Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

Lời giải (Mã đề 201;202;203;204):



Ta có $S_1=4^2$; $S_2=\frac{1}{2}{4}^2=\frac{1}{2}{S}_1$; $S_3=\frac{1}{2}.S_2$, … [0,5]

Do đó $S_1$, $S_2$, $S_3$, …, $S_{100}$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=S_1=4^2$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. [0,25]

Suy ra $S=S_1+S_2+S_3+...+S_{100}=S_1.\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{4^2\left(2^{100}-1\right)}{2^{99}}=32$. [0,25]

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau hai tháng theo lãi kép: $200\cdot (1+0,005{)}^2=200\cdot 1,005^2=200\cdot 1,010025=202,005$ triệu đồng. Sau một tháng: $200\cdot 1,005=201$ triệu; sau hai tháng: $201\cdot 1,005=202,005$ triệu. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $202$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

Lời giải (Mã đề 101;102;103;104):



Ta có $S_1=4^2$; $S_2=\frac{1}{2}{4}^2=\frac{1}{2}{S}_1$; $S_3=\frac{1}{2}.S_2$,… (0,5 điểm)

Do đó $S_1$, $S_2$, $S_3$,…, $S_{100}$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=S_1=4^2$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. (0,25 điểm)

Suy ra $S=S_1+S_2+S_3+...+S_{100}=S_1.\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{4^2\left(2^{100}-1\right)}{2^{99}}=32$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân với $u_1=12$, công bội $q$. Ta có $\frac{u_3}{u_8}=\frac{u_1{q}^2}{u_1{q}^7}=q^{-5}=243=3^5$, suy ra $q=\frac{1}{3}$. Khi đó $u_9=u_1{q}^8=12\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^8=\frac{12}{6561}=\frac{4}{2187}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $u_2=4$. Công bội $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{4}{2}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, $q=2$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_4=u_1\cdot q^{4-1}=3\cdot 2^3=3\cdot 8=24$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{2}$, $q=-2$: $u_2=\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$; $u_3=(-1)(-2)=2$; $u_4=2\cdot (-2)=-4$. Vậy bốn số hạng đầu là $\frac{1}{2};-1;2;-4$, khớp đáp án D (mã đề 022).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân với $u_1=3$, $u_7=192$. Ta có $u_7=u_1{q}^6\Rightarrow 3q^6=192\Rightarrow q^6=64\Rightarrow q=2$ (lấy $q>0$). Tổng: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=3(2^n-1)=189\Rightarrow 2^n-1=63\Rightarrow 2^n=64\Rightarrow n=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 022, Phần 3, Câu 4: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{2}$, $q=-2$: $u_2=\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$; $u_3=-1\cdot (-2)=2$; $u_4=2\cdot (-2)=-4$. Vậy bốn số hạng đầu là $\frac{1}{2};-1;2;-4$, khớp đáp án C (đáp án ma đề 021 cũng là C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân với $u_1=3$, $u_7=192$. Ta có $u_7=u_1{q}^6\Rightarrow 3q^6=192\Rightarrow q^6=64\Rightarrow q=2$ (lấy $q>0$). Tổng: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=3(2^n-1)=189\Rightarrow 2^n-1=63\Rightarrow 2^n=64\Rightarrow n=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn là 6.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II), mã đề 267: a) Với u1=1, q=1/2, năm số hạng đầu là 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 → Đúng. b) q = u2/u1 = -6/3 = -2, nên u5 = u1·q^4 = 3·16 = 48 ≠ 84 → Sai. c) Cấp số nhân 1; 4; 16; 64;... có u1=1, q=4, nên S_n = 1·(4^n - 1)/(4-1) = (4^n - 1)/3 → Đúng. d) Sau 5 giờ số vi khuẩn là 5000·(1,08)^5 ≈ 7346,6 ≈ 7347 con ≠ 6802 con → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 267: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
u1=1, q=1/2 nên u_n = (1/2)^{n-1}: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
q = -6/3 = -2, u5 = 3·(-2)^4 = 48 ≠ 84. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
u1=1, q=4, S_n = (4^n - 1)/(4 - 1) = (4^n - 1)/3. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau 5 giờ: 5000·(1,08)^5 ≈ 7346,6 ≈ 7347 con ≠ 6802 con. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Lương ban đầu 26 triệu đồng, cứ sau mỗi 6 tháng tăng 6%. Vào đầu năm thứ ba (tháng thứ 25), lương đã tăng 4 lần (sau tháng 6, 12, 18, 24). Mức lương tháng đầu năm thứ ba là $26\cdot (1,06{)}^4=26\cdot 1,26247696\approx 32,824\approx 32,8$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn 32,8.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, công bội $q=2$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=1\cdot \frac{2^{10}-1}{2-1}=1024-1=1023$. Vậy $S_{10}=1023$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II):
a) Cấp số nhân 1; 4; 16; 64; … có $u_1=1$, $q=4$. Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{4^n-1}{3}$. Đúng.
b) Sau 5 giờ số vi khuẩn là $5000\cdot (1,08{)}^5\approx 5000\cdot 1,4693\approx 7347$ con, không phải 6 802 con. Sai.
c) Với $u_1=1$, $q=\frac{1}{2}$, năm số hạng đầu là $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16}$. Đúng.
d) $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-6}{3}=-2$, nên $u_5=u_1{q}^4=3\cdot 16=48\ne 84$. Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 013: Đ S Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, $q=4$ nên $S_n=1\cdot \frac{4^n-1}{4-1}=\frac{4^n-1}{3}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau 5 giờ: $5000\cdot (1,08{)}^5\approx 7347$ con $\ne 6802$ con. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$, nên năm số hạng đầu là $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$q=\frac{-6}{3}=-2$ nên $u_5=3\cdot (-2{)}^4=48\ne 84$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Lương 6 tháng đầu là 26 triệu đồng. Sau mỗi 6 tháng lương tăng 6%, tức mỗi nửa năm lương nhân với $1,06$. Năm thứ ba bắt đầu từ tháng thứ 25. Ta có: tháng 1–6: $26$; tháng 7–12: $26\cdot 1,06$; tháng 13–18: $26\cdot 1,06^2$; tháng 19–24: $26\cdot 1,06^3$; tháng 25–30 (6 tháng đầu năm thứ ba): $26\cdot 1,06^4$. Tính $26\cdot 1,06^4=26\cdot 1,26247696\approx 32,8244\approx 32,8$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn 32,8.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}=2$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=u_1\cdot \frac{q^{10}-1}{q-1}=1\cdot \frac{2^{10}-1}{2-1}=1024-1=1023$. Vậy $S_{10}=1023$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án chính thức (mã đề 013, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_4=u_1{q}^3$, nên $54=2q^3\Rightarrow q^3=27\Rightarrow q=3$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_5=u_1{q}^4\Rightarrow -162=-2q^4\Rightarrow q^4=81\Rightarrow q^2=9\Rightarrow q=\pm 3$. Vậy $q=3$ hoặc $q=-3$, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 101 cho câu 15 là A).

Gọi $T_n$ (triệu đồng) là giá trị còn lại của máy photocopy sau $n$ năm $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Theo đề bài mỗi năm hao mòn 10\% giá trị nên ta có: $T_1=50.(1-10\%)=50.0,9$; $T_2=0,9T_1=50.0,9^2$;$\dots$; $T_n=50.0,9^n$. Như vậy $(T_n)$ là cấp số nhân với $T_1=45$ và công bội $q=0,9$.

Do đó giá trị còn lại của máy photocopy sau 8 năm sử dụng là $T_8=50.0,9^8\approx 21,52$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=-6$, công bội $q=\frac{18}{-6}=-3$. Suy ra $u_n=u_1{q}^{n-1}=-6\cdot (-3{)}^{n-1}=2\cdot (-3)\cdot (-3{)}^{n-1}=2\cdot (-3{)}^n$. Kiểm tra: $n=1$: $2\cdot (-3)=-6$; $n=2$: $2\cdot 9=18$; $n=3$: $2\cdot (-27)=-54$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 3: B).