Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
$u_1=S_1=5^1-1=4$. Với $n=2$: $u_1+u_2=S_2=25-1=24$, suy ra $u_2=20$. Vậy công bội $q=u_2/u_1=20/4=5$. Tổng $u_1+q=4+5=9$, khớp với đáp án nguồn.

a. Ta có: $S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

b. Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia đầu tiên là $U_1=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{16}$

Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia thứ 2 là $U_2=3\cdot \frac{1}{4}\cdot U_1=\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{64}$

Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia thứ 3 là $U_3=3\cdot \frac{1}{4}\cdot U_2=\frac{3}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{64}=\frac{9\sqrt{3}}{256}$

Tương tự như vậy, thì diện tích của các tam giác màu đỏ sau mỗi lần chia là 1 cấp số nhân có $\{\begin{array}{l}{U}_1=\frac{\sqrt{3}}{16}\\ q=\frac{3}{4}\end{array}$

Tổng diện tích của tam giác tô màu đỏ là $S_5=\frac{U_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{16}\left(1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5\right)}{1-\frac{3}{4}}\approx 0.33$ (đơn vị diện tích)

Vậy diện tích được tô màu trắng là $S_{△}-S_5=\frac{\sqrt{3}}{4}-0.33\approx 0.1$ (đơn vị diện tích)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=3$. Số hạng tổng quát $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$. Suy ra $u_4=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 000, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $S_n=5^n-1$: $u_1=S_1=5-1=4$; $u_2=S_2-S_1=(25-1)-4=20$. Công bội $q=u_2/u_1=20/4=5$. Vậy $u_1+q=4+5=9$, khớp đáp án nguồn.

a. Ta có: $S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

b. Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia đầu tiên là $U_1=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{16}$

Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia thứ 2 là $U_2=3\cdot \frac{1}{4}\cdot U_1=\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{64}$

Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia thứ 3 là $U_3=3\cdot \frac{1}{4}\cdot U_2=\frac{3}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{64}=\frac{9\sqrt{3}}{256}$

Tương tự như vậy, thì diện tích của các tam giác màu đỏ sau mỗi lần chia là 1 cấp số nhân có $\{\begin{array}{l}{U}_1=\frac{\sqrt{3}}{16}\\ q=\frac{3}{4}\end{array}$

Tổng diện tích của tam giác tô màu đỏ là $S_5=\frac{U_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{16}\left(1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5\right)}{1-\frac{3}{4}}\approx 0.33$ (đơn vị diện tích)

Vậy diện tích được tô màu trắng là $S_{△}-S_5=\frac{\sqrt{3}}{4}-0.33\approx 0.1$ (đơn vị diện tích)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=3$. Số hạng thứ 4: $u_4=u_1{q}^3=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2512, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $S_n=5^n-1$: $u_1=S_1=5-1=4$. Tiếp theo $u_2=S_2-S_1=(25-1)-(5-1)=20$, $u_3=S_3-S_2=(125-1)-(25-1)=100$. Kiểm tra: $20/4=5$, $100/20=5$ nên công bội $q=5$. Vậy $u_1+q=4+5=9$, khớp với đáp án nguồn (9).

a. Ta có: $S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

b. Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia đầu tiên là $U_1=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{16}$

Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia thứ 2 là $U_2=3\cdot \frac{1}{4}\cdot U_1=\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{64}$

Ta gọi diện tích của tam giác màu đỏ trong lần chia thứ 3 là $U_3=3\cdot \frac{1}{4}\cdot U_2=\frac{3}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{64}=\frac{9\sqrt{3}}{256}$

Tương tự như vậy, thì diện tích của các tam giác màu đỏ sau mỗi lần chia là 1 cấp số nhân có $\{\begin{array}{l}{U}_1=\frac{\sqrt{3}}{16}\\ q=\frac{3}{4}\end{array}$

Tổng diện tích của tam giác tô màu đỏ là $S_5=\frac{U_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{16}\left(1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5\right)}{1-\frac{3}{4}}\approx 0.33$ (đơn vị diện tích)

Vậy diện tích được tô màu trắng là $S_{△}-S_5=\frac{\sqrt{3}}{4}-0.33\approx 0.1$ (đơn vị diện tích)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=3$. Số hạng thứ 4: $u_4=u_1{q}^3=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2511, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông thứ $n$ có cạnh bằng $\frac{1}{2^n}$ nên diện tích là ${\left(\frac{1}{2^n}\right)}^2=\frac{1}{4^n}$. Tổng diện tích sau 20 hình vuông là tổng của cấp số nhân $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{4^{20}}$ với $u_1=\frac{1}{4}$, $q=\frac{1}{4}$, $n=20$: $S=\frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4^{20}}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^{20}}\right)$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án chính thức (Câu 11, Mã đề 1131: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_2=u_1\cdot q=(-2)\cdot (-5)=10$. Vậy mệnh đề đúng là $u_2=10$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1131, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ: u1(1+q^4)=51 và u1 q(1+q^4)=102, chia hai phương trình ta được q=2 (với 1+q^4≠0). Suy ra u1(1+16)=51 nên u1=3. a) ĐÚNG vì u5=u1 q^4, u2=u1 q, u6=u1 q^5. b) S8=u1(q^8−1)/(q−1)=3(256−1)=765, ĐÚNG. c) u12=u1 q^11=3·2048=6144≠12288, SAI. d) u4=u1 q^3=3·8=24≠48, SAI. Kết quả khớp đáp án nguồn: A-Đ, B-Đ, C-S, D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay u5=u1 q^4, u2=u1 q, u6=u1 q^5 vào hệ, được hệ phương trình như mệnh đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chia hai phương trình: q = 102/51 = 2; u1(1+2^4)=51 nên u1=3. S8 = 3(2^8−1)/(2−1) = 765.
c) (AI giải đề cho tôi)
u12 = u1 q^11 = 3·2^11 = 6144 ≠ 12288.
d) (AI giải đề cho tôi)
u4 = u1 q^3 = 3·8 = 24 ≠ 48.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có công bội $q\ne 1$: $S_n=u_1+u_{1}q+\dots +u_1{q}^{n-1}=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$. Kiểm tra: với $n=1$, $S_1=u_1\frac{1-q}{1-q}=u_1$ đúng. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1131, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng dãy: A: $-2/1=-2$, $11/-2=-5,5$ (không không đổi) → không phải cấp số nhân. B: $-2/-1=2$, $-4/-2=2$, $-8/-4=2$ → công bội $q=2$ không đổi, là cấp số nhân. C: $16/8=2$, $32/16=2$, $65/32\ne 2$ → không phải. D: $6/4=1,5$, $8/6\ne 1,5$ → không phải (đây là cấp số cộng). Vậy dãy $-1;-2;-4;-8$ là cấp số nhân, khớp đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 469).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=4$, $q=-3$, $n=10$. Tổng: $S_{10}=u_1\cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}=4\cdot \frac{1-(-3{)}^{10}}{1-(-3)}=4\cdot \frac{1-59049}{4}=1-59049=-59048$. Vậy $S=-59048$, khớp đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 469, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu 6 tháng đầu là 24 tỷ. Từ tháng 7, doanh thu lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=4,2\cdot 1,12=4,704$ (tỷ đồng), công bội $q=1,12$, gồm 6 tháng (tháng 7 đến tháng 12). Tổng doanh thu 6 tháng cuối: $S=u_1\cdot \frac{q^6-1}{q-1}=4,704\cdot \frac{1,12^6-1}{0,12}$. Vì $1,12^6\approx 1,9738$ nên $S\approx 4,704\cdot \frac{0,9738}{0,12}\approx 38,17$ tỷ đồng. Doanh thu cả năm: $24+38,17\approx 62,2$ tỷ đồng (làm tròn đến 1 chữ số thập phân). Kết quả khớp với đáp án nguồn 62,2.

* $\{\begin{array}{l}q=-2\\ u_1.q^5=16\end{array}$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}q=-2\\ u_1=-\frac{1}{2}\end{array}$ — 0,25

* $u_n=1024\iff \left(-\frac{1}{2}\right).{\left(-2\right)}^{n-1}=1024$ — 0,25

* ${\left(-2\right)}^{n-1}=-2048\iff {\left(-2\right)}^{n-1}={\left(-2\right)}^{11}\iff n=12$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A: $16/8=2$ nhưng $65/32\ne 2$, không là cấp số nhân. B: $-2/(-1)=2$, $-4/(-2)=2$, $-8/(-4)=2$, công bội $q=2$ nên là cấp số nhân. C: $-2/1=-2$ nhưng $11/(-2)\ne -2$, không là cấp số nhân. D: $6/4\ne 8/6$, không là cấp số nhân. Vậy dãy $-1;-2;-4;-8$ là cấp số nhân với công bội $q=2$, khớp đáp án nguồn (mã đề 357, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu 6 tháng đầu năm là 18 tỷ đồng. Từ tháng 7 đến tháng 12, doanh thu lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3,5$ (tháng 6) và công bội $q=1,08$. Tổng doanh thu 6 tháng cuối năm là:
$$S=3,5\cdot 1,08+3,5\cdot 1,08^2+\cdots +3,5\cdot 1,08^6=3,5\cdot 1,08\cdot \frac{1,08^6-1}{1,08-1}$$
Với $1,08^6\approx 1,586874$:
$$S\approx 3,5\cdot 1,08\cdot \frac{0,586874}{0,08}\approx 27,73\text{ tỷ đoˆˋng}$$
Doanh thu cả năm: $18+27,73\approx 45,7$ tỷ đồng (làm tròn đến 1 chữ số thập phân). Kết quả khớp với đáp án nguồn 45,7.

* $\{\begin{array}{l}q=-3\\ u_1.q^4=-27\end{array}$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}q=-3\\ u_1=-\frac{1}{3}\end{array}$ — 0,25

* $u_n=531441\iff \left(-\frac{1}{3}\right).{\left(-3\right)}^{n-1}=531441$ — 0,25

* ${\left(-3\right)}^{n-1}=-1594323\iff {\left(-3\right)}^{n-1}={\left(-3\right)}^{13}\iff n=14$ — 0,25