

Vậy hệ có hai nghiệm: (u_1=1, q=2) hoặc (u_1=7, q=−1).

2) u_4=u_1 q^3:
• Với u_1=1, q=2: u_4=1·8=8.
• Với u_1=7, q=−1: u_4=7·(−1)^3=−7.

3) S_20=u_1·(1−q^{20})/(1−q) với q≠1:
• Với u_1=1, q=2: S_20=(2^{20}−1)/(2−1)=2^{20}−1=1\,048\,575.
• Với u_1=7, q=−1: q^{20}=1 nên S_20=7·(1−1)/(1−(−1))=0.

Kết luận: Hệ có hai bộ nghiệm (u_1; q)=(1; 2) hoặc (7; −1); tương ứng u_4=8 hoặc u_4=−7; S_20=1\,048\,575 hoặc S_20=0.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Dân số năm 2022 là 97,6 triệu người, tỉ lệ tăng 1,14%/năm nên đây là cấp số nhân với công bội $q=1+0,0114=1,0114$.

1) Dân số sau một năm:
$$u_1=97,6\cdot 1,0114=98,71264\approx 98,7\text{ (triệu người)}.$$

2) Dân số sau $n$ năm kể từ năm 2022 là số hạng thứ $n$ của cấp số nhân có số hạng đầu $u_0=97,6$ và công bội $q=1,0114$:
$$u_n=97,6\cdot (1,0114{)}^n\text{ (triệu người)},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

3) Năm 2030 cách năm 2022 là 8 năm, nên
$$u_8=97,6\cdot (1,0114{)}^8\approx 97,6\cdot 1,0955\approx 106,9\text{ (triệu người)}.$$

Vậy dân số Việt Nam năm 2030 khoảng 106,9 triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt sàn các tầng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=12288m^2$ (mặt đáy) và công bội $q=\frac{1}{2}$ (diện tích mỗi tầng bằng nửa tầng dưới). Diện tích mặt sàn tầng trên cùng (tầng 11) là số hạng thứ 11 của cấp số nhân:
$$u_{11}=u_1\cdot q^{10}=12288\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{12288}{1024}=12(m^2).$$
Vậy diện tích mặt sàn tầng trên cùng là $12m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_6=u_1{q}^5\Rightarrow 486=2q^5\Rightarrow q^5=243=3^5\Rightarrow q=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_4=u_2{q}^2\Rightarrow 24=6q^2\Rightarrow q^2=4$. Vì các số hàng đều không âm nên $q=2$ (không nhận $q=-2$). Suy ra $u_1=u_2/q=3$. Tổng 12 số hàng đầu: $S_{12}=u_1\frac{q^{12}-1}{q-1}=3\cdot \frac{2^{12}-1}{1}=3\cdot 2^{12}-3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số lượng vi khuẩn theo thời gian $t$ (phút) là cấp số nhân với công bội $q=2$. Sau 5 phút có 64000 con nên $u_t=64000\cdot 2^{t-5}$. Cần $64000\cdot 2^{t-5}=2048000\Rightarrow 2^{t-5}=32=2^5\Rightarrow t=10$ phút. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Dân số năm 2022 là 97,6 triệu người, tỉ lệ tăng 1,14%/năm nên dân số qua các năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=97,6$ và công bội $q=1+0,0114=1,0114$.

1) Dân số sau một năm: $97,6\cdot 1,0114=98,71264\approx 98,7$ triệu người.

2) Sau $n$ năm kể từ năm 2022, dân số là số hạng thứ $n+1$ của cấp số nhân:
$$P(n)=97,6\cdot (1,0114{)}^n\text{ (triệu người)},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

3) Năm 2030 cách năm 2022 là 8 năm:
$$P(8)=97,6\cdot (1,0114{)}^8\approx 97,6\cdot 1,0955\approx 106,9\text{ triệu người}.$$
Vậy số dân Việt Nam năm 2030 khoảng 106,9 triệu người.

Gợi ý làm bài:

Ta có: $\{\begin{array}{l}{u}_4=-40\\ u_8=-640\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3=-40\\ u_1{q}^7=-640\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ q=-2\end{array}$. (0,5đ)

$u_{65}=u_1{q}^{64}=5.(-2{)}^{64}=5.2^{64}$ (0,5đ)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công bội là $q$. Vì cấp số nhân có 6 số hàng với $u_1=1$, $u_6=-243$ nên $u_6=u_1{q}^5\Rightarrow q^5=-243\Rightarrow q=-3$. Bốn số hàng xen giữa là: $u_2=-3$, $u_3=9$, $u_4=-27$, $u_5=81$. Vậy dãy là $1;-3;9;-27;81;-243$, khớp với đáp án D (đồng ý với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_2=6$, $u_4=24$ nên $q^2=\frac{u_4}{u_2}=4$. Vì các số hàng đều không âm nên $q=2$ (không nhận $q=-2$). Suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=3$. Tổng 12 số hàng đầu: $S_{12}=u_1\frac{q^{12}-1}{q-1}=3\cdot \frac{2^{12}-1}{1}=3\cdot 2^{12}-3$. Khớp với đáp án nguồn C.

Gợi ý làm bài (theo trang hướng dẫn giải, trang 11):
Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}{u}_5=u_1.q^4=16(\ast )\\ u_8=u_1.q^7=1024\end{array}$
$\Rightarrow q^3=64\Rightarrow q=4$
Thay $q=4$ vào $(\ast )$ được $u_5=u_1.4^4=16\Rightarrow u_1=\frac{1}{16}$
Suy ra: $u_{11}=u_1.q^{10}=65536$.

Đáp số: $u_{11}=65536$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị ô tô giảm 5% mỗi năm nên sau 10 năm giá trị còn lại là $800\cdot (0,95{)}^{10}$. Tính: $(0,95{)}^{10}\approx 0,5987369$, do đó $800\cdot 0,5987369\approx 478,99\approx 479$ triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả khớp với đáp án nguồn 479.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $1+x$; $9+x$; $33+x$ lập thành cấp số nhân khi $(9+x{)}^2=(1+x)(33+x)$. Khai triển: $81+18x+x^2=33+34x+x^2\Rightarrow 48=16x\Rightarrow x=3$. Thử lại: với $x=3$ ta có $4;12;36$ là cấp số nhân công bội $3$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: B).